Bài 2: Công thức lượng giác

Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích cho cả tử số và mẫu số:

• Tử số: $\sin 3x + \sin x = 2 \sin \left(\dfrac{3x + x}{2}\right) \cos \left(\dfrac{3x - x}{2}\right) = 2 \sin(2x) \cos(x)$
• Mẫu số: $\cos 3x + \cos x = 2 \cos \left(\dfrac{3x + x}{2}\right) \cos \left(\dfrac{3x - x}{2}\right) = 2 \cos(2x) \cos(x)$

Thế vào biểu thức A, ta được: $A = \dfrac{2 \sin(2x) \cos(x)}{2 \cos(2x) \cos(x)}$

Rút gọn thừa số giống nhau ($2 \cos x$): $A = \dfrac{\sin 2x}{\cos 2x} = \mathbf{\tan 2x}$.

Ta để ý thấy: $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$. Áp dụng công thức $\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$, ta có: $\begin{aligned} \cos 15^\circ &= \cos(45^\circ - 30^\circ) \\ &= \cos 45^\circ \cdot \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \cdot \sin 30^\circ \end{aligned}$

Thay các giá trị lượng giác cơ bản vào: $\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$

Suy ra: $\cos 15^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6}}{4} + \dfrac{\sqrt{2}}{4} = \mathbf{\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}$.