🛠️ Công cụ

Bài 6: Phép vị tự

Định nghĩa, biểu thức tọa độ và tính chất của phép vị tự — Chuyên đề Toán 11 Kết nối tri thức.

📖 Lý thuyết ✍️ Dạng toán & bài tập 🎯 Trắc nghiệm

Bài 6: Phép vị tự

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

📋 1. Định nghĩa

Cho điểm OO và số thực k≠0k \neq 0. Phép biến hình biến mỗi điểm MM thành điểm M′M' sao cho OM′⃗=kOM⃗\vec{OM'} = k\vec{OM} được gọi là phép vị tự tâm OO tỉ số kk.

  • Kí hiệu: V(O,k)V_{(O, k)}.
  • V(O,k)(M)=M′⇔OM′⃗=kOM⃗V_{(O, k)}(M) = M' \Leftrightarrow \vec{OM'} = k\vec{OM}.
⚡ 2. Biểu thức tọa độ

Trong mặt phẳng OxyOxy, cho tâm vị tự I(a;b)I(a; b) và tỉ số vị tự kk. Nếu M′(x′;y′)=V(I,k)(M)M'(x'; y') = V_{(I, k)}(M) thì:

{x′=kx+(1−k)ay′=ky+(1−k)b\begin{cases} x' = kx + (1-k)a \\ y' = ky + (1-k)b \end{cases}

Đặc biệt, nếu tâm vị tự là gốc tọa độ O(0;0)O(0; 0): x′=kx,y′=kyx' = kx, y' = ky.

⚡ 3. Tính chất
  • Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa chúng.
  • BIến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
  • Biến tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài nhân lên ∣k∣|k| lần.
  • Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng ∣k∣|k|.
  • Biến đường tròn bán kính RR thành đường tròn bán kính R′=∣k∣RR' = |k|R.

II. Các dạng toán và ví dụ minh họa

📌 Kỹ năng làm bài phép vị tự
  1. Tìm ảnh của điểm: Dùng biểu thức tọa độ. Lưu ý tâm II khác OO.
  2. Tìm ảnh của đường tròn:
    • Tìm ảnh của tâm I→I′I \to I'.
    • Tính bán kính mới R′=∣k∣RR' = |k|R.
  3. Xác định tâm vị tự: Cho hai đường tròn (C1),(C2)(C_1), (C_2), tìm tâm II sao cho V(I,k)(C1)=(C2)V_{(I, k)}(C_1) = (C_2). Tỉ số k=±R2/R1k = \pm R_2/R_1.
🔍 Ví dụ 1: Tìm ảnh của điểm qua tâm I

Trong mặt phẳng OxyOxy, cho điểm A(1;3)A(1; 3) và tâm vị tự I(2;1)I(2; 1). Tìm ảnh của AA qua phép vị tự tâm II tỉ số k=−2k = -2.

💡 Xem lời giải

Áp dụng biểu thức tọa độ: {x′=(−2)⋅1+(1−(−2))⋅2=−2+6=4y′=(−2)⋅3+(1−(−2))⋅1=−6+3=−3\begin{cases} x' = (-2) \cdot 1 + (1 - (-2)) \cdot 2 = -2 + 6 = 4 \\ y' = (-2) \cdot 3 + (1 - (-2)) \cdot 1 = -6 + 3 = -3 \end{cases} Vậy A′(4;−3)A'(4; -3).

🔍 Ví dụ 2: Tìm ảnh của đường thẳng

Cho đường thẳng d:x+2y−1=0d: x + 2y - 1 = 0. Tìm phương trình ảnh của dd qua phép vị tự tâm OO tỉ số k=3k = 3.

💡 Xem lời giải
  • Phép vị tự V(O,3)V_{(O, 3)} biến M(x;y)→M′(3x;3y)M(x; y) \to M'(3x; 3y).
  • Ta có x=x′/3x = x'/3 và y=y′/3y = y'/3.
  • Thay vào phương trình dd: (x′/3)+2(y′/3)−1=0⇔x′+2y′−3=0(x'/3) + 2(y'/3) - 1 = 0 \Leftrightarrow x' + 2y' - 3 = 0. Vậy phương trình đường thẳng ảnh là d′:x+2y−3=0d': x + 2y - 3 = 0.
🔍 Ví dụ 3: Tâm vị tự của hai đường tròn

Cho (C1):(x−1)2+(y−2)2=4(C_1): (x-1)^2 + (y-2)^2 = 4 và (C2):(x−4)2+(y−5)2=16(C_2): (x-4)^2 + (y-5)^2 = 16. Tìm tỉ số vị tự kk dương biến (C1)(C_1) thành (C2)(C_2).

💡 Xem lời giải
  • Bán kính R1=2R_1 = 2, R2=4R_2 = 4.
  • Tỉ số vị tự k=R2/R1=4/2=2k = R_2 / R_1 = 4 / 2 = 2.
  • (Nếu tìm tâm vị tự II: II2⃗=2II1⃗⇒I\vec{II_2} = 2\vec{II_1} \Rightarrow I là điểm đối xứng của I2I_2 qua I1I_1).

III. Trắc nghiệm ôn tập

Câu 1:Ảnh của điểm $M(1; 2)$ qua phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k = -3$ là:
Câu 2:Phép vị tự tỉ số $k$ biến đường tròn bán kính $R$ thành đường tròn có diện tích gấp bao nhiêu lần?
Đúng / Sai
Câu 3Xét các khẳng định sau về phép vị tự:
a)Phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k=1$ là phép đồng nhất.
b)Phép vị tự luôn biến đường thẳng thành đường thẳng song song.
c)Phép vị tự tỉ số $k = -1$ là phép đối xứng tâm.
d)Phép vị tự không bảo toàn khoảng cách nếu $|k| eq 1$.
Câu 4:Cho $A(1; 1)$, $A'(2; 2)$. Nếu $V_{(O, k)}(A) = A'$, tìm giá trị của $k$.

IV. Bài tập tự luận

📝 Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho tam giác ABCABC. Gọi GG là trọng tâm. Tìm tỉ số vị tự kk của phép vị tự tâm GG biến tam giác ABCABC thành tam giác A′B′C′A'B'C' là tam giác có các đỉnh là trung điểm của các cạnh tam giác ABCABC.

💡 Lời giải
  • Gọi M,N,PM, N, P là trung điểm BC,CA,ABBC, CA, AB. Ta có GM⃗=−1/2GA⃗\vec{GM} = -1/2 \vec{GA}.
  • Tương tự cho các đỉnh khác.
  • Vậy phép vị tự tâm GG tỉ số k=−1/2k = -1/2 biến A→M,B→N,C→PA \to M, B \to N, C \to P.

Câu 2. Trong mặt phẳng OxyOxy, cho đường tròn (C):(x−2)2+(y+1)2=9(C): (x-2)^2 + (y+1)^2 = 9. Tìm phương trình ảnh của (C)(C) qua phép vị tự tâm I(1;2)I(1; 2) tỉ số k=−1/3k = -1/3.

💡 Lời giải
  • Tâm IC(2;−1)I_C(2; -1), R=3R = 3.
  • Tâm ảnh I′I': {x′=−1/3(2)+(1+1/3)⋅1=−2/3+4/3=2/3y′=−1/3(−1)+(1+1/3)⋅2=1/3+8/3=3⇒I′(2/3;3)\begin{cases} x' = -1/3(2) + (1+1/3) \cdot 1 = -2/3 + 4/3 = 2/3 \\ y' = -1/3(-1) + (1+1/3) \cdot 2 = 1/3 + 8/3 = 3 \end{cases} \Rightarrow I'(2/3; 3).
  • Bán kính R′=∣−1/3∣⋅3=1R' = |-1/3| \cdot 3 = 1.
  • Phương trình: (x−2/3)2+(y−3)2=1(x-2/3)^2 + (y-3)^2 = 1.

Câu 3. Chứng minh rằng hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia.

💡 Lời giải
  • Giả sử hai đường tròn (C1,R1)(C_1, R_1) and (C2,R2)(C_2, R_2).
  • Chọn k=R2/R1k = R_2/R_1 (vị tự ngoài) hoặc k=−R2/R1k = -R_2/R_1 (vị tự trong).
  • Luôn tồn tại điểm II thỏa mãn II2⃗=kII1⃗\vec{II_2} = k\vec{II_1}. Vì thế luôn tồn tại phép vị tự.
🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →
Miễn phí · Không giới hạn lần làm
📑 Mục lục