Ôn tập Chương IX: Xác suất của biến cố

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

⚡ 1. Phép thử và biến cố

Phép thử ngẫu nhiên: Một thí nghiệm mà ta không đoán trước được kết quả nhưng biết được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra.
Không gian mẫu ( $\Omega$ ): Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử.
Biến cố ( $A$ ): Một tập con của không gian mẫu.
- Biến cố không thể ( $\emptyset$ ), biến cố chắc chắn ( $\Omega$ ).
- Biến cố đối ( $\overline{A}$ ): Xảy ra khi A không xảy ra.

⚡ 2. Định nghĩa cổ điển của xác suất

Nếu các kết quả trong không gian mẫu $\Omega$ là đồng khả năng, thì xác suất của biến cố A là: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$ Trong đó $n(A)$ là số kết quả thuận lợi cho A, $n(\Omega)$ là tổng số kết quả có thể.

Tính chất:
- $0 \leq P(A) \leq 1$ .
- $P(\emptyset) = 0$ , $P(\Omega) = 1$ .
- $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ .

⚡ 3. Quy tắc tính xác suất

Biến cố hợp: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ .
Biến cố xung khắc: Nếu $A$ và $B$ không thể cùng xảy ra ( $A \cap B = \emptyset$ ) thì $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .
Biến cố độc lập: Nếu sự xảy ra của A không ảnh hưởng tới B, $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ .

II. Dạng toán tổng hợp

📌 Phương pháp giải

Các bước tính xác suất:

Xác định phép thử và tính số phần tử của không gian mẫu $n(\Omega)$ (thường dùng tổ hợp, chỉnh hợp).
Xác định biến cố A và tính số kết quả thuận lợi $n(A)$ . Mẹo: Nếu trực tiếp tính $n(A)$ khó, hãy tính biến cố đối $n(\overline{A})$ .
Lập tỉ số $P(A) = n(A) / n(\Omega)$ .

🔍 Ví dụ 1: Gieo súc sắc

Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. a) Tính số phần tử của không gian mẫu. b) Tính xác suất để tổng số chấm trong hai lần gieo bằng 7.

💡 Xem lời giải

a) Mỗi lần gieo có 6 kết quả. Vì gieo hai lần nên $n(\Omega) = 6 \cdot 6 = 36$ . b) Các cặp $(x; y)$ có tổng bằng 7 là: $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ . Có 6 kết quả thuận lợi. $P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ .

🔍 Ví dụ 2: Chọn quả cầu từ hộp

Một hộp chứa 5 quả cầu đỏ và 7 quả cầu xanh. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Tính xác suất để có ít nhất một quả cầu đỏ.

💡 Xem lời giải

$n(\Omega) = C_{12}^3 = 220$ .
Xét biến cố đối $\overline{A}$ : “Không có quả cầu đỏ nào” (tức là cả 3 quả đều xanh). $n(\overline{A}) = C_7^3 = 35$ .
Xác suất của biến cố đối: $P(\overline{A}) = \frac{35}{220} = \frac{7}{44}$ .
Vậy xác suất cần tìm: $P(A) = 1 - \frac{7}{44} = \frac{37}{44}$ .

🔍 Ví dụ 3: Xác suất độc lập

Một xạ thủ bắn 2 phát súng vào bia. Xác suất trúng đích ở mỗi lần bắn là 0,8. Tính xác suất để: a) Cả hai lần đều trúng. b) Có đúng một lần trúng.

💡 Xem lời giải

Gọi $A_1, A_2$ là biến cố lần 1 và lần 2 trúng. $P(A_1)=P(A_2)=0{,}8$ . Phát bắn độc lập. a) $P(\text{cả hai trúng}) = P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) \cdot P(A_2) = 0{,}8 \cdot 0{,}8 = 0{,}64$ . b) Có hai trường hợp: (Trúng, Trượt) hoặc (Trượt, Trúng). $P = (0{,}8 \cdot 0{,}2) + (0{,}2 \cdot 0{,}8) = 0{,}16 + 0{,}16 = 0{,}32$ .

🔍 Ví dụ 4: Sắp xếp vị trí

Có 4 học sinh nam và 2 học sinh nữ xếp thành một hàng ngang. Tính xác suất để hai học sinh nữ đứng cạnh nhau.

💡 Xem lời giải

$n(\Omega) = 6! = 720$ .
Coi 2 học sinh nữ là một “khối” X. Có 2! cách xếp trong khối X.
Xếp “khối” X và 4 bạn nam (tổng 5 vị trí): $5!$ cách.
Số kết quả thuận lợi: $n(A) = 2! \cdot 5! = 2 \cdot 120 = 240$ .
Xác suất: $P = \frac{240}{720} = \frac{1}{3}$ .

🔍 Ví dụ 5: Bài toán thực tế — Kiểm tra sản phẩm

Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 2 sản phẩm lỗi. Một khách hàng mua ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Tính xác suất để khách hàng đó mua được sản phẩm tốt (không bị lỗi cả 2).

💡 Xem lời giải

$n(\Omega) = C_{10}^2 = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45$ .
Số sản phẩm tốt là $10 - 2 = 8$ .
Biến cố A: “Chọn 2 sản phẩm tốt từ 8 sản phẩm tốt”. $n(A) = C_8^2 = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$ .
Xác suất: $P(A) = \frac{28}{45} \approx 0{,}622$ (tương đương 62,2%).

III. Trắc nghiệm ôn tập

Câu 1:Gieo một đồng xu 2 lần. Số phần tử của không gian mẫu là:

Câu 2:Cho $P(A) = 0{,}3$. Xác suất của biến cố đối $P(\overline{A})$ là:

Câu 3:Gieo một con súc sắc 1 lần. Xác suất để số chấm xuất hiện là số lẻ là:

Câu 4:Chọn ngẫu nhiên 1 số từ các số $\{1, 2, \dots, 10\}$. Xác suất chọn được số chia hết cho 3 là:

Câu 5:Hai biến cố $A$ và $B$ xung khắc. Nếu $P(A) = 0{,}2$ và $P(B) = 0{,}5$. Khi đó $P(A \cup B)$ bằng:

Câu 6:Rút ngẫu nhiên 1 lá bài từ bộ bài 52 lá. Xác suất rút được lá Át (A) là:

Đúng / Sai

Câu 7Cho hai biến cố độc lập $A$ và $B$ với $P(A) = 0,4$ và $P(B) = 0,5$. Xét tính đúng sai:

a)Xác suất cả hai cùng xảy ra là 0,2.

b)Xác suất ít nhất một biến cố xảy ra là 0,9.

c)$P(overline{A} cap overline{B}) = 0,3$.

d)Xác suất chỉ có biến cố A xảy ra là 0,2.

Đúng / Sai

Câu 8Gieo hai con súc sắc cùng lúc. Đúng hay sai?

a)Không gian mẫu có 36 phần tử.

b)Xác suất xuất hiện hai mặt giống nhau là 1/6.

c)Xác suất tổng số chấm lớn hơn 10 là 1/12.

d)Số kết quả có tổng bằng 1 là 1.

Câu 9:Một tổ có 4 nam và 6 nữ. Lấy ngẫu nhiên 2 người. Tính số phần tử của không gian mẫu.

Câu 10:Xác suất để một học sinh thi đỗ môn Toán là 0,7 và môn Văn là 0,8. Tính xác suất để học sinh đó trượt cả hai môn (coi độc lập).

IV. Bài tập tự luận tổng hợp

📝 Danh sách bài tập tự luận

Câu 1. Mô tả không gian mẫu cho các phép thử sau: a) Gieo một đồng xu 3 lần. b) Lấy ngẫu nhiên 2 thẻ từ hộp có 4 thẻ $\{1, 2, 3, 4\}$ . c) Lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu từ hộp có 3 đỏ (Đ1, Đ2, Đ3) và 2 trắng (T1, T2). d) Gieo 1 con súc sắc và 1 đồng xu.

💡 Đáp án

a) $n(\Omega) = 2^3 = 8$ . b) $n(\Omega) = C_4^2 = 6$ . c) $n(\Omega) = 5$ . d) $n(\Omega) = 6 \times 2 = 12$ .

Câu 2. Một hộp chứa 10 viên bi đỏ, 8 viên bi vàng and 6 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. a) Tính xác suất để lấy được 3 viên cùng màu. b) Tính xác suất để lấy được mỗi màu 1 viên. c) Tính xác suất để có ít nhất 1 viên bi đỏ. d) Tính xác suất để không có viên bi xanh nào.

💡 Đáp án

a) $P = (C_{10}^3 + C_8^3 + C_6^3)/C_{24}^3 = 196/2024 \approx 0,097$ . b) $P = (10 \times 8 \times 6)/C_{24}^3 = 480/2024 \approx 0,237$ . c) $1 - C_{14}^3/C_{24}^3 = 1 - 364/2024 \approx 0,82$ . d) $C_{18}^3/C_{24}^3 = 816/2024 \approx 0,4$ .

Câu 3. (Sắp xếp) Một nhóm gồm 5 bạn nam and 3 bạn nữ được xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang. a) Tính xác suất để 3 bạn nữ đứng cạnh nhau. b) Tính xác suất để các bạn nam và nữ đứng xen kẽ (nếu có thể). c) Tính xác suất để bạn Lan (nữ) and bạn Nam (nam) đứng ở hai đầu hàng. d) Tính xác suất để không có hai bạn nữ nào đứng cạnh nhau.

💡 Đáp án

a) $3! \times 6! / 8! = 3/28$ . b) Không thể xen kẽ vì $|5-3| > 1$ . c) $2 \times 6! / 8! = 1/28$ . d) Xếp nam trước (5!), 6 khe trống $\Rightarrow A_6^3 \times 5! / 8! = 120 \times 120 / 40320 = 5/14$ .

Câu 4. (Thực tế - Sản xuất) Một dây chuyền sản xuất ra các sản phẩm với tỉ lệ lỗi là 5%. Kiểm tra ngẫu nhiên 3 sản phẩm. a) Tính xác suất cả 3 sản phẩm đều tốt. b) Tính xác suất có ít nhất 1 sản phẩm lỗi. c) Tính xác suất có đúng 1 sản phẩm lỗi. d) Nếu phát hiện có sản phẩm lỗi, dây chuyền tạm dừng. Tính xác suất dây chuyền phải dừng ngay sau khi kiểm tra 3 mẫu.

💡 Đáp án

a) $0,95^3 \approx 0,857$ . b) $1 - 0,857 = 0,143$ . c) $3 \times 0,05 \times 0,95^2 \approx 0,135$ . d) Chính là xác suất có ít nhất 1 lỗi $\approx 0,143$ .

Câu 5. Một lớp học có 40 học sinh, trong đó có 25 em thích môn Toán, 20 em thích môn Văn, 10 em thích cả hai. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh. a) Tính xác suất học sinh đó chỉ thích Toán. b) Tính xác suất học sinh đó không thích môn nào. c) Tính xác suất học sinh đó thích ít nhất 1 môn. d) Nếu chọn 2 học sinh, tính xác suất cả hai đều thích cả hai môn.

💡 Đáp án

a) $25 - 10 = 15 \Rightarrow P = 15/40 = 0,375$ . b) $40 - (15+10+10) = 5 \Rightarrow P = 5/40 = 0,125$ . c) $P = 35/40 = 0,875$ . d) $C_{10}^2/C_{40}^2 = 45/780 \approx 0,058$ .

Câu 6. Gieo một con súc sắc cân đối 2 lần. Gọi A là biến cố “Tổng số chấm là số lẻ”, B là biến cố “Có ít nhất một mặt 6 chấm xuất hiện”. a) Tính $P(A)$ and $P(B)$ . b) Hai biến cố A and B có xung khắc không? Có độc lập không? c) Tính $P(A \cup B)$ . d) Tính $P(A \cap B)$ .

💡 Đáp án

a) $P(A) = 18/36 = 1/2$ ; $P(B) = 11/36$ . b) Không xung khắc ( $(1,6)$ là lẻ và có 6). Không độc lập. c) $P(A \cup B) = 1/2 + 11/36 - 6/36 = 23/36$ (Lẻ có 6: $(1,6), (3,6), (5,6), (6,1), (6,3), (6,5) \rightarrow 6$ kq). d) $P(A \cap B) = 6/36 = 1/6$ .

Câu 7. (Thực tế - Trò chơi) Bạn chơi trò tung đồng xu. Nếu ra mặt Ngửa bạn được 10 điểm, mặt Sấp bạn bị trừ 5 điểm. a) Sau 3 lần tung, tính xác suất để bạn có đúng 15 điểm. b) Tính xác suất để bạn có số điểm là số dương. c) Tính xác suất để bạn có số điểm lớn hơn 20. d) Trung bình sau 3 lần tung bạn kỳ vọng nhận được bao nhiêu điểm?

💡 Đáp án

a) Cần 2 Ngửa, 1 Sấp ( $20-5=15$ ). Có $C_3^2 = 3$ cách $\Rightarrow P = 3/8$ . b) Toàn bộ TH ngoại trừ $\{S,S,S\} (-15$ đ). $P = 7/8$ . c) Phải 3 Ngửa ( $30$ đ). $P = 1/8$ . d) $E = 3 \times (0,5 \times 10 + 0,5 \times (-5)) = 7,5$ điểm.

Câu 8. Cho $P(A) = 0,6; P(B) = 0,3$ and $P(A \cup B) = 0,8$ . a) Tính $P(A \cap B)$ . b) A and B có xung khắc không? c) A and B có độc lập không? d) Tính $P(\overline{A} \cup \overline{B})$ .

💡 Đáp án

a) $0,6 + 0,3 - 0,8 = 0,1$ . b) Không (giao khác 0). c) Không ( $0,6 \times 0,3 = 0,18 \neq 0,1$ ). d) $P(\overline{A \cap B}) = 1 - 0,1 = 0,9$ .

Câu 9. (Thực tế - Y tế) Xác suất để một người khỏi bệnh khi dùng thuốc A là 0,9. Có 3 người bệnh dùng thuốc này (độc lập). a) Tính xác suất cả 3 người cùng khỏi. b) Tính xác suất có ít nhất 1 người khỏi. c) Tính xác suất có đúng 2 người khỏi. d) Nếu muốn xác suất có ít nhất 1 người khỏi đạt trên 99,9%, cần tối thiểu bao nhiêu người dùng thuốc?

💡 Đáp án

a) $0,9^3 = 0,729$ . b) $1 - 0,1^3 = 0,999$ . c) $3 \times 0,9^2 \times 0,1 = 0,243$ . d) $1 - 0,1^n > 0,999 \Rightarrow 0,1^n < 0,001 \Rightarrow n = 3$ . Cần 3 người.

Câu 10. (Tổng hợp) Một đề thi trắc nghiệm có 10 câu, mỗi câu có 4 phương án lựa chọn, chỉ có 1 phương án đúng. Một học sinh làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên. a) Tính xác suất học sinh đó đúng cả 10 câu. b) Tính xác suất học sinh đó đúng 5 câu. c) Tính xác suất học sinh đó không đúng câu nào. d) Khả năng học sinh đó đạt trên 5 điểm (đúng trên 5 câu) là bao nhiêu?

💡 Đáp án

a) $(1/4)^{10} \approx 9,5 \times 10^{-7}$ . b) $C_{10}^5 \times (1/4)^5 \times (3/4)^5 \approx 0,058$ . c) $(3/4)^{10} \approx 0,056$ . d) Rất thấp, $\approx 0,02$ .

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Không giới hạn lần làm

Ôn tập Chương 9 - Toán 10

Ôn tập Chương IX: Xác suất của biến cố

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

II. Dạng toán tổng hợp

III. Trắc nghiệm ôn tập

IV. Bài tập tự luận tổng hợp

Luyện tập trắc nghiệm