Bài 1: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

📋 1. Định nghĩa

Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn là hệ phương trình có dạng tổng quát:

\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \end{cases}

Trong đó $x, y, z$ là ẩn; $a_i, b_i, c_i, d_i$ là các hằng số. Một bộ ba số $(x_0; y_0; z_0)$ đồng thời thỏa mãn cả ba phương trình gọi là một nghiệm của hệ.

⚡ 2. Phương pháp giải Gauss

Để giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn, ta thường dùng phương pháp khử dần ẩn số (phương pháp Gauss) để đưa hệ về dạng bậc thang:

Bước 1: Nhân phương trình (1) với một hằng số phù hợp rồi cộng đại số để khử ẩn $x$ ở phương trình (2) và (3).
Bước 2: Giữ nguyên phương trình (1) và (2) vừa tạo ra. Tiếp tục khử ẩn $y$ ở phương trình (3).
Bước 3: Sau khi hệ có dạng tam giác, giải phương trình (3) tìm $z$ , sau đó thế ngược lên tìm $y$ và $x$ .

II. Thực hành giải hệ phương trình (Công cụ)

Dưới đây là một công cụ hỗ trợ giải nhanh hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn bằng thuật toán máy tính. Bạn có thể sử dụng công cụ này để dò đáp án hoặc bài tập tự luận.

Công cụ giải nhanh hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn

x +y +z =

III. Các dạng toán và ví dụ minh họa

📌 Kỹ năng biến đổi hệ phương trình

Phép cộng đại số: Nhân một phương trình với một hằng số rồi cộng hoặc trừ từng vế vào một phương trình khác không làm thay đổi tập nghiệm.
Đổi chỗ: Có thể đổi chỗ hai phương trình bất kì cho nhau để dễ tính toán (ưu tiên đưa phương trình có hệ số $x$ bằng 1 lên đầu).
Biện luận số nghiệm: Tương tự hệ hai ẩn, hệ bậc nhất 3 ẩn có thể có 1 nghiệm duy nhất, vô số nghiệm, hoặc vô nghiệm.

🔍 Ví dụ 1: Giải hệ bằng phương pháp Gauss

Giải hệ phương trình sau:

\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x + 2y + 3z = 14 \\ 2x + 4y + 7z = 31 \end{cases}

💡 Xem lời giải

Giữ phương trình (1). Lấy phương trình (2) trừ (1), và lấy phương trình (3) trừ $2 \times$ (1), ta được:

\begin{cases} x + y + z = 6 \quad \text{(1)}\\ y + 2z = 8 \quad \text{ (2')} \\ 2y + 5z = 19 \quad \text{ (3')} \end{cases}

Giữ (1) và (2’). Lấy (3’) trừ $2 \times$ (2’):

\begin{cases} x + y + z = 6 \\ y + 2z = 8 \\ z = 3 \end{cases}

Giải bằng phương pháp thế ngược: $z=3 \Rightarrow y = 8 - 2(3) = 2 \Rightarrow x = 6 - 2 - 3 = 1$ .
Vậy nghiệm của hệ là $(1; 2; 3)$ .

🔍 Ví dụ 2: Nhận biết hệ phương trình vô nghiệm

Xét tính có nghiệm của hệ phương trình:

\begin{cases} x + y + z = 3 \\ 2x + 2y + 2z = 5 \\ x - y + z = 1 \end{cases}

💡 Xem lời giải

Từ phương trình (1) và (2) ta thấy vế trái: $2(x+y+z) = 2(3) = 6$ .
Mà phương trình (2) lại chỉ ra rằng $2x+2y+2z = 5$ .
Dẫn đến mâu thuẫn $6 = 5$ (Vô lí).
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

🔍 Ví dụ 3: Bài toán tìm tham số

Tìm tham số $m$ để bộ số $(1; -1; 2)$ là nghiệm của hệ:

\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x - y + mz = 5 \\ 3x + 2y - z = -1 \end{cases}

💡 Xem lời giải

Thay $x=1, y=-1, z=2$ vào hệ phương trình:

(1): $1 + (-1) + 2 = 2$ (Đúng).
(2): $2(1) - (-1) + m(2) = 5 \Leftrightarrow 3 + 2m = 5 \Leftrightarrow 2m = 2 \Rightarrow m = 1$ .
(3): $3(1) + 2(-1) - 2 = -1$ (Đúng).
Vậy $m=1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

IV. Trắc nghiệm ôn tập

Câu 1:Nghiệm của hệ phương trình $\begin{cases} x+y+z=6 \\ 2x-y+z=3 \\ x+2y-z=2 \end{cases}$ là:

Câu 2:Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có thể có tối đa bao nhiêu nghiệm?

Đúng / Sai

Câu 3Xét các phát biểu sau về hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn:

a)Dạng hệ bậc thang tam giác luôn luôn có nghiệm duy nhất.

b)Phương pháp Gauss dựa trên nguyên tắc khử dần ẩn số bằng phép cộng đại số.

c)Hệ có vô số nghiệm được gọi là hệ vô định.

d)Bộ số (1; 1; 1) là một nghiệm của phương trình x + y + z = 3.

Câu 4:Tính tổng $S = x+y+z$ đối với nghiệm duy nhất của hệ phương trình: $\begin{cases} x+2y+z=4 \\ 2x+y+2z=5 \\ x+y+3z=5 \end{cases}$.

V. Bài tập tự luận

📝 Bài tập tự luyện

Câu 1. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp biến đổi Gauss:

\begin{cases} 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - 2z = 1 \\ 3x + y - z = 4 \end{cases}

💡 Lời giải

Đổi chỗ phương trình (1) và (2) để dễ xử lí (hệ số x là 1):

\begin{cases} x + 2y - 2z = 1 \quad \text{(1')} \\ 2x - y + z = 3 \quad \text{(2')} \\ 3x + y - z = 4 \quad \text{(3')} \end{cases}

Khử $x$ : (2’) - $2 \times$ (1’) và (3’) - $3 \times$ (1’):

\begin{cases} x + 2y - 2z = 1 \\ -5y + 5z = 1 \\ -5y + 5z = 1 \end{cases}

Rõ ràng hai phương trình cuối trùng lặp. Vì vậy hệ bị thiếu kiện kiện độc lập nên hệ đã cho phụ thuộc, có kết luận vô số nghiệm.

Câu 2. Tìm ba số $x, y, z$ biết rằng tổng của chúng bằng 12, số thứ nhất lớn hơn số thứ hai là 2 đơn vị, và số thứ ba bằng trung bình cộng của hai số đầu tiên.

💡 Lời giải

Theo đề bài, ta thiết lập được hệ phương trình:

\begin{cases} x + y + z = 12 \\ x - y = 2 \\ z = \frac{x+y}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x + y + z = 12 \\ x - y + 0z = 2 \\ x + y - 2z = 0 \end{cases}

Có thể dùng máy tính cầm tay giải hệ này, thu được: $x = 5, y = 3, z = 4$ .

Câu 3. Cho parabol có dạng $(P): y = ax^2 + bx + c$ . Tìm các hằng số $a, b, c$ biết $(P)$ đi qua ba điểm $A(1; 0), B(0; 1), C(-1; 6)$ .

💡 Lời giải

Thay tọa độ x, y của mỗi điểm vào phương trình parabol, ta giải hệ theo 3 ẩn (a,b,c):

Vì $A(1; 0) \in (P)$ nên: $a + b + c = 0 \quad$ (1)
Vì $B(0; 1) \in (P)$ nên: $c = 1 \quad$ (2)
Vì $C(-1; 6) \in (P)$ nên: $a - b + c = 6 \quad$ (3)
Thay điểm thuận lợi $c = 1$ vào (1) và (3):

\begin{cases} a + b + 1 = 0 \\ a - b + 1 = 6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a + b = -1 \\ a - b = 5 \end{cases}

Cộng đại số hai phương trình bậc nhất 2 ẩn này: $2a = 4 \Rightarrow a = 2$ . Suy ra $b = -3$ .
Vậy $(a; b; c) = (2; -3; 1)$ . Phương trình parabol là $(P): y = 2x^2 - 3x + 1$ .

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Không giới hạn lần làm