Bài 5: Dãy số

Câu a:

• $u_1 = 2$
• $n = 1 \Rightarrow u_2 = u_1 + 3 = 2 + 3 = 5$
• $n = 2 \Rightarrow u_3 = u_2 + 3 = 5 + 3 = 8$
• $n = 3 \Rightarrow u_4 = u_3 + 3 = 8 + 3 = 11$ Vậy 4 số hạng đầu là: $2, 5, 8, 11$.

Câu b: Quan sát ta thấy các số hạng tạo thành mẫu:

• $u_1 = 2 = 3(1) - 1$
• $u_2 = 5 = 3(2) - 1$
• $u_3 = 8 = 3(3) - 1$
• $u_4 = 11 = 3(4) - 1$

Dự đoán công thức tổng quát là: $\mathbf{u_n = 3n - 1}$.

1. Xét tính tăng giảm: Ta có: $u_n = \dfrac{2n - 1}{n + 1}$. Số hạng kế tiếp: $u_{n+1} = \dfrac{2(n+1) - 1}{(n+1) + 1} = \dfrac{2n + 1}{n + 2}$.

Xét hiệu: $H = u_{n+1} - u_n = \dfrac{2n + 1}{n + 2} - \dfrac{2n - 1}{n + 1} = \dfrac{(2n+1)(n+1) - (2n-1)(n+2)}{(n+2)(n+1)}$ $H = \dfrac{(2n^2 + 3n + 1) - (2n^2 + 3n - 2)}{(n+2)(n+1)} = \dfrac{3}{(n+2)(n+1)}$

Vì $\forall n \geq 1$, mẫu số $(n+2)(n+1) > 0$ và tử $3 > 0$, nên $H > 0 \Rightarrow \mathbf{Dãy số tăng}$.

2. Xét tính bị chặn:

• Bị chặn dưới: Do dạy dãy số tăng nên số hạng đầu tiên chính là giá trị nhỏ nhất của dãy. Ta có $u_1 = \dfrac{2 \cdot 1 - 1}{1 + 1} = \dfrac{1}{2}$. Vậy $u_n \geq \dfrac{1}{2} \ \forall n$. (Bị chặn dưới bởi $1/2$).
• Bị chặn trên: Biến đổi $u_n = \dfrac{2n + 2 - 3}{n + 1} = 2 - \dfrac{3}{n+1}$. Vì $\dfrac{3}{n+1} > 0 \ \forall n \geq 1$ nên suy ra $u_n = 2 - \dfrac{3}{n+1} < 2$. Vậy dãy số bị chặn trên bởi $2$.

Kết luận: Dãy số bị chặn.