Bài 2: Công thức lượng giác

I. Công thức cộng

⚡ Bộ công thức cộng cốt lõi

Với mọi góc lượng giác $a, b$ làm cho các biểu thức có nghĩa, ta có các đẳng thức:

$$\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$$
$$\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$$
$$\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$$
$$\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$$
$$\tan(a - b) = \dfrac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b}$$
$$\tan(a + b) = \dfrac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}$$

📋 Mẹo nhớ nhanh công thức cộng

"Cos thì cos cos sin sin, cùng dấu trái dấu chia đường đôi nơi" (Cos tổng bằng cos cos TRỪ sin sin; Cos hiệu bằng cos cos CỘNG sin sin).
"Sin thì sin cos cos sin, dấu nào theo đó không hề đổi thay" (Sin tổng mang dấu cộng, Sin hiệu mang dấu trừ).

II. Công thức nhân đôi và hạ bậc

⚡ Công thức nhân đôi

Thay $b = a$ vào công thức cộng, ta thu được bộ công thức nhân đôi:

$$\sin 2a = 2\sin a \cos a$$
$$\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$$
$$\tan 2a = \dfrac{2\tan a}{1 - \tan^2 a}$$

📌 Công thức hạ bậc (Rút từ công thức cos 2a)

Biến đổi nâng cao từ $\cos 2a$ giúp giảm bậc của biểu thức lượng giác từ bậc 2 xuống bậc 1:

$$\cos^2 a = \dfrac{1 + \cos 2a}{2}$$
$$\sin^2 a = \dfrac{1 - \cos 2a}{2}$$
$$\tan^2 a = \dfrac{1 - \cos 2a}{1 + \cos 2a}$$

III. Công thức biến đổi tích thành tổng

⚡ Bộ công thức biến đổi Tích $\to$ Tổng

Cộng hoặc trừ các công thức cộng tương ứng, ta rút ra:

$$\cos a \cos b = \dfrac{1}{2}[\cos(a - b) + \cos(a + b)]$$
$$\sin a \sin b = \dfrac{1}{2}[\cos(a - b) - \cos(a + b)]$$
$$\sin a \cos b = \dfrac{1}{2}[\sin(a - b) + \sin(a + b)]$$

IV. Công thức biến đổi tổng thành tích

⚡ Bộ công thức biến đổi Tổng $\to$ Tích

Đặt $u = a + b$ và $v = a - b$, ta thu được bộ công thức biến đổi tổng, hiệu thành tích:

$$\cos u + \cos v = 2\cos\dfrac{u+v}{2}\cos\dfrac{u-v}{2}$$
$$\cos u - \cos v = -2\sin\dfrac{u+v}{2}\sin\dfrac{u-v}{2}$$
$$\sin u + \sin v = 2\sin\dfrac{u+v}{2}\cos\dfrac{u-v}{2}$$
$$\sin u - \sin v = 2\cos\dfrac{u+v}{2}\sin\dfrac{u-v}{2}$$

📋 Mẹo nhớ nhanh Tổng $\to$ Tích

"Cos cộng cos bằng 2 cos cos"
"Cos trừ cos bằng trừ 2 sin sin"
"Sin cộng sin bằng 2 sin cos"
"Sin trừ sin bằng 2 cos sin"

🔷 Dạng 1: Áp dụng công thức cộng

📌 Phương pháp giải

Tách góc không đặc biệt thành tổng hoặc hiệu của các góc đặc biệt ($30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{3}...$).
Áp dụng chính xác các công thức cộng đối với $\sin(a \pm b), \cos(a \pm b), \tan(a \pm b)$.

🔍 Ví dụ 1 (Tính giá trị góc không đặc biệt)

Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị của các biểu thức:

a) $A = \sin 105^\circ$
b) $B = \tan \dfrac{\pi}{12}$

💡 Xem lời giải

a) Tách $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$:

$$A = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ$$ $$A = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$

b) Tách $\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{4}$:

$$B = \tan\left(\dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\tan\dfrac{\pi}{3} - \tan\dfrac{\pi}{4}}{1 + \tan\dfrac{\pi}{3}\tan\dfrac{\pi}{4}} = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}\cdot 1} = \dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = 2 - \sqrt{3}$$

🔍 Ví dụ 2 (Rút gọn nhờ công thức cộng ngược)

Rút gọn biểu thức $M = \sin x \cos 2x + \cos x \sin 2x$.

💡 Xem lời giải

Nhận xét biểu thức có dạng $\sin a \cos b + \cos a \sin b = \sin(a + b)$ với $a = x, b = 2x$.

Do đó: $M = \sin(x + 2x) = \sin 3x$.

📝 Thực hành — Dạng 1

✏️ Bài tập 1.1

Tính giá trị của biểu thức $C = \cos 75^\circ \cos 15^\circ + \sin 75^\circ \sin 15^\circ$.

💡 Xem lời giải

Áp dụng công thức cộng cho cosin vế phải sang vế trái: $\cos a \cos b + \sin a \sin b = \cos(a - b)$.

$$C = \cos(75^\circ - 15^\circ) = \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$$

✏️ Bài tập 1.2

Cho $\sin a = \dfrac{3}{5}$ ($0 < a < \dfrac{\pi}{2}$) và $\cos b = \dfrac{12}{13}$ ($0 < b < \dfrac{\pi}{2}$). Tính $\sin(a + b)$.

💡 Xem lời giải

Vì $0 < a, b < \dfrac{\pi}{2}$ nên $\cos a > 0$ và $\sin b > 0$.

• $\cos a = \sqrt{1 - \sin^2 a} = \sqrt{1 - \dfrac{9}{25}} = \dfrac{4}{5}$.

• $\sin b = \sqrt{1 - \cos^2 b} = \sqrt{1 - \dfrac{144}{169}} = \dfrac{5}{13}$.

Áp dụng công thức cộng sin:

$$\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{12}{13} + \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{5}{13} = \dfrac{36 + 20}{65} = \dfrac{56}{65}$$

🔷 Dạng 2: Công thức nhân đôi & hạ bậc

📌 Phương pháp giải

Biết các giá trị lượng giác của góc $a$, tính các giá trị lượng giác của góc $2a$ qua công thức nhân đôi.
Dùng công thức hạ bậc để thu gọn các biểu thức chứa bình phương $\sin^2 x, \cos^2 x$.

🔍 Ví dụ 1 (Tính giá trị nhân đôi)

Cho $\sin a = -\dfrac{4}{5}$ với $\pi < a < \dfrac{3\pi}{2}$. Tính $\sin 2a$ và $\cos 2a$.

💡 Xem lời giải

Vì $\pi < a < \dfrac{3\pi}{2}$ (GPT III) nên $\cos a < 0$.

$\cos a = -\sqrt{1 - \sin^2 a} = -\sqrt{1 - \dfrac{16}{25}} = -\dfrac{3}{5}$.

Áp dụng công thức nhân đôi:

$$\sin 2a = 2\sin a \cos a = 2 \left(-\dfrac{4}{5}\right) \left(-\dfrac{3}{5}\right) = \dfrac{24}{25}$$ $$\cos 2a = 1 - 2\sin^2 a = 1 - 2 \left(-\dfrac{4}{5}\right)^2 = 1 - \dfrac{32}{25} = -\dfrac{7}{25}$$

🔍 Ví dụ 2 (Áp dụng công thức hạ bậc)

Rút gọn biểu thức $P = \sin^2 x + \sin^2\left(x + \dfrac{2\pi}{3}\right) + \sin^2\left(x - \dfrac{2\pi}{3}\right)$.

💡 Xem lời giải

Dùng công thức hạ bậc $\sin^2 u = \dfrac{1 - \cos 2u}{2}$ cho cả 3 số hạng:

$$P = \dfrac{1 - \cos 2x}{2} + \dfrac{1 - \cos\left(2x + \dfrac{4\pi}{3}\right)}{2} + \dfrac{1 - \cos\left(2x - \dfrac{4\pi}{3}\right)}{2}$$ $$P = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2} \left[ \cos 2x + \cos\left(2x + \dfrac{4\pi}{3}\right) + \cos\left(2x - \dfrac{4\pi}{3}\right) \right]$$

Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích cho 2 cos sau:

$$\cos\left(2x + \dfrac{4\pi}{3}\right) + \cos\left(2x - \dfrac{4\pi}{3}\right) = 2\cos 2x \cos\dfrac{4\pi}{3} = 2\cos 2x \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\cos 2x$$

Do đó tổng trong ngoặc vuông bằng $\cos 2x + (-\cos 2x) = 0$.

Vậy $P = \dfrac{3}{2}$.

📝 Thực hành — Dạng 2

✏️ Bài tập 2.1

Cho $\tan a = 3$. Tính giá trị của $\tan 2a$ và $\cos 4a$.

💡 Xem lời giải

• $\tan 2a = \dfrac{2\tan a}{1 - \tan^2 a} = \dfrac{2(3)}{1 - 9} = \dfrac{6}{-8} = -\dfrac{3}{4}$.

• Ta có $\cos 4a = \cos 2(2a) = \dfrac{1 - \tan^2 2a}{1 + \tan^2 2a} = \dfrac{1 - 9/16}{1 + 9/16} = \dfrac{7/16}{25/16} = \dfrac{7}{25}$.

✏️ Bài tập 2.2

Chứng minh rằng: $\sin 4x = 4\sin x \cos x \cos 2x$.

💡 Xem lời giải

Áp dụng công thức nhân đôi 2 lần:

$$\text{VT} = \sin 4x = \sin 2(2x) = 2\sin 2x \cos 2x$$

Mà $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, nên:

$$\text{VT} = 2(2\sin x \cos x)\cos 2x = 4\sin x \cos x \cos 2x = \text{VP} \quad (\text{ĐPCM})$$

🔷 Dạng 3: Biến đổi tích ↔ tổng

📌 Phương pháp giải

Tích $\to$ Tổng: Dùng khi cần biến đổi tích các góc để triệt tiêu hoặc tính góc đặc biệt.
Tổng $\to$ Tích: Dùng khi rút gọn biểu thức có dạng tổng các $\sin$ hoặc $\cos$, đưa về dạng nhân tử.

🔍 Ví dụ 1 (Tích thành tổng)

Tính giá trị biểu thức $A = \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ$.

💡 Xem lời giải

Nhân hai vế với $\sin 20^\circ \ne 0$:

$$A \cdot \sin 20^\circ = (\sin 20^\circ \cos 20^\circ) \cos 40^\circ \cos 80^\circ$$ $$A \cdot \sin 20^\circ = \dfrac{1}{2} \sin 40^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ$$ $$A \cdot \sin 20^\circ = \dfrac{1}{4} \sin 80^\circ \cos 80^\circ = \dfrac{1}{8} \sin 160^\circ$$

Vì $\sin 160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ$, nên $A \cdot \sin 20^\circ = \dfrac{1}{8} \sin 20^\circ \Rightarrow A = \dfrac{1}{8}$.

🔍 Ví dụ 2 (Tổng thành tích)

Rút gọn biểu thức $K = \dfrac{\sin x + \sin 3x + \sin 5x}{\cos x + \cos 3x + \cos 5x}$.

💡 Xem lời giải

Gộp số hạng đầu và số hạng cuối ở tử và mẫu:

• Tử số: $(\sin x + \sin 5x) + \sin 3x = 2\sin 3x \cos 2x + \sin 3x = \sin 3x (2\cos 2x + 1)$.

• Mẫu số: $(\cos x + \cos 5x) + \cos 3x = 2\cos 3x \cos 2x + \cos 3x = \cos 3x (2\cos 2x + 1)$.

Chia tử cho mẫu:

$$K = \dfrac{\sin 3x (2\cos 2x + 1)}{\cos 3x (2\cos 2x + 1)} = \dfrac{\sin 3x}{\cos 3x} = \tan 3x$$

📝 Thực hành — Dạng 3

✏️ Bài tập 3.1

Tính giá trị của biểu thức $S = \sin 75^\circ \sin 15^\circ$.

💡 Xem lời giải

Biến đổi tích thành tổng: $\sin a \sin b = \dfrac{1}{2}[\cos(a - b) - \cos(a + b)]$.

$$S = \dfrac{1}{2}[\cos(75^\circ - 15^\circ) - \cos(75^\circ + 15^\circ)] = \dfrac{1}{2}[\cos 60^\circ - \cos 90^\circ] = \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{1}{2} - 0\right) = \dfrac{1}{4}$$

✏️ Bài tập 3.2

Biến đổi biểu thức $D = 1 + 2\cos x$ thành tích.

💡 Xem lời giải

Viết $D = 2\left(\dfrac{1}{2} + \cos x\right) = 2\left(\cos 60^\circ + \cos x\right)$.

Dùng công thức tổng thành tích $\cos u + \cos v = 2\cos\dfrac{u+v}{2}\cos\dfrac{u-v}{2}$:

$$D = 2 \cdot 2 \cos\left(\dfrac{x + 60^\circ}{2}\right) \cos\left(\dfrac{x - 60^\circ}{2}\right) = 4 \cos\left(\dfrac{x}{2} + 30^\circ\right) \cos\left(\dfrac{x}{2} - 30^\circ\right)$$

🔷 Dạng 4: Chứng minh đẳng thức & tính giá trị

📌 Phương pháp giải

Kết hợp linh hoạt cả 4 nhóm công thức: cộng, nhân đôi, biến đổi tích ↔ tổng.
Biến đổi vế phức tạp về vế đơn giản hoặc chứng minh hiệu $VT - VP = 0$.

🔍 Ví dụ 1 (Chứng minh đẳng thức lượng giác)

Chứng minh đẳng thức: $\dfrac{\sin x + \sin 2x}{1 + \cos x + \cos 2x} = \tan x$.

💡 Xem lời giải

Biến đổi vế trái:

• Tử số: $\sin x + 2\sin x \cos x = \sin x (1 + 2\cos x)$.

• Mẫu số: $1 + \cos x + (2\cos^2 x - 1) = \cos x + 2\cos^2 x = \cos x (1 + 2\cos x)$.

Do đó:

$$\text{VT} = \dfrac{\sin x (1 + 2\cos x)}{\cos x (1 + 2\cos x)} = \dfrac{\sin x}{\cos x} = \tan x = \text{VP} \quad (\text{ĐPCM})$$

🔍 Ví dụ 2 (Đưa biểu thức $a\sin x + b\cos x$ về một giá trị lượng giác)

Biến đổi biểu thức $E = \sqrt{3}\sin x - \cos x$ về dạng $R \sin(x + \phi)$.

💡 Xem lời giải

Đặt $R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$. Rút $2$ ra làm nhân tử chung:

$$E = 2 \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin x - \dfrac{1}{2} \cos x \right)$$

Vì $\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ và $\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$, ta có:

$$E = 2 \left( \sin x \cos\dfrac{\pi}{6} - \cos x \sin\dfrac{\pi}{6} \right) = 2 \sin\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right)$$

📝 Thực hành — Dạng 4

✏️ Bài tập 4.1

Chứng minh đẳng thức: $\tan x + \cot x = \dfrac{2}{\sin 2x}$.

💡 Xem lời giải

Biến đổi vế trái:

$$\text{VT} = \dfrac{\sin x}{\cos x} + \dfrac{\cos x}{\sin x} = \dfrac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \dfrac{1}{\sin x \cos x}$$

Nhân cả tử và mẫu cho $2$:

$$\text{VT} = \dfrac{2}{2\sin x \cos x} = \dfrac{2}{\sin 2x} = \text{VP} \quad (\text{ĐPCM})$$

✏️ Bài tập 4.2

Rút gọn biểu thức $N = \dfrac{1 + \cos x + \cos 2x + \cos 3x}{2\cos^2 x + \cos x - 1}$.

💡 Xem lời giải

• Tử số: $(1 + \cos 2x) + (\cos x + \cos 3x) = 2\cos^2 x + 2\cos 2x \cos x = 2\cos x (\cos x + \cos 2x)$.

• Mẫu số: $(2\cos^2 x - 1) + \cos x = \cos 2x + \cos x = \cos x + \cos 2x$.

Chia tử cho mẫu:

$$N = \dfrac{2\cos x (\cos x + \cos 2x)}{\cos x + \cos 2x} = 2\cos x$$

📝 Bài tập tự luận — Tổng hợp

📝 Bài tập tự luận tổng hợp Công thức lượng giác (10 bài)

Bài 1. Không dùng máy tính, tính giá trị chính xác của $\sin 15^\circ$ và $\cos 105^\circ$.

💡 Xem lời giải

• $\sin 15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.

• $\cos 105^\circ = \cos(60^\circ + 45^\circ) = \cos 60^\circ \cos 45^\circ - \sin 60^\circ \sin 45^\circ = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$.

Bài 2. Cho $\cos a = -\dfrac{5}{13}$ ($90^\circ < a < 180^\circ$). Tính $\sin 2a$, $\cos 2a$ và $\tan 2a$.

💡 Xem lời giải

Vì $90^\circ < a < 180^\circ$ (GPT II) nên $\sin a > 0$.

$\sin a = \sqrt{1 - \cos^2 a} = \sqrt{1 - \dfrac{25}{169}} = \dfrac{12}{13}$.

• $\sin 2a = 2\sin a \cos a = 2 \left(\dfrac{12}{13}\right) \left(-\dfrac{5}{13}\right) = -\dfrac{120}{169}$.

• $\cos 2a = 2\cos^2 a - 1 = 2 \left(-\dfrac{5}{13}\right)^2 - 1 = \dfrac{50}{169} - 1 = -\dfrac{119}{169}$.

• $\tan 2a = \dfrac{\sin 2a}{\cos 2a} = \dfrac{-120/-169}{-119/-169} = \dfrac{120}{119}$.

Bài 3. Cho $\tan a = 2$. Tính giá trị của biểu thức $M = \sin 2a - 3\cos 2a$.

💡 Xem lời giải

Sử dụng công thức biểu diễn qua $\tan a$:

• $\sin 2a = \dfrac{2\tan a}{1 + \tan^2 a} = \dfrac{2(2)}{1 + 4} = \dfrac{4}{5}$.

• $\cos 2a = \dfrac{1 - \tan^2 a}{1 + \tan^2 a} = \dfrac{1 - 4}{1 + 4} = -\dfrac{3}{5}$.

Thay vào biểu thức $M$:

$$M = \dfrac{4}{5} - 3\left(-\dfrac{3}{5}\right) = \dfrac{4 + 9}{5} = \dfrac{13}{5}$$

Bài 4. Rút gọn biểu thức $A = \dfrac{\sin 2x - 2\sin x}{\sin 2x + 2\sin x}$.

💡 Xem lời giải

Áp dụng $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$$A = \dfrac{2\sin x \cos x - 2\sin x}{2\sin x \cos x + 2\sin x} = \dfrac{2\sin x(\cos x - 1)}{2\sin x(\cos x + 1)} = \dfrac{\cos x - 1}{\cos x + 1}$$

Mà $1 - \cos x = 2\sin^2\dfrac{x}{2}$ và $1 + \cos x = 2\cos^2\dfrac{x}{2}$, nên:

$$A = \dfrac{-2\sin^2\dfrac{x}{2}}{2\cos^2\dfrac{x}{2}} = -\tan^2\dfrac{x}{2}$$

Bài 5. Biến đổi thành tích biểu thức $B = \cos x + \cos 3x + \cos 5x + \cos 7x$.

💡 Xem lời giải

Ghép cặp $(\cos x + \cos 7x)$ và $(\cos 3x + \cos 5x)$:

$$B = 2\cos 4x \cos 3x + 2\cos 4x \cos x = 2\cos 4x (\cos 3x + \cos x)$$

Tiếp tục biến đổi $\cos 3x + \cos x = 2\cos 2x \cos x$:

$$B = 2\cos 4x (2\cos 2x \cos x) = 4\cos x \cos 2x \cos 4x$$

Bài 6. Tính giá trị của biểu thức $P = \sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ$.

💡 Xem lời giải

Biến đổi tích hai sin đầu: $\sin 40^\circ \sin 20^\circ = \dfrac{1}{2}[\cos 20^\circ - \cos 60^\circ] = \dfrac{1}{2}\cos 20^\circ - \dfrac{1}{4}$.

Do đó:

$$P = \left(\dfrac{1}{2}\cos 20^\circ - \dfrac{1}{4}\right)\sin 80^\circ = \dfrac{1}{2}\sin 80^\circ \cos 20^\circ - \dfrac{1}{4}\sin 80^\circ$$

Dùng tiếp tích thành tổng cho $\sin 80^\circ \cos 20^\circ = \dfrac{1}{2}[\sin 100^\circ + \sin 60^\circ]$:

$$P = \dfrac{1}{4}\sin 100^\circ + \dfrac{1}{4}\sin 60^\circ - \dfrac{1}{4}\sin 80^\circ$$

Vì $\sin 100^\circ = \sin 80^\circ$ nên $\dfrac{1}{4}\sin 100^\circ - \dfrac{1}{4}\sin 80^\circ = 0$.

Vậy $P = \dfrac{1}{4}\sin 60^\circ = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{8}$.

Bài 7. Chứng minh rằng với mọi góc $x$ ta có: $\sin^6 x + \cos^6 x = 1 - \dfrac{3}{4}\sin^2 2x$.

💡 Xem lời giải

Dùng hằng đẳng thức $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ với $a = \sin^2 x, b = \cos^2 x$:

$$\text{VT} = (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x) = \sin^4 x + \cos^4 x - \sin^2 x \cos^2 x$$

Mà $\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x$.

$$\text{VT} = 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 3\left(\dfrac{\sin 2x}{2}\right)^2 = 1 - \dfrac{3}{4}\sin^2 2x = \text{VP} \quad (\text{ĐPCM})$$

Bài 8. Chứng minh đẳng thức: $\tan x \tan\left(x + \dfrac{\pi}{3}\right) + \tan\left(x + \dfrac{\pi}{3}\right) \tan\left(x + \dfrac{2\pi}{3}\right) + \tan\left(x + \dfrac{2\pi}{3}\right) \tan x = -3$.

💡 Xem lời giải

Sử dụng công thức đẳng thức liên hệ 3 góc có tổng bằng $\pi$ (hoặc bội của $\pi$):

Đặt $A = x, B = x + \dfrac{\pi}{3}, C = \pi - 2x - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3} - 2x$.

Khai triển các $\tan$ theo công thức cộng $\tan(a + b) = \dfrac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}$, quy đồng và rút gọn ta thu được hằng số bằng $-3$ (ĐPCM).

Bài 9. Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng: $\sin A + \sin B + \sin C = 4 \cos\dfrac{A}{2} \cos\dfrac{B}{2} \cos\dfrac{C}{2}$.

💡 Xem lời giải

Vì $A + B + C = 180^\circ \Rightarrow \dfrac{A+B}{2} = 90^\circ - \dfrac{C}{2}$.

Biến đổi tổng hai sin đầu:

$$\sin A + \sin B = 2\sin\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2} = 2\cos\dfrac{C}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}$$

Và $\sin C = 2\sin\dfrac{C}{2}\cos\dfrac{C}{2}$. Do đó vế trái:

$$\text{VT} = 2\cos\dfrac{C}{2} \left[ \cos\dfrac{A-B}{2} + \sin\dfrac{C}{2} \right] = 2\cos\dfrac{C}{2} \left[ \cos\dfrac{A-B}{2} + \cos\dfrac{A+B}{2} \right]$$

Dùng công thức tổng thành tích $\cos\dfrac{A-B}{2} + \cos\dfrac{A+B}{2} = 2\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}$:

$$\text{VT} = 2\cos\dfrac{C}{2} \left( 2\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2} \right) = 4\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2} = \text{VP} \quad (\text{ĐPCM})$$

Bài 10. Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức $Q = \sin^4 x + \cos^4 x$.

💡 Xem lời giải

Biến đổi $Q = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2\left(\dfrac{\sin 2x}{2}\right)^2 = 1 - \dfrac{1}{2}\sin^2 2x$.

Vì $0 \le \sin^2 2x \le 1$ nên $0 \le \dfrac{1}{2}\sin^2 2x \le \dfrac{1}{2}$.

Suy ra: $1 - \dfrac{1}{2} \le Q \le 1 - 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \le Q \le 1$.

• GTLN của $Q$ bằng $1$ khi $\sin 2x = 0 \Leftrightarrow x = k\dfrac{\pi}{2}$.

• GTNN của $Q$ bằng $\dfrac{1}{2}$ khi $\sin^2 2x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{4} + k\dfrac{\pi}{2}$.

🎯 Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Làm các câu hỏi sau để củng cố toàn bộ kiến thức về Công thức lượng giác. Hệ thống sẽ hiển thị kết quả và lời giải chi tiết ngay khi bạn trả lời.

Câu 1:Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào **SAI**?

Câu 2:Tính giá trị của $\cos 15^\circ$ ta được kết quả là:

Câu 3:Biết $\sin a = \dfrac{3}{5}$ và $\cos a < 0$. Giá trị của $\sin 2a$ bằng bao nhiêu?

Câu 4:Biến đổi biểu thức $P = \cos 5x + \cos 3x$ thành tích, ta được:

Câu 5:Giá trị của biểu thức $A = \sin 75^\circ \sin 15^\circ$ bằng:

🎯

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Công thức lượng giác

Hàng trăm câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra và tự đánh giá năng lực ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Mở trong tab mới