Bài 19: Phương trình đường thẳng

Đường thẳng đi qua $A(2; -1)$ nhận $\vec{n} = (3; 4)$ làm VTPT có phương trình là: $3(x - 2) + 4(y + 1) = 0$ $\Leftrightarrow 3x - 6 + 4y + 4 = 0$ $\Leftrightarrow 3x + 4y - 2 = 0$

Đường thẳng $\Delta$ đi qua $M, N$ nên nhận $\overrightarrow{MN} = (2; -3)$ làm vectơ chỉ phương. Suy ra $\Delta$ nhận $\vec{n} = (3; 2)$ làm VTPT. Phương trình tổng quát của $\Delta$ đi qua $M(1; 2)$ và nhận $\vec{n} = (3; 2)$ là VTPT: $3(x - 1) + 2(y - 2) = 0$ $\Leftrightarrow 3x + 2y - 7 = 0$

Gọi $\Delta$ là đường trung trực của $AB$. $\Delta$ đi qua trung điểm $I$ của $AB$ và nhận $\overrightarrow{AB}$ làm VTPT.

Tọa độ trung điểm $I$: $x_I = \dfrac{1 - 3}{2} = -1$; $y_I = \dfrac{3 + 5}{2} = 4 \Rightarrow I(-1; 4)$.

Vectơ pháp tuyến: $\vec{n} = \overrightarrow{AB} = (-4; 2)$. Chọn VTPT tỉ lệ rút gọn là $\vec{n}' = (-2; 1)$ hoặc $\vec{n}'' = (2; -1)$

Phương trình tổng quát của $\Delta$ đi qua $I(-1; 4)$ và có VTPT $(2; -1)$: $2(x + 1) - 1(y - 4) = 0 \Leftrightarrow 2x - y + 6 = 0$

Vì $d \parallel d'$ nên $d$ nhận VTPT của $d'$ làm VTPT $\Rightarrow \vec{n}_d = (4; -3)$. Phương trình $d$ đi qua $C(-2; 5)$ nhận $\vec{n}_d = (4; -3)$ làm VTPT: $4(x + 2) - 3(y - 5) = 0 \Leftrightarrow 4x - 3y + 23 = 0$

Gọi $A(a; 0) \in Ox$ ($a > 0$) và $B(0; b) \in Oy$ ($b > 0$). Phương trình theo đoạn chắn của $\Delta$: $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$. Vì $M(2; 1) \in \Delta$ nên $\dfrac{2}{a} + \dfrac{1}{b} = 1$ (1). Diện tích tam giác vuông $OAB$: $S = \dfrac{1}{2} OA \cdot OB = \dfrac{1}{2}ab = 4 \Rightarrow ab = 8 \Rightarrow b = \dfrac{8}{a}$ (2). Thế (2) vào (1): $\dfrac{2}{a} + \dfrac{a}{8} = 1 \Leftrightarrow a^2 - 8a + 16 = 0 \Leftrightarrow a = 4$. Từ đó $b = \dfrac{8}{4} = 2$. Cả $a, b > 0$ nên thỏa mãn. Phương trình $\Delta$: $\dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow x + 2y - 4 = 0$.

Đường thẳng $\Delta$ đi qua $E(-1; 4)$ và có VTCP $\vec{u} = (2; -5)$ nên phương trình tham số là: $\begin{cases} x = -1 + 2t \\ y = 4 - 5t \end{cases}$

Đường thẳng $d$ có VTPT $\vec{n} = (2; -3) \Rightarrow d$ có VTCP $\vec{u} = (3; 2)$. Tìm một điểm thuộc $d$: Cho $x = 0 \Rightarrow 2(0) - 3y + 6 = 0 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow A(0; 2) \in d$. Phương trình tham số của $d$: $\begin{cases} x = 3t \\ y = 2 + 2t \end{cases}$

Hệ số góc $k = -2 \Rightarrow$ một VTCP của đường là $\vec{u} = (1; k) = (1; -2)$. Đường thẳng đi qua $M(3; -1)$ nhận $\vec{u} = (1; -2)$ làm VTCP, có phương trình tham số: $\begin{cases} x = 3 + t \\ y = -1 - 2t \end{cases}$

Đường cao $AH$ vuông góc với $BC$, do đó $AH$ nhận vectơ $\overrightarrow{BC} = (-5; 5)$ làm VTPT. Chọn VTPT tỷ lệ rút gọn của $AH$ là $\vec{n}_{AH} = (-1; 1)$. Suy ra $AH$ có VTCP $\vec{u}_{AH} = (1; 1)$. Phương trình tham số của $AH$ đi qua $A(1; 2)$: $\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + t \end{cases}$

Phương trình tham số của $\Delta$: $\begin{cases} x = 1 - t \\ y = 2 + t \end{cases}$. Điểm $H$ nằm trên $\Delta$ nên $H(1 - t; 2 + t)$. Vì $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên $\Delta$ nên $\overrightarrow{IH} \bot \vec{u}_\Delta$, hay $\overrightarrow{IH} \cdot \vec{u}_\Delta = 0$. Ta có: $\overrightarrow{IH} = (1 - t - 3; 2 + t - (-2)) = (-2 - t; 4 + t)$. Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\vec{u}_\Delta = (-1; 1)$. $\overrightarrow{IH} \cdot \vec{u}_\Delta = (-1)(-2 - t) + 1(4 + t) = 2 + t + 4 + t = 2t + 6 = 0 \Leftrightarrow t = -3$. Thay $t = -3$ vào tọa độ $H$: $H(1 - (-3); 2 + (-3)) = (4; -1)$. Khoảng cách từ $I$ đến $\Delta$ là độ dài đoạn $IH$: $IH = \sqrt{(4 - 3)^2 + (-1 - (-2))^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Vậy $H(4; -1)$ và $d(I, \Delta) = \sqrt{2}$.

Vị trí ban đầu là $A(1; 2)$. Vectơ vấn tốc chính là vectơ chỉ phương $\vec{v} = (3; 4)$. Quỹ đạo chuyển động của tàu là một đường thẳng. Phương trình tham số mô tả tọa độ tàu theo thời gian $t$ là: $\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 2 + 4t \end{cases} \quad (t \ge 0)$

Giả sử có sự kiện đâm va, tức là tồn tại cùng một khung giờ $t$ để tàu $P$ và $Q$ cập bến cùng tọa độ $x$ và $y$. Ta giải hệ phương trình: $\begin{cases} 1 + 2t = -3 + t \\ -2 + t = 2 - t \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} t = -4 \text{ (loại do } t > 0) \\ 2t = 4 \Rightarrow t = 2 \end{cases}$ Hệ phương trình không có nghiệm $t$ thống nhất. Vậy hai đường thẳng chứa quỹ đạo có thể cắt nhau (do VTCP không cùng phương), nhưng hai tàu không bao giờ đâm nhau vì chúng đến điểm giao cắt không cùng lúc.

Tìm điểm $A'(x; y)$ đối xứng với $A(2; 5)$ qua trục $Ox$. Vì $Ox$ là $y=0$, nên $A'(2; -5)$. Theo định luật phản xạ ánh sáng của Vật lí, đường thẳng chứa tia sáng phản xạ sẽ đi qua $A'$ và $B$. Giao điểm của đường thẳng $A'B$ và trục $Ox$ chính là điểm giao xạ $I$. Đường thẳng $A'B$ đi qua $A'(2; -5)$ và $B(6;3)$ có VTCP $\overrightarrow{A'B} = (4; 8)$. Chọn $\vec{u} = (1; 2)$. VTPT của $A'B$ là $\vec{n} = (2; -1)$. Phương trình tổng quát của $A'B$: $2(x - 2) - 1(y + 5) = 0 \Leftrightarrow 2x - y - 9 = 0$. Vì $I \in Ox \Rightarrow y_I = 0 \Rightarrow 2x - 0 - 9 = 0 \Rightarrow x_I = 4,5$. Vậy để thỏa mãn tính chất phản xạ, tia sáng chạm gương tại $I(4,5; 0)$.

Xét vị trí tương đối của $A$ và $B$ đối với $\Delta$: Dấu của $f(x, y) = x - 2y + 4$. $f(1, 3) = 1 - 6 + 4 = -1 < 0$. $f(5, 6) = 5 - 12 + 4 = -3 < 0 \Rightarrow$ Chúng nằm cùng phía so với bờ sông.

Gọi $A'$ là điểm đối xứng với $A$ qua $\Delta$. Đường thẳng $d \bot \Delta$ và qua $A$ nhận VTPT $\vec{n}_d = (2;1)$. PT $d: 2x + y - 5 = 0$. Giao điểm $H$ của $d$ và $\Delta$: $\begin{cases} x - 2y = -4 \\ 2x + y = 5 \end{cases} \Leftrightarrow H\left(\dfrac{6}{5}; \dfrac{13}{5}\right)$. Từ hệ thức trung điểm: $A'\left(\dfrac{7}{5}; \dfrac{11}{5}\right)$. Với mọi điểm $M \in \Delta$, ta luôn có $MA + MB = MA' + MB$. Do đó để $MA + MB$ đạt mức thấp nhất thì $M, A', B$ phải thẳng hàng (Bất đẳng thức tam giác). M là giao điểm của $A'B$ và $\Delta$. $\overrightarrow{A'B} = \left(\dfrac{18}{5}; \dfrac{19}{5}\right)$. Phương trình $A'B$: $19x - 18y + 13 = 0$. Tọa độ $M$ là nghiệm: $\begin{cases} 19x - 18y = -13 \\ x - 2y = -4 \end{cases} \Leftrightarrow M\left(\dfrac{23}{10}; \dfrac{63}{20}\right)$.

Điểm $K$ giao tiếp cự li gần chính là vị trí không gian chung, tức giao điểm của hệ trục cung bay $d$ và $d_2$. Ta giải hệ phương trình tọa độ của 2 đường thẳng. $\begin{cases} x + y - 5 = 0 \\ 2x - y + 2 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = -2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3x = 3 \Rightarrow x = 1 \\ y = 5 - 1 = 4 \end{cases}$ Vậy flycam gặp nhau tại tâm tuần tra là điểm $K(1; 4)$.