Bài 7: Cấp số nhân

I. Khái niệm Cấp số nhân

⚡ Định nghĩa

Cấp số nhân (CSN) là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi $q$ . $u_{n+1} = u_n \cdot q \quad (n \geq 1)$ Số không đổi $q$ được gọi là công bội của cấp số nhân.

Cách tìm công bội: Lấy số hạng sau chia cho số hạng liền trước: $q = \dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ .

Nếu $q = 1$ : Cấp số nhân là dãy số không đổi ( $u_n = u_1$ ).
Nếu $q = 0$ : Các số hạng từ thứ 2 trở đi đều bằng 0 ( $u_1, 0, 0, \dots$ ).
Nếu $q < 0$ : Dãy số đan dấu liên tục (ví dụ: $2, -4, 8, -16\dots$ ).

II. Số hạng tổng quát của cấp số nhân

Thay vì nhân $q$ n lần để tìm số lớn, ta có công thức:

⚡ Công thức số hạng tổng quát

Nếu cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ thì số hạng tổng quát $u_n$ được xác định bởi công thức: $u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \quad (n \geq 2)$

Ví dụ: $u_{10} = u_1 \cdot q^9$ ; $u_{50} = u_1 \cdot q^{49}$ .

III. Tính chất các số hạng của cấp số nhân

📋 Tính chất trung bình nhân

Trong một cấp số nhân (các số hạng khác 0), bình phương của một số hạng ở giữa sẽ bằng tích của hai số hạng hai bên. Giả sử $u_{k-1}, u_k, u_{k+1}$ là 3 số hạng liên tiếp ( $k \geq 2$ ), ta luôn có: $u_k^2 = u_{k-1} \cdot u_{k+1}$ (Tính chất này dùng để chứng minh ba số lập thành một cấp số nhân).

IV. Tổng $n$ số hạng đầu tiên

Kí hiệu $S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n$ .

⚡ Công thức tính tổng Sn

Tổng $n$ số hạng đầu của một cấp số nhân với công bội $q \neq 1$ là: $S_n = \dfrac{u_1(1 - q^n)}{1 - q} = \dfrac{u_1(q^n - 1)}{q - 1}$ (Nếu $q = 1$ thì tất cả các số hạng đều bằng $u_1$ , khi đó $S_n = n \cdot u_1$ ).

V. Cấp số nhân lùi vô hạn

Một cấp số nhân được coi là “lùi” khi các số hạng phía sau ngày càng tiến sát về số $0$ .

⚡ Cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân $(u_n)$ có công bội $q$ thỏa mãn $|q| < 1$ (tức là $-1 < q < 1$ ) được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Khi đó, tổng của toàn bộ vô hạn các phần tử trong dãy số có giới hạn hữu hạn là: $S = u_1 + u_2 + u_3 + \dots = \dfrac{u_1}{1 - q}$

🔷 Dạng 1: Xác định các yếu tố của cấp số nhân

📌 Phương pháp giải

Tương tự như cấp số cộng, ta đưa mọi bài về 2 thông số cơ bản là $u_1$ và $q$ .

Ráp công thức $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$ vào hệ phương trình mà bài toán cho.
Giải hệ phương trình (thường bằng phương pháp chia vế cho vế, hoặc đặt nhân tử chung) để tìm $q$ .

🔍 Ví dụ 1

Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân $(u_n)$ biết: $\begin{cases} u_4 - u_2 = 24 \\ u_5 - u_3 = 48 \end{cases}$

💡 Xem lời giải

Bước 1: Chuyển tất cả về vế $u_1$ và $q$ .

$u_2 = u_1 \cdot q$
$u_3 = u_1 \cdot q^2$
$u_4 = u_1 \cdot q^3$
$u_5 = u_1 \cdot q^4$

Hệ phương trình trở thành: $\begin{cases} u_1 \cdot q^3 - u_1 \cdot q = 24 \quad (1)\\ u_1 \cdot q^4 - u_1 \cdot q^2 = 48 \quad (2)\end{cases}$

Bước 2: Giải hệ bằng cách đặt nhân tử chung và chia vế cho vế. $\Leftrightarrow \begin{cases} u_1q(q^2 - 1) = 24 \\ u_1q^2(q^2 - 1) = 48 \end{cases}$

Chia phương trình (2) cho phương trình (1): $\dfrac{u_1 q^2 (q^2 - 1)}{u_1 q (q^2 - 1)} = \dfrac{48}{24} \Rightarrow \mathbf{q = 2}$

Bước 3: Thay $q=2$ lại vào (1) để tìm $u_1$ . $u_1 \cdot 2 \cdot (2^2 - 1) = 24 \Leftrightarrow 6u_1 = 24 \Rightarrow \mathbf{u_1 = 4}$ .

Vậy cấp số nhân có số hạng đầu $u_1 = 4$ và công bội $q = 2$ .

🔷 Dạng 2: Bài toán thực tế về lãi kép & vi khuẩn

📌 Phương pháp giải

Tiền gửi ngân hàng theo Lãi kép: Số tiền sau $n$ kỳ hạn mức lãi suất $r$ là $A_n = A_1 (1+r)^n$ . Bản chất đây chính là cấp số nhân với công bội $q = 1 + r$ .
Đặc điểm của bài toán này luôn liên quan đến sự Nhân Đôi, Tăng Theo Phần Trăm, Phân Bào…

🔍 Ví dụ 2

Một loại vi khuẩn cứ sau 20 phút thì nhân đôi một lần. Ban đầu có 1.000 con vi khuẩn. Hỏi sau đúng 2 giờ thì có bao nhiêu con vi khuẩn?

💡 Xem lời giải

Sau 2 giờ (tương đương 120 phút), số lần nhân đôi là: $n = \dfrac{120}{20} = 6$ (lần).

Ta thấy đây là bài toán cấp số nhân:

Điểm khởi đầu (Chưa nhân đôi): $u_1 = 1.000$ .
Kì nhân đôi thứ nhất (Sau 20 phút): $u_2 = 1.000 \cdot 2$ .
Kì nhân đôi thứ hai (Sau 40 phút): $u_3 = 1.000 \cdot 2^2$ . … Sau 6 lần nhân đôi (tức là số hạng $u_7$ , vì lần 0 tính là $u_1$ ), số lượng vi khuẩn sẽ là: Giá trị = Ban đầu $\cdot q^n$ = $1000 \cdot 2^6 = 1000 \cdot 64 = \mathbf{64.000}$ (con vi khuẩn).

📝 Bài tập tự luyện

Cho cấp số nhân có $u_1 = 2$ và công bội $q = 3$. Số hạng thứ 4 của CSN này là:

Tập hợp các số nào sau đây lập thành một CẤP SỐ NHÂN?

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $u_1 = 1$, công bội $q = \\dfrac{1}{2}$ bằng:

Một người gửi tiết kiệm 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 6%/năm theo hình thức lãi kép. Hỏi sau 3 năm, tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) người đó nhận được là bao nhiêu triệu đồng? (Làm tròn đến 1 chữ số sau dấu phẩy)

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Không giới hạn lần làm