Ôn tập Chương VI: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

⚡ 1. Lũy thừa

Lũy thừa với số mũ thực: $a^\alpha$ ( $a > 0$ ).
Tính chất:
- $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$
- $a^x / a^y = a^{x-y}$
- $(a^x)^y = a^{xy}$
- $(ab)^x = a^x \cdot b^x$
- $a^{-x} = \frac{1}{a^x}$
Căn bậc $n$ : $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$ ( $a > 0$ ).

⚡ 2. Lôgarit

Định nghĩa: $\log_a b = \alpha \Leftrightarrow a^\alpha = b$ ( $a > 0, a \neq 1, b > 0$ ).
Tính chất:
- $\log_a (bc) = \log_a b + \log_a c$
- $\log_a (b/c) = \log_a b - \log_a c$
- $\log_a b^\alpha = \alpha \log_a b$
- Đổi cơ số: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$
Lôgarit tự nhiên (Neper): $\ln b = \log_e b$ ( $e \approx 2{,}718$ ).
Lôgarit thập phân: $\log b = \log_{10} b$ .

⚡ 3. Hàm số mũ và Hàm số lôgarit

Hàm số mũ $y = a^x$ : Tập xác định $D = \mathbb{R}$ , tập giá trị $(0; +\infty)$ . Đồng biến nếu $a > 1$ , nghịch biến nếu $0 < a < 1$ .
Hàm số lôgarit $y = \log_a x$ : Tập xác định $D = (0; +\infty)$ , tập giá trị $\mathbb{R}$ . Đồng biến nếu $a > 1$ , nghịch biến nếu $0 < a < 1$ .

⚡ 4. Phương trình và bất phương trình

Phương trình mũ: $a^{f(x)} = b \Leftrightarrow f(x) = \log_a b$ ( $b > 0$ ).
Phương trình lôgarit: $\log_a f(x) = b \Leftrightarrow f(x) = a^b$ .
Bất phương trình: Lưu ý đổi chiều bất đẳng thức khi cơ số $0 < a < 1$ .

II. Dạng toán tổng hợp

📌 Phương pháp giải

Chiến lược giải toán:

Rút gọn: Đưa về cùng cơ số.
Phương trình: Đặt ẩn phụ $t = a^x$ hoặc dùng phương pháp lôgarit hóa hai vế.
Bất phương trình: Luôn đặt điều kiện xác định trước ( $f(x) > 0$ trong $\log$ , căn thức, mẫu số).
Bài toán lãi kép/tăng trưởng: Sử dụng công thức $A = P \cdot e^{rt}$ hoặc $A = P(1+r)^n$ .

🔍 Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức lũy thừa

Rút gọn $P = \frac{a^{1/3} \sqrt{a}}{\sqrt[6]{a}}$ ( $a > 0$ ).

💡 Xem lời giải

Đưa về số mũ thực: $P = \frac{a^{1/3} \cdot a^{1/2}}{a^{1/6}} = a^{1/3 + 1/2 - 1/6} = a^{(2+3-1)/6} = a^{4/6} = a^{2/3}$ . Vậy $P = \sqrt[3]{a^2}$ .

🔍 Ví dụ 2: Tính giá trị lôgarit

Cho $\log_2 3 = a$ . Tính $\log_{12} 18$ theo $a$ .

💡 Xem lời giải

Sử dụng công thức đổi cơ số sang cơ số 2: $\log_{12} 18 = \frac{\log_2 18}{\log_2 12} = \frac{\log_2 (2 \cdot 3^2)}{\log_2 (2^2 \cdot 3)} = \frac{\log_2 2 + 2\log_2 3}{2\log_2 2 + \log_2 3} = \frac{1 + 2a}{2 + a}$ .

🔍 Ví dụ 3: Giải phương trình mũ

Giải phương trình: $4^x - 3 \cdot 2^x + 2 = 0$ .

💡 Xem lời giải

Đặt $t = 2^x$ ( $t > 0$ ). Phương trình trở thành: $t^2 - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1$ hoặc $t = 2$ .

Với $t = 1 \Rightarrow 2^x = 1 \Rightarrow x = 0$ .
Với $t = 2 \Rightarrow 2^x = 2 \Rightarrow x = 1$ . Vậy tập nghiệm $S = \{0; 1\}$ .

🔍 Ví dụ 4: Bài toán thực tế — Độ pH của dung dịch

Nồng độ ion Hydrô $[H^+]$ trong một loại nước cam là $10^{-4}$ mol/L. a) Tính độ pH của nước cam đó (biết $pH = -\log [H^+]$ ). b) Nếu độ pH của nước chanh là 2,4, nồng độ $[H^+]$ của nước chanh gấp mấy lần nước cam?

💡 Xem lời giải

a) $pH = -\log(10^{-4}) = -(-4) = 4$ . b) Với nước chanh: $2{,}4 = -\log [H^+]_{chanh} \Rightarrow [H^+]_{chanh} = 10^{-2{,}4}$ . Tỉ lệ: $\frac{[H^+]_{chanh}}{[H^+]_{cam}} = \frac{10^{-2{,}4}}{10^{-4}} = 10^{1{,}6} \approx 39{,}8$ . Nồng độ ion $H^+$ trong nước chanh gấp khoảng 40 lần trong nước cam.

🔍 Ví dụ 5: Bài toán thực tế — Suy giảm phóng xạ

Khối lượng còn lại của một chất phóng xạ sau thời gian $t$ (năm) được tính bởi $m(t) = m_0 \cdot (1/2)^{t/T}$ , trong đó $m_0$ là khối lượng ban đầu, $T$ là chu kỳ bán rã. Cho $100$ g chất phóng xạ có $T = 30$ năm. a) Sau 60 năm, khối lượng còn lại là bao nhiêu? b) Sau bao lâu thì khối lượng còn lại chỉ còn 10g?

💡 Xem lời giải

a) $t = 60 \Rightarrow m(60) = 100 \cdot (1/2)^{60/30} = 100 \cdot (1/2)^2 = 25$ g. b) $10 = 100 \cdot (1/2)^{t/30} \Leftrightarrow 0,1 = (0,5)^{t/30}$ Lấy lôgarit hai vế: $\log_{0,5} 0,1 = t/30 \Rightarrow t = 30 \cdot \log_{0,5} 0,1 \approx 30 \cdot 3{,}32 \approx 99{,}6$ năm. Sau khoảng 99,6 năm thì còn lại 10g.

III. Trắc nghiệm ôn tập

Câu 1:Giá trị của $8^{2/3}$ bằng:

Câu 2:Tập xác định của hàm số $y = \ln(x - 2)$ là:

Câu 3:Giá trị của $\log_3 27$ là:

Câu 4:Nghiệm của phương trình $2^x = 5$ là:

Câu 5:Hàm số $y = 0{,}5^x$ có tính chất:

Câu 6:Lôgarit thập phân của 1000 bằng:

Đúng / Sai

Câu 7Xét tính đúng sai của các nhận định về lôgarit và lũy thừa:

a)$log_a 1 = 0$ với mọi $a > 0, a eq 1$.

b)Lôgarit của một tổng bằng tổng các lôgarit.

c)$a^x > 0$ với mọi $x in mathbb{R}$.

d)Đồ thị hàm số $y = log_a x$ luôn đi qua điểm $(1; 0)$.

Đúng / Sai

Câu 8Cho phương trình $2^{x+1} = 4^x$. Đúng hay sai?

a)Phương trình tương đương với $x+1 = 2x$.

b)Nghiệm của phương trình là số nguyên dương.

c)Phương trình vô nghiệm.

d)Lôgarit cơ số 2 hai vế ta được $x+1 = xlog_2 4$.

Câu 9:Tính giá trị của biểu thức $M = \log_2 (2^3 \cdot 2^5)$.

Câu 10:Tìm tập nghiệm của bất phương trình $\log_2 x < 3$.

IV. Bài tập tự luận tổng hợp

📝 Danh sách bài tập tự luận

Câu 1. Rút gọn các biểu thức sau ( $a, b > 0$ ): a) $A = \frac{a^{2/3} \sqrt[3]{a^4}}{a^{-1/3}}$ b) $B = \sqrt[3]{b^2 \sqrt{b}}$ c) $C = (a^{\sqrt{2}-1})^{\sqrt{2}+1}$ d) $D = a^{1/2} \cdot a^{2/5} : a^{-1/10}$

💡 Đáp án

a) $a^{2/3 + 4/3 + 1/3} = a^7/3$ . b) $(b^{2 + 1/2})^{1/3} = b^{5/6} = \sqrt[6]{b^5}$ . c) $a^{2-1} = a$ . d) $a^{5/10 + 4/10 + 1/10} = a^1 = a$ .

Câu 2. Tính giá trị các lôgarit sau: a) $\log_2 4 + \log_2 8$ b) $\log_{1/2} 16$ c) $3^{\log_3 5} + \log_5 1$ d) $\ln \sqrt{e} - \log 0{,}1$

💡 Đáp án

a) $2 + 3 = 5$ . b) -4. c) $5 + 0 = 5$ . d) $1/2 - (-1) = 1,5$ .

Câu 3. Cho $\log_2 5 = a$ và $\log_2 3 = b$ . Tính các giá trị sau theo $a, b$ : a) $\log_2 15$ b) $\log_2 75$ c) $\log_3 5$ d) $\log_{12} 50$

💡 Đáp án

a) $a+b$ . b) $b + 2a$ . c) $a/b$ . d) $\frac{1+2a}{2+b}$ .

Câu 4. (Thực tế - Tài chính) Anh Nam gửi tiết kiệm 500 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 7,2% mỗi năm. a) Viết công thức tính số tiền $T$ anh Nam nhận được sau $n$ năm (lãi kép). b) Sau 10 năm anh Nam có bao nhiêu tiền? c) Sau ít nhất bao nhiêu năm thì số tiền của anh Nam gấp đôi số ban đầu? d) Nếu ngân hàng tính lãi theo tháng, công thức thay đổi thế nào?

💡 Đáp án

a) $T = 500 \cdot (1,072)^n$ . b) $500 \cdot (1,072)^{10} \approx 1002$ triệu đồng. c) $1,072^n \geq 2 \Rightarrow n \geq \log_{1,072} 2 \approx 10$ năm. d) $T = 500 \cdot (1 + \frac{0,072}{12})^{12n}$ .

Câu 5. Giải các phương trình mũ: a) $3^{2x-1} = 27$ b) $5^{x+1} = 2^x$ c) $9^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0$ d) $e^x + e^{-x} = 2$

💡 Đáp án

a) $2x-1 = 3 \Rightarrow x = 2$ . b) $x = \log_{5/2} (1/5) = -\log_{2,5} 5$ . c) $3^x = 1, 3^x = 3 \Rightarrow x \in \{0, 1\}$ . d) $t + 1/t = 2 \Rightarrow t=1 \Rightarrow x=0$ .

Câu 6. Giải các phương trình lôgarit: a) $\log_3 (x-1) = 2$ b) $\log_2 x + \log_2 (x-2) = 3$ c) $\ln^2 x - 3\ln x + 2 = 0$ d) $\log_x 4 = 2$

💡 Đáp án

a) $x-1 = 9 \Rightarrow x = 10$ . b) $x^2-2x = 8 \Rightarrow x = 4$ (loại $x=-2$ ). c) $\ln x \in \{1, 2\} \Rightarrow x \in \{e, e^2\}$ . d) $x^2 = 4 \Rightarrow x=2$ (loại -2).

Câu 7. (Thực tế - Khoa học) Cường độ âm thanh $L$ (dB) được tính bởi $L = 10\log(\frac{I}{I_0})$ , với $I$ là cường độ âm thực tế và $I_0 = 10^{-12} W/m^2$ là ngưỡng nghe. a) Tính độ lớn âm thanh cửa một cuộc trò chuyện bình thường có $I = 10^{-6} W/m^2$ . b) Một tiếng nổ lớn có độ lớn 120 dB. Tính cường độ âm $I$ của tiếng nổ đó. c) Nếu cường độ âm tăng lên 100 lần thì độ lớn âm thanh tăng thêm bao nhiêu dB? d) Tại sao tai người có thể nghe được dải âm rộng từ 0 đến 130 dB? (Giải thích qua đặc điểm hàm lôgarit).

💡 Đáp án

a) $10 \log(10^6) = 60$ dB. b) $120 = 10 \log(I/I_0) \Rightarrow I = 1$ $W/m^2$ . c) $10 \log(100) = 20$ dB. d) Do hàm lôgarit nén dải số liệu cực rộng về một dải hẹp, phù hợp với cơ chế cảm nhận của cơ quan thính giác.

Câu 8. Giải các bất phương trình: a) $2^{x-1} > 8$ b) $0{,}5^x < 0{,}25$ c) $\log_2 (2x-4) \leq 4$ d) $\log_{0,5} (x+1) > -2$

💡 Đáp án

a) $x-1 > 3 \Rightarrow x > 4$ . b) $x > 2$ . c) $0 < 2x-4 \leq 16 \Rightarrow 2 < x \leq 10$ . d) $0 < x+1 < (0,5)^{-2} = 4 \Rightarrow -1 < x < 3$ .

Câu 9. (Thực tế - Sinh học) Số lượng vi khuẩn trong một thí nghiệm được ước tính theo công thức $N(t) = 1000 \cdot e^{0,2t}$ ( $t$ tính bằng giờ). a) Số lượng vi khuẩn ban đầu là bao nhiêu? b) Sau 5 giờ số lượng vi khuẩn là bao nhiêu? c) Sau bao lâu số lượng vi khuẩn đạt 10.000 con? d) Tốc độ tăng trưởng của vi khuẩn thay đổi thế nào theo thời gian?

💡 Đáp án

a) 1000 con. b) $1000 \cdot e \approx 2718$ con. c) $e^{0,2t} = 10 \Rightarrow t = 5 \ln 10 \approx 11,5$ giờ. d) Tốc độ tăng trưởng tăng theo hàm số mũ.

Câu 10. (Tổng hợp) Khảo sát đồ thị và tham số $m$ : a) Vẽ đồ thị hàm số $y = 2^x$ và $y = \log_2 x$ trên cùng hệ trục. Nhận xét về tính đối xứng. b) Tìm $m$ để phương trình $4^x - m \cdot 2^x + m + 3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt. c) Tìm $m$ để tập xác định của hàm số $y = \ln(x^2 - 2mx + 4)$ là $\mathbb{R}$ . d) Chứng minh rằng hàm số $y = a^x$ và $y = a^{-x}$ đối xứng qua trục tung.

💡 Đáp án

a) Đối xứng qua đường phân giác $y=x$ . b) $t^2 - mt + m+3 = 0$ có 2 nghiệm dương phân biệt. c) $\Delta' < 0 \Rightarrow m^2 - 4 < 0 \Rightarrow |m| < 2$ . d) Thay $x$ bằng $-x$ trong $f(x) = a^x$ ta được $f(-x) = a^{-x}$ .

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Không giới hạn lần làm

Ôn tập Chương 6 - Toán 11

Ôn tập Chương VI: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

II. Dạng toán tổng hợp

III. Trắc nghiệm ôn tập

IV. Bài tập tự luận tổng hợp

Luyện tập trắc nghiệm