Bài 8: Sự thống nhất giữa ba đường Conic

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Cho đến nay, chúng ta đã lần lượt tìm hiểu từng đường conic riêng rẽ (Elip, Hypebol, Parabol). Tuy nhiên, ba đường này hoàn toàn có thể được định nghĩa chung thông qua một tính chất hình học thống nhất duy nhất.

⚡ 1. Định nghĩa chung của ba đường conic (Định nghĩa theo tâm sai)

Cho một điểm $F$ (gọi là tiêu điểm) và một đường thẳng $\Delta$ (gọi là đường chuẩn) không đi qua $F$ . Cho một số thực dương $e$ (gọi là tâm sai).

Tập hợp tất cả các điểm $M$ sao cho tỉ số giữa khoảng cách từ $M$ đến $F$ và khoảng cách từ $M$ đến $\Delta$ luôn bằng $e$ được gọi là một đường conic. Nghĩa là: $\frac{MF}{d(M, \Delta)} = e$

Tùy thuộc vào giá trị của tâm sai $e$ , đường conic này sẽ là một trong ba loại đường sau:

Nếu $0 < e < 1$ : Đường conic là một Elip.
Nếu $e = 1$ : Đường conic là một Parabol.
Nếu $e > 1$ : Đường conic là một Hypebol.

📋 2. Sự cắt hình nón (Conic sections)

Tại sao ba đường này lại có chung tên gọi là đường “conic”? Tiếng Hi Lạp “Conos” nghĩa là hình nón.
Khi dùng một mặt phẳng cắt một mặt nón tròn xoay, giao tuyến thu được sẽ là một đường Elip, Parabol hoặc Hypebol.
Nếu mặt phẳng cắt cắt ngang toàn bộ một phần nón (tạo góc nhỏ hơn góc tạo bởi đường sinh), ta nhận được Elip (Hoặc đường tròn nếu cắt vuông góc trục nón).
Nếu mặt phẳng cắt song song với một đường sinh của hình nón, ta nhận được Parabol.
Nếu mặt phẳng cắt có góc dốc lớn hơn góc của đường sinh, nó sẽ cắt cả hai nửa của mặt nón (vốn là nón kép), tạo ra Hypebol (có hai nhánh).

Hình minh họa sự thống nhất của ba đường conic

Trong hình dưới đây, chúng ta sẽ thấy sự thay đổi hình dáng của đường conic khi thay đổi tâm sai $e$ , dù chúng có chung một tiêu điểm $F$ và một đường chuẩn $\Delta$ .

II. Các dạng toán và ví dụ minh họa

📌 Phương pháp giải

Nhận dạng đường conic dựa vào tâm sai $e$ :
- $e < 1$ : Phương trình thu được sẽ biến đổi về Elip.
- $e = 1$ : Phương trình biến đổi về Parabol.
- $e > 1$ : Phương trình biến đổi về Hypebol.
Lập phương trình từ định nghĩa: Giả sử điểm $M(x; y)$ thuộc conic. Quỹ tích của điểm $M$ tìm được qua phương trình: $MF^2 = e^2 \cdot d^2(M, \Delta)$ Sau khi bình phương hai vế và rút gọn, ta đưa phương trình về dạng tổng quát hoặc chính tắc của conic để tìm các yếu tố $(A, B...)$ .

🔍 Ví dụ 1: Nhận dạng và lập phương trình conic

Lập phương trình của đường conic có tiêu điểm $F(3; 0)$ , đường chuẩn $\Delta: x = \frac{25}{3}$ và tâm sai $e = \frac{3}{5}$ . Cho biết đây là đường conic nào?

💡 Xem lời giải

Vì tâm sai $e = \frac{3}{5} < 1$ , nên đường conic cần tìm là một Elip.
Gọi $M(x; y)$ là điểm thuộc đường conic. Theo định nghĩa, ta có: $\frac{MF}{d(M, \Delta)} = e \Rightarrow MF^2 = e^2 \cdot d^2(M, \Delta)$
Tính $MF^2 = (x - 3)^2 + y^2 = x^2 - 6x + 9 + y^2$ .
Tính $d^2(M, \Delta) = \left(x - \frac{25}{3}\right)^2 = x^2 - \frac{50}{3}x + \frac{625}{9}$ .
Thay vào phương trình: $x^2 - 6x + 9 + y^2 = \frac{9}{25} \left( x^2 - \frac{50}{3}x + \frac{625}{9} \right)$ $x^2 - 6x + 9 + y^2 = \frac{9}{25}x^2 - 6x + 25$
Thu gọn hai vế (chia tiêu $-6x$ ): $x^2 + y^2 + 9 = \frac{9}{25}x^2 + 25$ $x^2 - \frac{9}{25}x^2 + y^2 = 16 \Rightarrow \frac{16}{25}x^2 + y^2 = 16$
Chia hai vế cho 16, ta được phương trình chính tắc của Elip: $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$

🔍 Ví dụ 2: Quỹ tích điểm với tâm sai lớn hơn 1

Tìm phương trình quỹ tích của các điểm $M$ sao cho tỉ số khoảng cách từ $M$ đến $F(5; 0)$ và khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $\Delta: x = \frac{16}{5}$ luôn bằng $\frac{5}{4}$ . Đây là loại đường gì?

💡 Xem lời giải

Tỉ số khoảng cách chính là tâm sai $e = \frac{5}{4}$ . Vì $e > 1$ , quỹ tích điểm $M$ tạo thành một nhánh của Hypebol.
Ta thiết lập phương trình quỹ tích: $MF^2 = e^2 \cdot d^2(M, \Delta) \Rightarrow (x - 5)^2 + y^2 = \frac{25}{16} \left(x - \frac{16}{5}\right)^2$ $x^2 - 10x + 25 + y^2 = \frac{25}{16} \left(x^2 - \frac{32}{5}x + \frac{256}{25}\right)$ $x^2 - 10x + 25 + y^2 = \frac{25}{16}x^2 - 10x + 16$
Triệt tiêu đại lượng $-10x$ và chuyển vế: $x^2 - \frac{25}{16}x^2 + y^2 = 16 - 25 \Rightarrow -\frac{9}{16}x^2 + y^2 = -9$
Chia cả hai vế cho $-9$ , ta thu được phương trình chính tắc: $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$
Vậy quỹ tích là Hypebol có kích thước trục thực bằng $2a = 8$ .

III. Trắc nghiệm ôn tập

Câu 1:Đường conic nào sau đây có tâm sai bằng 1?

Câu 2:Quỹ tích các điểm M thỏa mãn MF / d(M, Δ) = 2.5 tạo thành đường nào?

Đúng / Sai

Câu 3Đánh giá tính đúng/sai của các nhận định dưới đây:

a)Đường tròn là trường hợp đặc biệt của Elip với tâm sai bằng 0.

b)Mọi đường conic đều có tâm đối xứng.

c)Ba đường conic đều có thể được tạo ra bằng cách cắt hình nón.

d)Đường chuẩn của parabol nằm cùng phía với tiêu điểm so với đỉnh.

Câu 4:Một đường conic có tiêu điểm tại F(0;0), đường chuẩn là đường thẳng nằm ngang y = 4. Nếu tâm sai e = 1, đây là parabol với khoảng cách từ đỉnh tới tiêu điểm bằng bao nhiêu?

IV. Bài tập tự luận

📝 Bài tập tự luyện

Câu 1. Thiết lập định nghĩa chung cho biết, với một Elip đang có tâm sai $e = 0.5$ . Nếu làm tăng tâm sai $e$ tiến dần đến 1, hình dạng của Elip sẽ thay đổi như thế nào?

💡 Lời giải

Tâm sai $e = \frac{c}{a}$ . Khi $e$ tăng dần và tiến tới 1, thì $c$ sẽ tiến tới $a$ .
Mối quan hệ giữa các kích thước trong elip: $b^2 = a^2 - c^2$ . Nếu $c \to a$ , thì $b^2 \to 0$ , có nghĩa là nửa trục nhỏ $b$ sẽ rát bé so với nửa trục lớn $a$ .
Đồ thị elip sẽ bị “bóp xẹp” lại, trở thành dạng rất dẹt và dài.
Ngược lại, nếu $e$ giảm về 0, $c$ tiến về 0 và $b$ tiến về $a$ , hình dáng elip sẽ ngày càng tròn và cuối cùng trở thành một đường tròn hoàn hảo.

Câu 2. Tìm quỹ tích điểm $M$ thỏa mãn khoảng cách từ $M$ đến điểm $F(-4; 0)$ bằng $\frac{5}{3}$ lần khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $\Delta: x = -\frac{36}{5}$ .

💡 Lời giải

Tỉ số giữa các khoảng cách là $e = \frac{5}{3} > 1$ . Theo định nghĩa chung, quỹ tích của hệ này là một Hypebol.
Hệ thức quỹ tích: $MF^2 = e^2 \cdot d^2(M, \Delta)$ . $(x + 4)^2 + y^2 = \frac{25}{9} \left(x + \frac{36}{5}\right)^2$ $x^2 + 8x + 16 + y^2 = \frac{25}{9} \left(x^2 + \frac{72}{5}x + \frac{1296}{25}\right)$ $x^2 + 8x + 16 + y^2 = \frac{25}{9}x^2 + 40x + 144$
Chuyển vế để thu gọn các đại lượng: $x^2 - \frac{25}{9}x^2 + y^2 - 32x = 128 \Rightarrow -\frac{16}{9}x^2 - 32x + y^2 = 128$
Viết lại hàm dạng toàn phương để đưa về chính tắc. Lưu ý ví dụ này tiêu điểm $F(-4;0)$ và đường chuẩn không đối xứng qua O. Ta dùng kĩ xảo ép phương trình Hypebol: $-\frac{16}{9}(x^2 + 18x + 81) + y^2 = 128 - \frac{16}{9}\cdot 81$ $-\frac{16}{9}(x+9)^2 + y^2 = 128 - 144 = -16$
Chia hai vế cho -16: $\frac{(x+9)^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ .
Quỹ tích là Hypebol có tâm tại $I(-9; 0)$ .

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Không giới hạn lần làm