📕 Toán 12 · Chương VI · Bài 18 & 19
Xác suất có điều kiện
P(A|B) · Công thức nhân đầy đủ · Xác suất đầy đủ · Công thức Bayes
Tính xác suất có điều kiện, áp dụng công thức nhân tổng quát và công thức Bayes — kèm bảng cập nhật xác suất tiên nghiệm / hậu nghiệm.
Xác suất có điều kiện là xác suất xảy ra A, biết rằng B đã xảy ra. Không gian mẫu thu hẹp lại thành B.
1Công thức:
2Thay số:
3Kết quả: ≈ 30.0000%
💡Công thức nhân ngược:
📐 Tổng hợp công thức nhân xác suất:
- Nếu A, B độc lập: và
- Lưu ý: trong trường hợp tổng quát.
📖 Lý thuyết — Bài 18 & 19
🔗 Xác suất có điều kiện (Bài 18)
- $P(A|B)$: xác suất A xảy ra biết B đã xảy ra.
- $$P(A|B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}, \quad P(B)>0$$
- Nếu A, B độc lập: $P(A|B)=P(A)$.
- Chú ý: $P(A|B) \neq P(B|A)$ trong tổng quát.
✖️ Công thức nhân đầy đủ (Bài 18)
- $$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)=P(B)\cdot P(A|B)$$
- 3 biến cố: $P(A\cap B\cap C)=P(A)\cdot P(B|A)\cdot P(C|A\cap B)$
- Không yêu cầu biến cố độc lập.
∑ Xác suất đầy đủ (Bài 19)
- Nếu $A_1,\ldots,A_n$ là phân hoạch của $\Omega$:
- $$P(B) = \sum_{i=1}^n P(A_i)\cdot P(B|A_i)$$
- Dùng để tính P(B) khi biết B qua các "con đường" khác nhau.
⚖️ Công thức Bayes (Bài 19)
- Cập nhật xác suất giả thuyết $A_k$ sau khi quan sát B:
- $$P(A_k|B) = \dfrac{P(A_k)\cdot P(B|A_k)}{\displaystyle\sum_{i=1}^n P(A_i)\cdot P(B|A_i)}$$
- Tiên nghiệm P(A_k) → Hậu nghiệm P(A_k|B).
📋 So sánh: Từ Toán 10 đến Toán 12
| Lớp | Chủ đề | Công thức cốt lõi | Điều kiện |
|---|---|---|---|
| Toán 10 | Xác suất cổ điển | $P(A)=\dfrac{|A|}{|\Omega|}$ | Đồng khả năng |
| Toán 11 | Công thức cộng | $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ | Tổng quát |
| Toán 11 | Công thức nhân | $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$ | Độc lập |
| Toán 12 | Xác suất có điều kiện | $P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ | P(B) > 0 |
| Toán 12 | Công thức Bayes | $P(A_k|B)=\dfrac{P(A_k)P(B|A_k)}{P(B)}$ | Phân hoạch Ω |