Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và Công thức Bayes

Hệ đầy đủ: $H_1$ = “Chọn hộp I”, $H_2$ = “Chọn hộp II”.

$P(H_1) = P(H_2) = \dfrac{1}{2}$

Xác suất có điều kiện: Gọi $A$ = “lấy được bi đỏ”.

$P(A \mid H_1) = \dfrac{3}{5}; \quad P(A \mid H_2) = \dfrac{1}{5}$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

$P(A) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{3}{10} + \dfrac{1}{10} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$

Hệ đầy đủ: $H_A$, $H_B$, $H_C$ = “Sản phẩm từ phân xưởng A, B, C”.

$P(H_A)=0{,}5;\quad P(H_B)=0{,}3;\quad P(H_C)=0{,}2$

Gọi $P$ = “sản phẩm là phế phẩm”.

$P(P \mid H_A)=0{,}01;\quad P(P \mid H_B)=0{,}02;\quad P(P \mid H_C)=0{,}03$

$P(P) = 0{,}5 \times 0{,}01 + 0{,}3 \times 0{,}02 + 0{,}2 \times 0{,}03 = 0{,}005 + 0{,}006 + 0{,}006 = \mathbf{0{,}017}$

Vậy tỉ lệ phế phẩm chung của nhà máy là 1,7%.

Hệ đầy đủ: $H_1$ = “Nhiễm virus” ($P(H_1)=0{,}01$), $H_2$ = “Không nhiễm” ($P(H_2)=0{,}99$).

Gọi $D$ = “Kết quả dương tính”.

$P(D \mid H_1) = 0{,}762; \quad P(D \mid H_2) = 1 - 0{,}991 = 0{,}009$

$P(D) = 0{,}01 \times 0{,}762 + 0{,}99 \times 0{,}009 = 0{,}00762 + 0{,}00891 = \mathbf{0{,}01653}$

Vậy khoảng 1,653% dân số có kết quả dương tính.

$H_1$ = “Thời tiết tốt” ($P=0{,}7$), $H_2$ = “Thời tiết xấu” ($P=0{,}3$).

Gọi $T$ = “Bắn trúng”.

$P(T) = 0{,}7 \times 0{,}9 + 0{,}3 \times 0{,}5 = 0{,}63 + 0{,}15 = \mathbf{0{,}78}$

Hệ đầy đủ theo bi chuyển từ Hộp I:

• $H_T$: Bi chuyển là trắng — $P(H_T) = \dfrac{2}{5}$.
• $H_D$: Bi chuyển là đen — $P(H_D) = \dfrac{3}{5}$.

Sau khi chuyển, Hộp II có 6 bi:

• Nếu $H_T$: Hộp II có 5 trắng + 1 đen $\Rightarrow P(W \mid H_T) = \dfrac{5}{6}$.
• Nếu $H_D$: Hộp II có 4 trắng + 2 đen $\Rightarrow P(W \mid H_D) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$.

Xác suất toàn phần:

$P(W) = \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{10}{30} + \dfrac{6}{15} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{5+6}{15} = \dfrac{11}{15}$

Từ Dạng 1 VD 1: $P(A) = \dfrac{2}{5}$.

$P(H_1 \mid A) = \dfrac{P(H_1) \cdot P(A \mid H_1)}{P(A)} = \dfrac{\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{5}}{\dfrac{2}{5}} = \dfrac{\dfrac{3}{10}}{\dfrac{2}{5}} = \dfrac{3}{10} \times \dfrac{5}{2} = \dfrac{3}{4}$

Vậy xác suất bi đỏ lấy từ Hộp I là $\dfrac{3}{4} = 75\%$.

Kiểm tra: $P(H_2 \mid A) = \dfrac{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5}}{\frac{2}{5}} = \dfrac{1}{4}$. Tổng $= \dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}=1$ ✓

Từ Dạng 1 VD 2: $P(P) = 0{,}017$.

$P(H_C \mid P) = \dfrac{P(H_C) \cdot P(P \mid H_C)}{P(P)} = \dfrac{0{,}2 \times 0{,}03}{0{,}017} = \dfrac{0{,}006}{0{,}017} = \dfrac{6}{17} \approx 35{,}3\%$

So sánh: $P(H_A \mid P) = \dfrac{0{,}005}{0{,}017} \approx 29{,}4\%$; $P(H_B \mid P) = \dfrac{0{,}006}{0{,}017} \approx 35{,}3\%$.

Phân xưởng B và C có khả năng gây phế phẩm cao nhất.

Từ Dạng 1 VD 3: $P(D) = 0{,}01653$.

$P(H_1 \mid D) = \dfrac{P(H_1) \cdot P(D \mid H_1)}{P(D)} = \dfrac{0{,}01 \times 0{,}762}{0{,}01653} = \dfrac{0{,}00762}{0{,}01653} \approx \mathbf{46{,}1\%}$

Nhận xét (quan trọng): Dù xét nghiệm có kết quả dương tính, xác suất thực sự nhiễm chỉ khoảng 46% — gần bằng xác suất tung đồng xu! Điều này xảy ra vì tỉ lệ nhiễm trong cộng đồng rất thấp (1%), khiến số dương tính giả vẫn khá lớn tuyệt đối.

$H_1$ = “Biết chắc” ($P=0{,}6$), $H_2$ = “Đoán ngẫu nhiên” ($P=0{,}4$).

$P(\text{Đúng} \mid H_1) = 1; \quad P(\text{Đúng} \mid H_2) = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$

$P(\text{Đúng}) = 0{,}6 \times 1 + 0{,}4 \times 0{,}25 = 0{,}6 + 0{,}1 = 0{,}7$

$P(H_1 \mid \text{Đúng}) = \dfrac{0{,}6 \times 1}{0{,}7} = \dfrac{0{,}6}{0{,}7} = \dfrac{6}{7} \approx \mathbf{85{,}7\%}$

Rất có khả năng em đó biết chắc đáp án chứ không phải đoán may.

Xác suất toàn phần:

$P(L) = 0{,}40 \times 0{,}03 + 0{,}35 \times 0{,}02 + 0{,}25 \times 0{,}04$ $= 0{,}012 + 0{,}007 + 0{,}010 = 0{,}029$

Áp dụng Bayes:

$P(M_1 \mid L) = \dfrac{0{,}40 \times 0{,}03}{0{,}029} = \dfrac{0{,}012}{0{,}029} \approx \mathbf{41{,}4\%}$

$P(M_2 \mid L) = \dfrac{0{,}35 \times 0{,}02}{0{,}029} = \dfrac{0{,}007}{0{,}029} \approx \mathbf{24{,}1\%}$

$P(M_3 \mid L) = \dfrac{0{,}25 \times 0{,}04}{0{,}029} = \dfrac{0{,}010}{0{,}029} \approx \mathbf{34{,}5\%}$

Kiểm tra: $41{,}4\% + 24{,}1\% + 34{,}5\% = 100\%$ ✓

Kết luận: Máy $M_1$ có khả năng gây lỗi cao nhất (41,4%) dù tỉ lệ lỗi của nó (3%) không phải cao nhất — vì $M_1$ chiếm sản lượng lớn nhất (40%).