Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

• TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.
• Tiệm cận ngang: $\lim_{x \to \pm \infty} \dfrac{2x - 3}{x + 1} = 2 \Rightarrow y = 2$.
• Tiệm cận đứng: $\lim_{x \to -1^+} \dfrac{2x - 3}{x + 1} = -\infty \Rightarrow x = -1$.

• Mẫu số $2x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = -2$. Vì tử số tại -2 là 3 khác 0 nên $x = -2$ là tiệm cận đứng.
• Bậc tử bằng bậc mẫu, tỉ số hệ số $x$ là $-1/2 \Rightarrow y = -1/2$ là tiệm cận ngang.

Rút gọn: $y = \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1$ (với $x \ne 1$). $\lim_{x \to 1} y = 2$ (hữu hạn) $\Rightarrow$ Không có tiệm cận đứng. Hàm số đa thức $y = x+1$ không có tiệm cận ngang.

• Tiệm cận đứng: $x = 0$ (mẫu = 0, tử = 1).
• Tiệm cận ngang:
  • $x \to +\infty, y \to 1 \Rightarrow y = 1$.
  • $x \to -\infty, y \to -1 \Rightarrow y = -1$. Vậy có 3 đường tiệm cận.

$y = \dfrac{x - 2}{(x-2)^2} = \dfrac{1}{x - 2}$. $\lim_{x \to 2} y = \infty \Rightarrow x = 2$ là tiệm cận đứng.

$y = \dfrac{x(x-1) + 2x + 1}{x-1} = x + \dfrac{2(x-1) + 3}{x-1} = x + 2 + \dfrac{3}{x-1}$. Tiệm cận xiên: $y = x + 2$.

$y = \dfrac{2x^2}{x} - \dfrac{3x}{x} + \dfrac{1}{x} = 2x - 3 + \dfrac{1}{x}$. Tiệm cận xiên: $y = 2x - 3$.

$y = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x+2} = x - 2$ (với $x \ne -2$). Hàm đại số là đường thẳng, không có tiệm cận.

$a = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{x^2+4x}}{x} = 1$. $b = \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+4x} - x) = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x} = 2$. Tiệm cận xiên: $y = x + 2$.

Chia đa thức: $x^3+1 = (x^2+x)(x-1) + x+1$. $y = x-1 + \dfrac{x+1}{x^2+x} = x-1 + \dfrac{1}{x}$. Tiệm cận xiên: $y = x - 1$.

$f(x) = \dfrac{500 + 2x}{x} = 2 + \dfrac{500}{x}$. Tiệm cận ngang là $y = 2$. Ý nghĩa: Khi số lượng sản phẩm sản xuất rất lớn, chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm tiến gần về 2 triệu đồng.

$\lim_{t \to +\infty} \dfrac{4t}{t^2 + 1} = 0$. Tiệm cận ngang $y = 0$. Nghĩa là sau một thời gian rất dài, thuốc sẽ bị đào thải hết khỏi máu.