Bài 19: Công thức xác suất đầy đủ và Công thức Bayes

I. Lý thuyết

1. Hệ đầy đủ các biến cố

Dãy các biến cố $H_1, H_2, \dots, H_n$ được gọi là một hệ đầy đủ nếu:

Chúng xung khắc từng đôi ( $H_i \cap H_j = \emptyset$ với $i \neq j$ ).
Hợp của chúng là không gian mẫu ( $H_1 \cup H_2 \cup \dots \cup H_n = \Omega$ ).
Hệ quả: $\sum_{i=1}^n P(H_i) = 1$ .

2. Công thức xác suất đầy đủ

Cho hệ đầy đủ $\{H_i\}$ , với mọi biến cố $A$ ta có: $P(A) = \sum_{i=1}^n P(H_i) \cdot P(A|H_i)$ $P(A) = P(H_1)P(A|H_1) + P(H_2)P(A|H_2) + \dots + P(H_n)P(A|H_n)$

3. Công thức Bayes

Với $P(A) > 0$ , xác suất của giả thuyết $H_k$ sau khi biết $A$ đã xảy ra là: $P(H_k|A) = \dfrac{P(H_k) \cdot P(A|H_k)}{P(A)}$

Ý nghĩa: Chuyển từ xác suất “nguyên nhân” sang xác suất “hệ quả” và ngược lại.

🔷 Dạng 1: Công thức xác suất đầy đủ

📌 Phương pháp giải

Phương pháp:

Xác định hệ đầy đủ các giả thuyết $\{H_i\}$ .
Tính xác suất của từng giả thuyết $P(H_i)$ .
Tính xác suất có điều kiện $P(A|H_i)$ tương ứng.
Áp dụng công thức tổng.

🔍 Ví dụ 1 (Dễ)

Có hai hộp bi. Hộp 1: 3 đỏ, 2 xanh. Hộp 2: 2 đỏ, 4 xanh. Chọn ngẫu nhiên 1 hộp rồi lấy 1 bi. Tính xác suất lấy được bi đỏ.

💡 Xem lời giải

$H_1$ : Chọn hộp 1 ( $P=0.5$ ). $H_2$ : Chọn hộp 2 ( $P=0.5$ ).
$P(Đ|H_1) = 3/5, P(Đ|H_2) = 2/6 = 1/3$ .
$P(Đ) = 0.5 \cdot 3/5 + 0.5 \cdot 1/3 = 3/10 + 1/6 = 14/30 = 7/15$ .

🔍 Ví dụ 2 (Dễ)

Một nhà máy có 3 phân xưởng A, B, C sản xuất sản phẩm với tỉ lệ tương ứng 40%, 35%, 25%. Tỉ lệ phế phẩm tương ứng là 1%, 2%, 3%. Tính tỉ lệ phế phẩm chung của nhà máy.

💡 Xem lời giải

$P(PP) = 0.4 \cdot 0.01 + 0.35 \cdot 0.02 + 0.25 \cdot 0.03 = 0.004 + 0.007 + 0.0075 = 0.0185$ (1.85%).

🔍 Ví dụ 3 (Trung bình)

Ở một vùng, 10% dân số mắc bệnh X. Một phương pháp chẩn đoán cho kết quả dương tính với người có bệnh là 90%, và dương tính với người không bệnh là 5%. Tính xác suất một người bất kỳ trong vùng có kết quả dương tính.

💡 Xem lời giải

$H_1$ : Có bệnh ( $P=0.1$ ). $H_2$ : Không bệnh ( $P=0.9$ ).
$P(D|H_1) = 0.9, P(D|H_2) = 0.05$ .
$P(D) = 0.1 \cdot 0.9 + 0.9 \cdot 0.05 = 0.09 + 0.045 = 0.135$ .

🔍 Ví dụ 4 (Trung bình)

Một loại tên lửa có xác suất trúng mục tiêu là 0.8 nếu thời tiết tốt và 0.4 nếu thời tiết xấu. Biết xác suất thời tiết xấu là 0.3. Tính xác suất tên lửa trúng mục tiêu.

💡 Xem lời giải

$P = 0.7 \cdot 0.8 + 0.3 \cdot 0.4 = 0.56 + 0.12 = 0.68$ .

🔍 Ví dụ 5 (Khó)

Lấy ngẫu nhiên một quả cầu từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai, sau đó lấy ngẫu nhiên một quả từ hộp thứ hai. (Xem lại Bài 18 Ví dụ 5).

💡 Xem lời giải

Đây chính là ứng dụng của xác suất đầy đủ với 2 giả thuyết tùy thuộc bi lấy từ hộp 1.

📝 Thực hành — Dạng 1

Hệ hai biến cố $A$ and $\\\\bar{A}$ có phải hệ đầy đủ không?

Tính P(A) nếu $P(H1)=0.7, P(A|H1)=0.1, P(H2)=0.3, P(A|H2)=0.5$.

Xác suất đầy đủ được dùng khi biến cố phụ thuộc vào:

Đúng / SaiMột lô hàng lẫn lộn 2 loại sản phẩm: Loại I (60%, hỏng 2%) and Loại II (40%, hỏng 5%):

a)Xác suất lấy 1 sản phẩm là Loại I bằng 0.6

b)Xác suất lấy sản phẩm hỏng của Loại I là 0.02

c)Sản phẩm hỏng chung chiếm tỉ lệ 3.2%

d)Sản phẩm tốt chiếm tỉ lệ 96.8%

Có 2 thùng quả. Thùng 1: 10 táo, 5 cam. Thùng 2: 5 táo, 10 cam. Lấy ngẫu nhiên 1 thùng rồi lấy 1 quả. Tính xác suất lấy được táo.

🔷 Dạng 2: Công thức Bayes (Cập nhật xác suất giả thuyết)

📌 Phương pháp giải

Phương pháp:

Thường là câu hỏi: “Biết kết quả A đã xảy ra, tính xác suất nó do giả thuyết $H_k$ gây ra”.
Tính P(A) theo xác suất đầy đủ (mẫu số).
Lấy giá trị của nhánh $H_k$ chia cho mẫu số.

🔍 Ví dụ 1 (Dễ)

Trong Ví dụ 3 Dạng 1 (Bệnh X), một người có kết quả dương tính. Tính xác suất người đó thực sự mắc bệnh X.

💡 Xem lời giải

$P(D) = 0.135$ .
$P(H_1|D) = \dfrac{P(H_1)P(D|H_1)}{P(D)} = \dfrac{0.1 \cdot 0.9}{0.135} = \dfrac{0.09}{0.135} = 2/3 \approx 0.667$ .

🔍 Ví dụ 2 (Dễ)

Trong Ví dụ 2 Dạng 1 (Nhà máy), lấy được 1 phế phẩm. Tính xác suất phế phẩm đó do phân xưởng A sản xuất.

💡 Xem lời giải

$P(PP) = 0.0185$ .
$P(A|PP) = \dfrac{0.4 \cdot 0.01}{0.0185} = \dfrac{0.004}{0.0185} \approx 0.216$ (21.6%).

🔍 Ví dụ 3 (Trung bình)

Ba máy cùng sản xuất 1 loại linh kiện. Máy 1 chiếm 30%, máy 2 chiếm 30%, máy 3 chiếm 40% sản lượng. Tỉ lệ hỏng tương ứng là 2%, 3%, 4%. Một khách hàng mua phải 1 linh kiện hỏng. Máy nào có khả năng cao nhất đã sản xuất linh kiện đó?

💡 Xem lời giải

$P(Hỏng) = 0.3 \cdot 0.02 + 0.3 \cdot 0.03 + 0.4 \cdot 0.04 = 0.006 + 0.009 + 0.016 = 0.031$ .
$P(K1|H) = 6/31, P(K2|H) = 9/31, P(K3|H) = 16/31$ .
Vậy Máy 3 có khả năng cao nhất.

🔍 Ví dụ 4 (Trung bình)

Xác suất một học sinh thi đỗ nếu học bài là 0.9, and nếu không học bài là 0.2. Biết 80% học sinh có học bài. Một học sinh thi trượt, tính xác suất học sinh đó không học bài.

💡 Xem lời giải

$H_1$ : Học ( $P=0.8$ ), $H_2$ : Không học ( $P=0.2$ ).
$P(Trượt|H_1) = 0.1, P(Trượt|H_2) = 0.8$ .
$P(Trượt) = 0.8 \cdot 0.1 + 0.2 \cdot 0.8 = 0.08 + 0.16 = 0.24$ .
$P(H_2|Trượt) = 0.16 / 0.24 = 2/3$ .

🔍 Ví dụ 5 (Khó)

Một hộp bi bị mất 1 quả bi chưa rõ màu (trước đó có 3 trắng, 2 đen). Lấy ra 1 bi thấy màu trắng. Tính xác suất quả bi bị mất là màu trắng.

💡 Xem lời giải

$H_1$ : Mất trắng ( $P=3/5$ ). $H_2$ : Mất đen ( $P=2/5$ ).
Sau khi mất $H_1$ , còn 2 trắng, 2 đen $\Rightarrow P(T|H_1) = 2/4 = 0.5$ .
Sau khi mất $H_2$ , còn 3 trắng, 1 đen $\Rightarrow P(T|H_2) = 3/4 = 0.75$ .
$P(T) = 0.6 \cdot 0.5 + 0.4 \cdot 0.75 = 0.3 + 0.3 = 0.6$ .
$P(H_1|T) = 0.3 / 0.6 = 0.5$ .

📝 Thực hành — Dạng 2

Công thức Bayes dùng để:

Nếu biến cố A xảy ra chắc chắn kèm biến cố giả thuyết H, thì P(H|A) sẽ:

Mẫu số trong công thức Bayes chính là:

Đúng / SaiXét nghiệm có P(D|B)=0.9, P(D|không B)=0.1. Tỉ lệ bệnh 0.01:

a)P(D) = 0.01*0.9 + 0.99*0.1 = 0.108

b)P(B|D) = 0.009 / 0.108 \\approx 0.083

c)Khi xét nghiệm dương tính, khả năng có bệnh giảm đi

d) Bayes cho thấy y khoa không thể tin cậy 100% vào kết quả đơn lẻ

Cho P(H1)=0.5, P(A|H1)=0.8, P(H2)=0.5, P(A|H2)=0.2. Tính P(H1|A).

🔷 Dạng 3: Bài toán nhiều giai đoạn and Xét nghiệm lặp

📌 Phương pháp giải

Phương pháp: Khi thực hiện xét nghiệm nhiều lần, kết quả hậu nghiệm của lần 1 sẽ trở thành xác suất tiền nghiệm của lần 2.

🔍 Ví dụ 1 (Trung bình)

Một người xét nghiệm dương tính lần 1 có xác suất bệnh là 0.083 (Dạng 2). Người đó làm tiếp xét nghiệm lần 2 and lại dương tính. Tính xác suất thực sự mắc bệnh (giả sử sai số 2 lần độc lập).

💡 Xem lời giải

Lần 2: $P(B)$ mới $= 0.083$ .
$P(D_2) = 0.083 \cdot 0.9 + 0.917 \cdot 0.1 = 0.0747 + 0.0917 = 0.1664$ .
$P(B|D_1D_2) = 0.0747 / 0.1664 \approx 0.45$ .

🔷 Dạng 4: Ứng dụng thực tế của Bayes

📌 Phương pháp giải

Phương pháp:

Email spam filtering (Lọc rác).
Phân tích rủi ro vay vốn ngân hàng.
Trí tuệ nhân tạo (Mạng Bayes).

🔍 Ví dụ 1 (Trung bình) — Lọc thư rác

Email chứa từ “Khuyến mãi” chiếm 20% thư rác and 1% thư thường. Tỉ lệ thư rác là 30%. Tính xác suất email là rác nếu thấy từ “Khuyến mãi”.

💡 Xem lời giải

$P(Spam) = 0.3, P(Normal) = 0.7$ .
$P(KM|S) = 0.2, P(KM|N) = 0.01$ .
$P(KM) = 0.3 \cdot 0.2 + 0.7 \cdot 0.01 = 0.06 + 0.007 = 0.067$ .
$P(S|KM) = 0.06 / 0.067 \approx 0.895$ (89.5%).

🔍 Ví dụ 2 (Trung bình) — Kinh tế

Một dự án thành công với P=0.6. Một chuyên gia dự báo chính xác 80% (tức là thành công thì dự báo thành công, thất bại thì dự báo thất bại). Chuyên gia dự báo dự án thất bại. Tính xác suất thực tế dự án thất bại.

💡 Xem lời giải

$P(Thất bại) = 0.4$ . $P(Báo TB|TB) = 0.8$ .
$P(Báo TB|TC) = 0.2$ .
$P(Báo TB) = 0.4 \cdot 0.8 + 0.6 \cdot 0.2 = 0.32 + 0.12 = 0.44$ .
$P(Thực TB|Báo TB) = 0.32 / 0.44 \approx 0.727$ .

📝 Thực hành — Dạng 4

Thuật ngữ Bayes thường được dùng trong lĩnh vực nào của Tin học?

Trong lọc spam, nếu từ 'Trúng thưởng' xuất hiện:

Xác suất có bệnh là 0.01. Dương tính khi bệnh là 1, dương tính khi không bệnh là 0.1. Tính xác suất một người dương tính.

📝 Bài tập tự luận — Tổng hợp

Câu 1. Có 3 hộp đựng sản phẩm. Hộp I chứa 10 sp (2 lỗi), hộp II chứa 15 sp (3 lỗi), hộp III chứa 20 sp (4 lỗi). Chọn ngẫu nhiên 1 hộp rồi lấy ra 1 sản phẩm. a) Tính xác suất lấy được sản phẩm lỗi. b) Biết sản phẩm lấy ra bị lỗi, tìm xác suất nó thuộc về hộp III.

Câu 2. Tỉ lệ người mắc một chứng bệnh hiếm gặp là 0.001. Có một thiết bị kiểm tra cho kết quả chính xác 99%. Nếu một người đi kiểm tra and có kết quả dương tính, hãy tính xác suất người đó thực sự mắc bệnh.

Câu 3. Hai máy cùng sản xuất một loại chi tiết máy. Máy 1 sản xuất 60%, máy 2 40%. Tỉ lệ chi tiết đạt tiêu chuẩn của máy 1 là 90%, của máy 2 là 80%. a) Lấy ngẫu nhiên 1 chi tiết, tính xác suất chi tiết đó đạt tiêu chuẩn. b) Lấy được 1 chi tiết không đạt tiêu chuẩn. Tính xác suất nó do máy 1 sản xuất.

Câu 4. Một trận bóng đá, đội A có xác suất ghi bàn đầu tiên là 0.6. Nếu ghi bàn đầu trước, xác suất thắng trận là 0.8. Nếu bị ghi bàn trước, xác suất thắng trận giảm còn 0.3. Đội A đã thắng trận đấu, tính xác suất đội A là đội ghi bàn đầu tiên.

Câu 5. Một người tung một đồng xu. Nếu là mặt sấp, anh ta lấy 1 bi từ túi X (3 đỏ, 1 xanh). Nếu là mặt ngửa, anh ta lấy từ túi Y (1 đỏ, 3 xanh). a) Tính xác suất lấy được bi đỏ. b) Người đó lấy được bi đỏ nhưng không cho bạn biết mặt đồng xu. Mặt đồng xu khả năng cao hơn là gì?

✏️ Luyện tập trắc nghiệm →

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Không giới hạn lần làm