Câu 1. Cho bảng phân bố tần số ghép nhóm về tuổi thọ của bóng đèn: $[1000; 1100): 20, [1100; 1200): 35, [1200; 1300): 40, [1300; 1400): 5$. a) Tính số trung bình tuổi thọ. b) Tìm mốt của mẫu số liệu. c) Tìm trung vị. d) Nếu nhà sản xuất cam kết bảo hành cho 20% bóng đèn có tuổi thọ thấp nhất, thời gian bảo hành nên là bao nhiêu (tính $Q_1$)?

Câu 2. Khảo sát điểm thi của 120 học sinh: $[0; 2): 5, [2; 4): 15, [4; 6): 40, [6; 8): 45, [8; 10): 15$. a) Tìm điểm trung bình của cả khối. b) Tìm mốt. c) Tìm các tứ phân vị $Q_1, Q_2, Q_3$. d) Vẽ biểu đồ tần số (nếu có thể mô tả) và nhận xét về độ lệch của dữ liệu.

Câu 3. (So sánh) Thống kê thời gian chạy 100m (giây) của hai lớp 11A và 11B: 11A: $[12; 13): 5, [13; 14): 10, [14; 15): 5$. 11B: $[12; 13): 2, [13; 14): 16, [14; 15): 2$. a) Tính thời gian trung bình của mỗi lớp. b) Lớp nào có kết quả chạy đồng đều hơn? (Nhận xét qua mốt và trung vị). c) Nếu chọn 10 học sinh chạy nhanh nhất khối, tỉ lệ của mỗi lớp là bao nhiêu? d) Tại sao số trung bình không phản ánh hết được sự khác biệt giữa hai lớp này?

Câu 4. (Thực tế - Chi phí) Một gia đình thống kê chi phí tiền điện trong 12 tháng: $[200; 400): 2, [400; 600): 5, [600; 800): 3, [800; 1000): 2$ (đơn vị: nghìn đồng). a) Tính chi phí tiền điện trung bình mỗi tháng. b) Tìm mức chi phí phổ biến nhất (mốt). c) Mức chi phí ở giữa (trung vị) là bao nhiêu? d) Nếu tháng tới dự kiến giá điện tăng 10%, các số đặc trưng trên thay đổi thế nào?

Câu 5. Chứng minh rằng đối với mẫu số liệu ghép nhóm: a) Nếu nhân mỗi giá trị số liệu với k, số trung bình mới bằng $k \cdot \bar{x}$. b) Trung vị $M_e$ luôn nằm trong khoảng của nhóm chứa nó. c) Mốt $M_o$ có xu hướng tiến gần về phía nhóm lân cận có tần số cao hơn. d) Tổng các độ lệch $(x_i - \bar{x})$ có trọng số tần số bằng 0.

Câu 6. Một thư viện khảo sát số sách mượn mỗi ngày trong 30 ngày: $[0; 20): 3, [20; 40): 7, [40; 60): 12, [60; 80): 5, [80; 100): 3$. a) Tính $\bar{x}, M_e, M_o$. b) Tìm khoảng tứ phân vị $\Delta_Q = Q_3 - Q_1$. c) Giải thích ý nghĩa của $\Delta_Q$ trong việc đánh giá sự ổn định của bạn đọc. d) Có ngày nào mượn sách “quá nhiều” (giá trị ngoại lệ) không?

Câu 7. (Thực tế - Môi trường) Đo nồng độ bụi mịn (PM2.5) tại một trạm: $[0; 15): 10, [15; 30): 20, [30; 45): 15, [45; 60): 5$ (đơn vị: $\mu g/m^3$). a) Tính nồng độ trung bình. b) Theo quy chuẩn, nồng độ trên 30 là ô nhiễm. Tính tỉ lệ số ngày ô nhiễm. c) Tìm nồng độ mà 50% số ngày thấp hơn mức đó. d) Nếu lắp thêm thiết bị lọc giúp giảm 20% nồng độ mọi ngày, trung vị mới là bao nhiêu?

Câu 8. Cho mẫu số liệu ghép nhóm 2 nhóm $[a; b)$ tần số $n_1$ và $[b; c)$ tần số $n_2$. a) Viết công thức số trung bình. b) Tìm điều kiện để trung vị $M_e = b$. c) Tìm điều kiện để mốt nằm ở nhóm 1. d) Nếu $n_1 = n_2$, chứng minh số trung bình bằng $(a+c)/2 + (b - (a+c)/2) \cdot 0$.

Câu 9. (Thực tế - Thể thao) Cân nặng của các cầu thủ trong một đội bóng (kg): $[60; 65): 2, [65; 70): 8, [70; 75): 12, [75; 80): 3$. a) Tìm mốt cân nặng. b) Tính cân nặng trung bình. c) Nếu huấn luyện viên muốn loại biên 10% cầu thủ nhẹ nhất, ngưỡng cân nặng là bao nhiêu? d) 25% cầu thủ nặng nhất có cân nặng từ bao nhiêu trở lên?

Câu 10. (Tổng hợp) Một bài toán khảo sát thu nhập cư dân: $[0; 10): 20, [10; 20): 50, [20; 50): 30$. (Đơn vị: triệu đồng). a) Chú ý độ dài các nhóm không bằng nhau ($h_1=10, h_2=10, h_3=30$). Tính trung bình. b) Tính trung vị $M_e$. (Công thức $M_e$ vẫn đúng khi h khác nhau). c) Tính mốt $M_o$. (Sử dụng mật độ tần số $n_i/h_i$). d) Tại sao việc chọn khoảng nhóm $h$ khác nhau lại gây khó khăn cho việc phân tích mốt?