🛠️ Công cụ

Ôn tập Chương 8 - Toán 11

Ôn tập Chương VIII: Các quy tắc tính xác suất - Toán 11 Kết nối tri thức.

📖 Lý thuyết ✍️ Dạng toán & bài tập 🎯 Trắc nghiệm

Ôn tập Chương VIII: Các quy tắc tính xác suất

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

⚡ 1. Biến cố hợp và Biến cố giao
  • Biến cố hợp: Biến cố ”AA hoặc BB xảy ra”, kí hiệu A∪BA \cup B.
  • Biến cố giao: Biến cố “Cả AA và BB cùng xảy ra”, kí hiệu A∩BA \cap B hoặc ABAB.
  • Biến cố xung khắc: AA và BB xung khắc nếu A∩B=∅A \cap B = \emptyset (không thể cùng xảy ra).
⚡ 2. Quy tắc cộng xác suất
  • Với hai biến cố bất kỳ: P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).
  • Nếu AA và BB xung khắc: P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A \cup B) = P(A) + P(B).
⚡ 3. Biến cố độc lập và Quy tắc nhân
  • Biến cố độc lập: Sự xảy ra của AA không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của BB.
  • Quy tắc nhân: Nếu AA và BB độc lập thì P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B).
  • Hệ quả: Nếu AA và BB độc lập thì cặp (A‾,B)(\overline{A}, B), (A,B‾)(A, \overline{B}), (A‾,B‾)(\overline{A}, \overline{B}) cũng độc lập.
⚡ 4. Sơ đồ hình cây

Sử dụng sơ đồ hình cây để phân tích các bài toán xác suất thực hiện qua nhiều công đoạn hoặc lặp lại.

  • Xác suất của một nhánh bằng tích các xác suất trên các đoạn của nhánh đó.
  • Xác suất của một biến cố bằng tổng xác suất của các nhánh thuận lợi cho biến cố đó.

II. Dạng toán tổng hợp

📌 Phương pháp giải

Phương pháp giải quyết:

  1. Xác định mối quan hệ giữa các biến cố: Xung khắc hay Độc lập?
  2. Sử dụng công thức cộng khi gặp từ khóa “hoặc”, “có ít nhất…”.
  3. Sử dụng công thức nhân khi gặp từ khóa “đồng thời”, “liên tiếp” và các sự kiện không ảnh hưởng nhau.
  4. Đối với bài toán “có ít nhất một”, thường sử dụng biến cố đối A‾\overline{A}.
🔍 Ví dụ 1: Quy tắc cộng xác suất

Một hộp có 10 quả cầu đỏ và 5 quả cầu xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 quả. Gọi AA là “lấy quả đỏ”, BB là “lấy quả xanh”. Tính P(A∪B)P(A \cup B).

💡 Xem lời giải
  • Vì chỉ lấy 1 quả nên AA và BB xung khắc.
  • P(A)=10/15=2/3P(A) = 10/15 = 2/3. P(B)=5/15=1/3P(B) = 5/15 = 1/3.
  • P(A∪B)=P(A)+P(B)=2/3+1/3=1P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 2/3 + 1/3 = 1. (Biến cố A∪BA \cup B là biến cố chắc chắn “lấy được quả đỏ hoặc quả xanh”).
🔍 Ví dụ 2: Quy tắc nhân xác suất

Hai xạ thủ bắn độc lập vào một bia. Xác suất trúng của người thứ nhất là 0,8; người thứ hai là 0,7. Tính xác suất để cả hai cùng trúng.

💡 Xem lời giải

Gọi A,BA, B lần lượt là biến cố người thứ nhất và thứ hai trúng đích. Vì hai người bắn độc lập nên: P(A∩B)=P(A)⋅P(B)=0,8⋅0,7=0,56P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0,8 \cdot 0,7 = 0,56.

🔍 Ví dụ 3: Sử dụng biến cố đối

Trong Ví dụ 2, tính xác suất để có ít nhất một người trúng đích.

💡 Xem lời giải
  • Cách 1 (Trực tiếp): P=P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)=0,8+0,7−0,56=0,94P = P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0,8 + 0,7 - 0,56 = 0,94.
  • Cách 2 (Biến cố đối): Gọi H‾\overline{H} là biến cố “không ai trúng đích”. Vì A,BA, B độc lập nên A‾,B‾\overline{A}, \overline{B} cũng độc lập. P(H‾)=P(A‾)⋅P(B‾)=(1−0,8)⋅(1−0,7)=0,2⋅0,3=0,06P(\overline{H}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = (1 - 0,8) \cdot (1 - 0,7) = 0,2 \cdot 0,3 = 0,06. Vậy P=1−P(H‾)=1−0,06=0,94P = 1 - P(\overline{H}) = 1 - 0,06 = 0,94.
🔍 Ví dụ 4: Sơ đồ hình cây

Hộp I có 2 bi đỏ, 3 bi xanh. Hộp II có 4 bi đỏ, 1 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 hộp rồi từ đó lấy ra 1 bi. Tính xác suất lấy được bi đỏ.

💡 Xem lời giải
  • Bước 1: Chọn hộp. Xác suất chọn mỗi hộp là 1/2.
  • Bước 2: Chọn bi từ hộp đã chọn.
  • Nhánh 1: Chọn Hộp I (1/2) →\rightarrow Bi đỏ (2/5). P1=1/2⋅2/5=1/5P_1 = 1/2 \cdot 2/5 = 1/5.
  • Nhánh 2: Chọn Hộp II (1/2) →\rightarrow Bi đỏ (4/5). P2=1/2⋅4/5=2/5P_2 = 1/2 \cdot 4/5 = 2/5.
  • Tổng xác suất: P=P1+P2=1/5+2/5=3/5=0,6P = P_1 + P_2 = 1/5 + 2/5 = 3/5 = 0,6.
🔍 Ví dụ 5: Bài toán thực tế — Kiểm tra sản phẩm

Một dây chuyền sản xuất có tỉ lệ sản phẩm lỗi là 2%. Một máy kiểm tra tự động phát hiện đúng sản phẩm lỗi với xác suất 95%, và nhận nhầm sản phẩm tốt là lỗi với xác suất 1%. Tính xác suất một sản phẩm被 máy kết luận là lỗi.

💡 Xem lời giải

Gọi LL là sản phẩm lỗi (P(L)=0,02P(L) = 0,02), TT là sản phẩm tốt (P(T)=0,98P(T) = 0,98). Gọi KK là biến cố “máy kết luận là lỗi”.

  • P(K∣L)=0,95⇒P(K|L) = 0,95 \Rightarrow Nhánh 1: L→KL \rightarrow K có xác suất 0,02⋅0,95=0,0190,02 \cdot 0,95 = 0,019.
  • P(K∣T)=0,01⇒P(K|T) = 0,01 \Rightarrow Nhánh 2: T→KT \rightarrow K có xác suất 0,98⋅0,01=0,00980,98 \cdot 0,01 = 0,0098. P(K)=0,019+0,0098=0,0288≈2,88%P(K) = 0,019 + 0,0098 = 0,0288 \approx 2,88\%.

III. Trắc nghiệm ôn tập

Câu 1:Nếu $A$ và $B$ là hai biến cố xung khắc thì $P(A \cap B)$ bằng:
Câu 2:Công thức nào sau đây đúng với mọi cặp biến cố $A, B$?
Câu 3:Cho $P(A) = 0,4; P(B) = 0,5$. Nếu $A, B$ độc lập thì $P(A \cap B)$ bằng:
Câu 4:Gieo một đồng xu cân đối 2 lần. Xác suất để cả hai lần đều ngửa là:
Câu 5:Cho $P(A \cup B) = 0,7; P(A) = 0,4; P(B) = 0,5$. Khi đó $P(A \cap B)$ bằng:
Câu 6:Sơ đồ hình cây thường được sử dụng khi nào?
Đúng / Sai
Câu 7Xét một túi có 3 đỏ, 2 xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 bi. Xét tính đúng sai:
a)Xác suất bi thứ nhất đỏ là $3/5$.
b)Xác suất cả hai bi đều đỏ nếu lấy có hoàn lại là $9/25$.
c)Xác suất cả hai bi đều đỏ nếu lấy không hoàn lại là $3/10$.
d)Lấy có hoàn lại là hai biến cố xung khắc.
Đúng / Sai
Câu 8Cho hai biến cố $A$ và $B$ bất kỳ. Đúng hay sai?
a)Nếu $A$ và $B$ độc lập thì $P(A cup B) = 1 - P(\overline{A})P(\overline{B})$.
b)Nếu $A$ và $B$ xung khắc thì $P(AB) = 0$.
c)Nếu $P(AB) = P(A)P(B)$ thì $A, B$ xung khắc.
d)Nếu $A$ chứa trong $B$ thì $P(A) leq P(B)$.
Câu 9:Tính xác suất để khi chọn ngẫu nhiên một ngày trong tuần (7 ngày) ta được ngày cuối tuần (Thứ 7 hoặc Chủ nhật).
Câu 10:Một bài kiểm tra có 2 câu hỏi độc lập. Xác suất làm đúng câu 1 là 0,8; câu 2 là 0,6. Tính xác suất chỉ đúng 1 câu.

IV. Bài tập tự luận tổng hợp

📝 Danh sách bài tập tự luận

Câu 1. Hai người đi săn cùng bắn vào một con nai một cách độc lập. Xác suất bắn trúng của người A là 0,7; của người B là 0,6. a) Tính xác suất để cả hai người cùng bắn trúng. b) Tính xác suất để chỉ có một người bắn trúng. c) Tính xác suất để con nai bị trúng đạn (có ít nhất 1 người trúng). d) Nếu con nai chỉ bị trúng 1 phát đạn, tính xác suất phát đạn đó là của người A.

💡 Đáp án

a) 0,7⋅0,6=0,420,7 \cdot 0,6 = 0,42. b) 0,7⋅0,4+0,3⋅0,6=0,460,7 \cdot 0,4 + 0,3 \cdot 0,6 = 0,46. c) 1−0,3⋅0,4=0,881 - 0,3 \cdot 0,4 = 0,88. d) 0,28/0,46≈0,6090,28 / 0,46 \approx 0,609.

Câu 2. Một hộp chứa 6 bi đỏ và 4 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên ra 2 bi. a) Tính xác suất 2 bi lấy ra cùng màu nếu lấy cùng lúc. b) Tính xác suất 2 bi lấy ra khác màu nếu lấy cùng lúc. c) Nếu lấy bi thứ nhất, xem màu rồi bỏ lại vào hộp sau đó lấy bi thứ hai. Tính xác suất để 2 bi cùng màu. d) So sánh kết quả câu a và câu c. Giải thích sự khác biệt.

💡 Đáp án

a) (C62+C42)/C102=21/45=7/15(C_6^2 + C_4^2)/C_{10}^2 = 21/45 = 7/15. b) 1−7/15=8/151 - 7/15 = 8/15. c) (0,6)2+(0,4)2=0,52=13/25(0,6)^2 + (0,4)^2 = 0,52 = 13/25. d) 13/25>7/1513/25 > 7/15. Lấy có hoàn lại xác suất cùng màu cao hơn.

Câu 3. Trong một lớp học có 60% học sinh thích môn Toán, 50% thích môn Lý và 30% thích cả hai môn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh: a) Tính xác suất học sinh đó thích ít nhất một trong hai môn. b) Tính xác suất học sinh đó không thích môn nào. c) Tính xác suất học sinh đó thích Toán nhưng không thích Lý. d) Hai biến cố “thích Toán” và “thích Lý” có độc lập không? Tại sao?

💡 Đáp án

a) 0,6+0,5−0,3=0,80,6 + 0,5 - 0,3 = 0,8. b) 1−0,8=0,21 - 0,8 = 0,2. c) 0,6−0,3=0,30,6 - 0,3 = 0,3. d) Độc lập vì P(A∩B)=0,3P(A \cap B) = 0,3 and P(A)P(B)=0,6⋅0,5=0,3P(A)P(B) = 0,6 \cdot 0,5 = 0,3.

Câu 4. (Thực tế - Vận hành máy) Một chiếc máy có hai bộ phận A và B hoạt động độc lập. Xác suất bộ phận A bị hỏng là 0,05; bộ phận B bị hỏng là 0,1. Máy ngừng hoạt động nếu có ít nhất một bộ phận bị hỏng. a) Tính xác suất máy hoạt động bình thường. b) Tính xác suất máy ngừng hoạt động. c) Tính xác suất chỉ có đúng một bộ phận bị hỏng. d) Sau một thời gian, người ta nâng cấp bộ phận A để xác suất hỏng giảm xuống còn 0,01. Tính xác suất mới của việc máy ngừng hoạt động.

💡 Đáp án

a) 0,95⋅0,9=0,8550,95 \cdot 0,9 = 0,855. b) 1−0,855=0,1451 - 0,855 = 0,145. c) 0,05⋅0,9+0,1⋅0,95=0,140,05 \cdot 0,9 + 0,1 \cdot 0,95 = 0,14. d) 1−0,99⋅0,9=0,1091 - 0,99 \cdot 0,9 = 0,109.

Câu 5. Một đề thi có hai phần trắc nghiệm và tự luận. Một học sinh có xác suất làm đúng phần trắc nghiệm là 0,9. Nếu đúng trắc nghiệm, xác suất đúng tự luận là 0,8. Nếu sai trắc nghiệm, xác suất đúng tự luận chỉ là 0,3. a) Vẽ sơ đồ hình cây cho bài toán này. b) Tính xác suất học sinh làm đúng cả hai phần. c) Tính xác suất học sinh làm đúng phần tự luận. d) Nếu học sinh đó đã đúng tự luận, tính xác suất học sinh đó cũng đúng trắc nghiệm.

💡 Đáp án

b) 0,9⋅0,8=0,720,9 \cdot 0,8 = 0,72. c) 0,72+0,1⋅0,3=0,750,72 + 0,1 \cdot 0,3 = 0,75. d) 0,72/0,75=0,960,72 / 0,75 = 0,96.

Câu 6. (Thực tế - Chẩn đoán y tế) Theo thống kê, tỉ lệ người mắc bệnh X trong cộng đồng là 1/1000. Một xét nghiệm chẩn đoán bệnh X có độ chính xác 99% (nghĩa là nếu có bệnh, 99% báo dương tính; nếu không bệnh, 99% báo âm tính). a) Tính xác suất một người đi xét nghiệm nhận kết quả dương tính. b) Nếu một người nhận kết quả dương tính, tính xác suất thực tế người đó có bệnh. c) Tại sao kết quả ở câu b lại rất thấp dù độ chính xác xét nghiệm là 99%? d) Để tăng độ tin cậy, bác sĩ yêu cầu xét nghiệm lần 2 (độc lập lần 1). Nếu lần 2 vẫn dương tính, xác suất có bệnh là bao nhiêu?

💡 Đáp án

a) 0,001⋅0,99+0,999⋅0,01=0,010980,001 \cdot 0,99 + 0,999 \cdot 0,01 = 0,01098. b) 0,00099/0,01098≈9%0,00099 / 0,01098 \approx 9\%. c) Do tỉ lệ bệnh trong cộng đồng quá thấp (số ca dương tính giả lấn át). d) ≈90,8%\approx 90,8\%.

Câu 7. Gieo một con súc sắc 3 lần liên tiếp. a) Tính xác suất để mặt 6 chấm xuất hiện đúng 1 lần. b) Tính xác suất để mặt 6 chấm xuất hiện ít nhất 1 lần. c) Tính xác suất để tổng số chấm trong 3 lần bằng 4. d) Tính xác suất để lần gieo sau có số chấm lớn hơn lần gieo trước.

💡 Đáp án

a) 3⋅(1/6)⋅(5/6)2=75/2163 \cdot (1/6) \cdot (5/6)^2 = 75/216. b) 1−(5/6)3=91/2161 - (5/6)^3 = 91/216. c) 3 trường hợp (1,1,2), (1,2,1), (2,1,1) →3/216=1/72\rightarrow 3/216 = 1/72. d) C63/63=20/216=5/54C_6^3 / 6^3 = 20/216 = 5/54.

Câu 8. (Thực tế - Hệ thống điện) Một mạng điện gồm 3 bóng đèn mắc song song. Xác suất mỗi bóng đèn bị cháy trong một năm là 0,2 (độc lập). a) Tính xác suất mạng điện vẫn có đèn sáng sau một năm. b) Nếu 3 bóng đèn mắc nối tiếp, tính xác suất mạng điện bị tắt hoàn toàn. c) So sánh độ tin cậy của cách lắp song song và nối tiếp. d) Nếu cần xác suất có đèn sáng đạt 99,9%, cần lắp tối thiểu bao nhiêu bóng đèn song song?

💡 Đáp án

a) 1−(0,2)3=0,9921 - (0,2)^3 = 0,992. b) 1−(0,8)3=0,4881 - (0,8)^3 = 0,488. c) Song song tin cậy hơn nhiều. d) 0,2n<0,001⇒n≥50,2^n < 0,001 \Rightarrow n \geq 5.

Câu 9. Một cuộc thi có 3 câu hỏi. Trả lời đúng câu trước mới được trả lời câu sau. Xác suất trả lời đúng các câu 1, 2, 3 lần lượt là 0,8; 0,7; 0,6. a) Tính xác suất thí sinh dừng lại sau câu 1. b) Tính xác suất thí sinh trả lời được đến câu 3. c) Tính xác suất thí sinh trả lời đúng đúng 2 câu.

💡 Đáp án

a) 0,8⋅0,3=0,240,8 \cdot 0,3 = 0,24. b) 0,8⋅0,7=0,560,8 \cdot 0,7 = 0,56. c) 0,8⋅0,7⋅0,4=0,2240,8 \cdot 0,7 \cdot 0,4 = 0,224.

Câu 10. (Tổng hợp) Cho hai biến cố AA and BB. Chứng minh rằng: a) Nếu A,BA, B độc lập thì P(A∪B)=1−P(overlineA)P(overlineB)P(A \cup B) = 1 - P(\\overline{A})P(\\overline{B}). b) Nếu A,BA, B xung khắc và P(A)+P(B)=1P(A) + P(B) = 1 thì B=overlineAB = \\overline{A}. c) P(A)⋅P(B)≥P(A∩B)P(A) \cdot P(B) \geq P(A \cap B). d) Nếu P(A)=0,7P(A) = 0,7 và P(B)=0,8P(B) = 0,8 thì P(A∩B)≥0,5P(A \cap B) \geq 0,5.

💡 Đáp án

a) Sử dụng công thức cộng and tính độc lập. b) A∪BA \cup B là biến cố chắc chắn ⇒B=Ω∖A=A‾\Rightarrow B = \Omega \setminus A = \overline{A}. c) Chỉ đúng nếu A,BA, B độc lập and ≤1\leq 1 (hoặc tùy điều kiện). Phát biểu tổng quát P(AB)≤P(A)P(AB) \leq P(A) là đúng. d) P(A∪B)≤1⇒P(A)+P(B)−P(AB)≤1⇒P(AB)≥1,5−1=0,5P(A \cup B) \leq 1 \Rightarrow P(A)+P(B)-P(AB) \leq 1 \Rightarrow P(AB) \geq 1,5-1=0,5.

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →
Miễn phí · Không giới hạn lần làm
📑 Mục lục