Ôn tập Chương II: Vectơ và hệ tọa độ trong không gian

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

⚡ 1. Vectơ trong không gian

Định nghĩa: Một đoạn thẳng có hướng. Các khái niệm độ dài, giá, phương, hướng tương tự trong mặt phẳng.
Quy tắc cộng:
- Quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ .
- Quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$ .
- Quy tắc hình hộp: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$ .
Tích vô hướng: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b})$ .

⚡ 2. Hệ tọa độ Trong không gian

Hệ tọa độ $Oxyz$ gồm 3 trục tọa độ $Ox, Oy, Oz$ đôi một vuông góc tại gốc $O$ . Các vectơ đơn vị tương ứng là $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ .
Tọa độ điểm: $M(x; y; z) \Leftrightarrow \overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$ .
Tọa độ vectơ: $\vec{u} = (x; y; z) \Leftrightarrow \vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$ .

⚡ 3. Biểu thức tọa độ các phép toán

Cho $\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)$ and $\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)$ :

$\vec{a} \pm \vec{b} = (x_1 \pm x_2; y_1 \pm y_2; z_1 \pm z_2)$ .
$k\vec{a} = (kx_1; ky_1; kz_1)$ .
Tích vô hướng: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$ .
Độ dài: $|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}$ .
Góc: $\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$ .
Khoảng cách giữa hai điểm: $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$ .

II. Dạng toán tổng hợp

📌 Phương pháp giải

Kỹ năng giải toán Chương 2:

Chuyển đổi linh hoạt giữa ngôn ngữ vectơ và ngôn ngữ tọa độ.
Sử dụng tích vô hướng để tính góc và chứng minh vuông góc ( $\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ).
Tìm tọa độ điểm thứ tư của hình bình hành, hình hộp, trọng tâm tam giác hoặc tứ diện.

🔍 Ví dụ 1: Các phép toán vectơ bằng tọa độ

Cho $\vec{a} = (1; 2; -1)$ and $\vec{b} = (2; 0; 3)$ . Tính tọa độ vectơ $\vec{u} = 2\vec{a} - 3\vec{b}$ .

💡 Xem lời giải

$2\vec{a} = (2; 4; -2)$ .
$3\vec{b} = (6; 0; 9)$ .
$\vec{u} = (2-6; 4-0; -2-9) = (-4; 4; -11)$ .

🔍 Ví dụ 2: Tìm điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ

Trong không gian $Oxyz$ , cho $A(1; 0; 2), B(-1; 1; 3)$ . Tìm tọa độ điểm $M$ trên trục $Oz$ sao cho tam giác $MAB$ cân tại $M$ .

💡 Xem lời giải

Vì $M \in Oz \Rightarrow M(0; 0; z)$ .
Tam giác $MAB$ cân tại $M \Leftrightarrow MA^2 = MB^2$ .
$MA^2 = (1-0)^2 + (0-0)^2 + (2-z)^2 = 1 + (2-z)^2$ .
$MB^2 = (-1-0)^2 + (1-0)^2 + (3-z)^2 = 2 + (3-z)^2$ .
Ta có: $1 + 4 - 4z + z^2 = 2 + 9 - 6z + z^2 \Leftrightarrow 5 - 4z = 11 - 6z \Leftrightarrow 2z = 6 \Leftrightarrow z = 3$ .
Vậy $M(0; 0; 3)$ .

🔍 Ví dụ 3: Tích vô hướng và góc

Tính góc giữa hai vectơ $\vec{a} = (1; 1; 0)$ and $\vec{b} = (0; 1; 1)$ .

💡 Xem lời giải

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 1$ .
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$ .
$|\vec{b}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ .
$\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$ .
Vậy góc giữa hai vectơ bằng $60^\circ$ .

🔍 Ví dụ 4: Hình hộp và quy tắc vectơ

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có $A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), A'(4; 5; 6)$ . Tìm tọa độ điểm $C'$ .

💡 Xem lời giải

Sử dụng quy tắc hình hộp: $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$ .
$\overrightarrow{AB} = (1; 1; 1)$ .
$\overrightarrow{AD} = (0; -1; 0)$ .
$\overrightarrow{AA'} = (3; 5; 5)$ .
$\overrightarrow{AC'} = (1+0+3; 1-1+5; 1+0+5) = (4; 5; 6)$ .
Gọi $C'(x; y; z) \Rightarrow \overrightarrow{AC'} = (x-1; y-0; z-1)$ .
Hệ: $x-1 = 4 \Rightarrow x=5$ ; $y=5$ ; $z-1=6 \Rightarrow z=7$ .
Vậy $C'(5; 5; 7)$ .

🔍 Ví dụ 5: Bài toán thực tế — Radar hàng không

Một radar đặt tại gốc $O$ phát hiện một máy bay tại vị trí $A(2; 3; 5)$ (đơn vị: km). Sau 1 phút, máy bay di chuyển đến $B(4; 5; 6)$ . a) Tính quãng đường máy bay di chuyển trong 1 phút đó. b) Tính vận tốc của máy bay (km/h).

💡 Xem lời giải

a) Quãng đường là độ dài đoạn $AB$ : $AB = \sqrt{(4-2)^2 + (5-3)^2 + (6-5)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{9} = 3$ km. b) Thời gian $t = 1$ phút $= 1/60$ giờ. Vận tốc $v = s/t = 3 / (1/60) = 180$ km/h.

III. Trắc nghiệm ôn tập

Câu 1:Trong hệ tọa độ $Oxyz$, cho $\vec{a} = 2\vec{i} - \vec{k}$. Tọa độ của vectơ $\vec{a}$ là:

Câu 2:Cho $A(1; 2; 3)$ and $B(3; 0; 1)$. Tọa độ trung điểm $M$ của đoạn $AB$ là:

Câu 3:Độ dài của vectơ $\vec{u} = (3; -4; 0)$ là:

Câu 4:Cho hai vectơ $\vec{a} = (1; 2; 2)$ and $\vec{b} = (2; 1; m)$. Tìm $m$ để $\vec{a} \perp \vec{b}$.

Câu 5:Hình chiếu của điểm $M(1; 2; 3)$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ có tọa độ là:

Câu 6:Cho $\vec{a} = (x; 2; 1)$ and $\vec{b} = (2; 4; 2)$. Để $\vec{a}$ cùng phương với $\vec{b}$ thì $x$ bằng:

Đúng / Sai

Câu 7Cho ba điểm $A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 3)$. Đúng hay sai?

a)Ba điểm $A, B, C$ nằm trên 3 trục tọa độ.

b)Tọa độ trọng tâm tam giác $ABC$ là $(1/3; 2/3; 1)$.

c)Độ dài đoạn $AB = sqrt{3}$.

d)Vectơ $overrightarrow{AB}$ có tọa độ $(-1; 2; 0)$.

Đúng / Sai

Câu 8Xét các vectơ $\vec{u} = (1; 1; 1)$ and $\vec{v} = (2; 0; -2)$. Đúng hay sai?

a)Hai vectơ này vuông góc với nhau.

b)Độ dài vectơ $ec{u}$ lớn hơn độ dài vectơ $ec{v}$.

c)Tổng $ec{u} + ec{v} = (3; 1; -1)$.

d)Góc giữa hai vectơ là $90^circ$.

Câu 9:Cho $A(1; 1; 1)$ and $B(3; 3; 3)$. Tính độ dài đoạn thẳng $AB$.

Câu 10:Trong không gian, cho 3 vectơ đơn vị $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ đôi một vuông góc. Tính giá trị biểu thức $\vec{i} \cdot \vec{j} + \vec{j} \cdot \vec{k} + \vec{k} \cdot \vec{i}$.

IV. Bài tập tự luận tổng hợp

📝 Danh sách bài tập tự luận

Câu 1. Cho các vectơ $\vec{a} = (2; -1; 3), \vec{b} = (1; 1; -2), \vec{c} = (3; -2; 1)$ . a) Tính tọa độ các vectơ $\vec{u} = \vec{a} - 2\vec{b} + 3\vec{c}$ . b) Tìm tọa độ vectơ $\vec{x}$ sao cho $\vec{a} + \vec{x} = \vec{b} - \vec{c}$ . c) Tính độ dài vectơ $\vec{a} + \vec{b}$ . d) Tính tích vô hướng $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c})$ .

💡 Đáp án

a) $(9; -9; 10)$ . b) $(-4; 4; -6)$ . c) $\sqrt{10}$ . d) $\vec{a} \cdot (4, -1, -1) = 8+1-3=6$ .

Câu 2. Trong không gian $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có $A(1; 2; -1), B(2; -1; 3), C(-4; 7; 5)$ . a) Tìm tọa độ chân đường trung tuyến $M$ kẻ từ đỉnh $A$ . b) Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ . c) Tính chu vi tam giác $ABC$ . d) Tính cosin của góc $A$ .

💡 Đáp án

a) $M(-1; 3; 4)$ . b) $G(-1/3; 8/3; 7/3)$ . c) $AB+BC+CA = \sqrt{26} + \sqrt{104} + \sqrt{86}$ . d) Sử dụng định lý cosin hoặc tích vô hướng.

Câu 3. Cho tứ diện $ABCD$ có $A(2; 3; 1), B(4; 1; -2), C(6; 3; 7), D(-5; -4; 8)$ . a) Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tứ diện. b) Tìm tọa độ điểm $E$ đối xứng với $A$ qua $B$ . c) Tính độ dài đoạn nối trung điểm $AB$ và $CD$ . d) Chứng minh $AB \perp AD$ (nếu có).

💡 Đáp án

a) $G(7/4, 3/4, 14/4)$ . b) $E(6; -1; -5)$ . c) Tính tọa độ 2 trung điểm rồi tính khoảng cách. d) Kiểm tra $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0$ .

Câu 4. (Thực tế) Một vật có khối lượng 10kg được treo bởi 3 sợi dây tại điểm $O$ . Các đầu dây kia được gắn vào các điểm $A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1)$ (đơn vị: mét). a) Hãy viết vectơ lực trọng trường tác dụng lên vật (lấy $g=10$ ). b) Nếu vật ở trạng thái cân bằng tại gốc $O$ , tổng các lực căng dây bằng bao nhiêu?

💡 Đáp án

a) $\vec{P} = (0; 0; -100)$ . b) Tổng vectơ lực bằng $\vec{0}$ .

Câu 5. Cho ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ không đồng phẳng. a) Biểu diễn vectơ $\vec{d} = (4; 3; 2)$ qua $\vec{a} = (1; 0; 0), \vec{b} = (1; 1; 0), \vec{c} = (1; 1; 1)$ . b) Kiểm tra tính đồng phẳng của 3 vectơ $\vec{u}=(1; 2; 3), \vec{v}=(2; 3; 4), \vec{w}=(3; 4; 5)$ .

💡 Đáp án

a) $\vec{d} = 1\vec{a} + 1\vec{b} + 2\vec{c}$ . b) Tính tích hỗn tạp $(\vec{u},\vec{v})\cdot\vec{w}$ . Nếu bằng 0 thì đồng phẳng. (Ở đây bằng 0).

Câu 6. Tìm trên mặt phẳng $(Oxy)$ một điểm $M$ sao cho tổng khoảng cách từ $M$ đến hai điểm $A(1; 2; 3)$ và $B(4; 4; 5)$ là nhỏ nhất.

💡 Đáp án

Vì $A, B$ cùng phía với $(Oxy)$ , lấy đối xứng $A'$ qua $(Oxy)$ , $M = A'B \cap (Oxy)$ .

Câu 7. (Thế giới tự nhiên) Một đàn chim di cư bay với vận tốc $\vec{v} = (5; 12; 0)$ km/h so với không khí. Gió thổi với vận tốc $\vec{w} = (2; -3; 1)$ km/h. a) Tính vận tốc thực tế của đàn chim so với mặt đất. b) Sau 2 giờ, đàn chim bay được quãng đường bao nhiêu?

💡 Đáp án

a) $\vec{V} = (7; 9; 1)$ km/h. b) $2 \times |\vec{V}| = 2\sqrt{49+81+1} = 2\sqrt{131} \approx 22,9$ km.

Câu 8. Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ . Thiết lập hệ tọa độ $Oxyz$ với $A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A'(0;0;a)$ . a) Tìm tọa độ tất cả các đỉnh còn lại. b) Tính góc giữa hai đường chéo $AC'$ và $BD'$ . c) Tính khoảng cách từ trọng tâm $G$ của tam giác $A'BD$ đến gốc $A$ .

💡 Đáp án

a) $C(a,a,0), B'(a,0,a), D'(0,a,a), C'(a,a,a)$ . b) Dùng tích vô hướng $\Rightarrow \cos\alpha = 1/3$ . c) $G(a/3, a/3, a/3) \Rightarrow d = a/\sqrt{3}$ .

Câu 9. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc trục $Oy$ sao cho $M$ cách đều hai mặt phẳng $y=0$ và tọa độ điểm $A(1; 1; 1)$ . (Sửa lại: Tìm $M \in Oy$ sao cho $MA = 5$ ).

💡 Đáp án

$M(0; y; 0) \Rightarrow 1^2+(y-1)^2+1^2 = 25 \Rightarrow (y-1)^2 = 23 \Rightarrow y = 1 \pm \sqrt{23}$ .

Câu 10. (Tổng hợp) Chứng minh rằng trong không gian, nếu 4 điểm $A, B, C, D$ thỏa mãn $AB^2 + CD^2 = BC^2 + AD^2$ thì $AC \perp BD$ .

💡 Đáp án

Sử dụng biểu thức vectơ $AB^2 = (\vec{b}-\vec{a})^2$ . Biến đổi đẳng thức về $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 0$ .

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Không giới hạn lần làm

Ôn tập Chương 2 - Toán 12

Ôn tập Chương II: Vectơ và hệ tọa độ trong không gian

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

II. Dạng toán tổng hợp

III. Trắc nghiệm ôn tập

IV. Bài tập tự luận tổng hợp

Luyện tập trắc nghiệm