🛠️ Công cụ

Bài 17: Phương trình mặt cầu

Cách lập phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính, và cách xác định tâm, bán kính từ phương trình tổng quát.

📖 Lý thuyết ✍️ Dạng toán & bài tập 🎯 Trắc nghiệm

I. Lý thuyết

1. Phương trình chính tắc của mặt cầu

Mặt cầu (S)(S) tâm I(a;b;c)I(a; b; c), bán kính RR có phương trình: (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2

2. Phương trình tổng quát của mặt cầu

Phương trình có dạng: x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+d=0x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 là phương trình mặt cầu nếu điều kiện a2+b2+c2−d>0a^2 + b^2 + c^2 - d > 0 được thỏa mãn. Khi đó:

  • Tâm I(a;b;c)I(a; b; c).
  • Bán kính R=a2+b2+c2−dR = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}.

🔷 Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính (hoặc yếu tố liên quan)

📌 Phương pháp giải

Phương pháp:

  1. Tìm tọa độ tâm I(a;b;c)I(a; b; c).
  2. Tìm bán kính RR.
  3. Thay vào công thức: (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2. Lưu ý: Nếu mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng (P)(P), thì R=d(I,(P))R = d(I, (P)).
🔍 Ví dụ 1 (Dễ)

Viết PT mặt cầu tâm I(1;2;−3)I(1; 2; -3) và bán kính R=4R = 4.

💡 Xem lời giải

(x−1)2+(y−2)2+(z+3)2=16(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 3)^2 = 16.

🔍 Ví dụ 2 (Dễ)

Viết PT mặt cầu đường kính ABAB với A(1;0;2),B(3;2;0)A(1; 0; 2), B(3; 2; 0).

💡 Xem lời giải
  • Tâm II là trung điểm ABAB: I(2;1;1)I(2; 1; 1).
  • Bán kính R=IA=(1−2)2+(0−1)2+(2−1)2=3R = IA = \sqrt{(1-2)^2 + (0-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{3}.
  • PT: (x−2)2+(y−1)2+(z−1)2=3(x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = 3.
🔍 Ví dụ 3 (Trung bình)

Viết PT mặt cầu tâm I(1;1;1)I(1; 1; 1) và đi qua điểm A(2;3;−1)A(2; 3; -1).

💡 Xem lời giải
  • R=IA=(2−1)2+(3−1)2+(−1−1)2=1+4+4=3R = IA = \sqrt{(2-1)^2 + (3-1)^2 + (-1-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3.
  • PT: (x−1)2+(y−1)2+(z−1)2=9(x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = 9.
🔍 Ví dụ 4 (Trung bình)

Viết PT mặt cầu tâm I(2;−1;3)I(2; -1; 3) và tiếp xúc với mặt phẳng (P):x+2y−2z+1=0(P): x + 2y - 2z + 1 = 0.

💡 Xem lời giải
  • R=d(I,(P))=∣2+2(−1)−2(3)+1∣12+22+(−2)2=∣−5∣3=5/3R = d(I, (P)) = \dfrac{|2 + 2(-1) - 2(3) + 1|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}} = \dfrac{|-5|}{3} = 5/3.
  • PT: (x−2)2+(y+1)2+(z−3)2=25/9(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 25/9.
🔍 Ví dụ 5 (Khó)

Viết PT mặt cầu đi qua 4 điểm O(0,0,0),A(2,0,0),B(0,4,0),C(0,0,6)O(0,0,0), A(2,0,0), B(0,4,0), C(0,0,6).

💡 Xem lời giải
  • Vì các điểm nằm trên trục, tâm II chính là (a/2,b/2,c/2)=(1,2,3)(a/2, b/2, c/2) = (1, 2, 3).
  • Bán kính R=12+22+32=14R = \sqrt{1^2+2^2+3^2} = \sqrt{14}.
  • PT: (x−1)2+(y−2)2+(z−3)2=14(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = 14.
  • Hoặc PT tổng quát: x2+y2+z2−2x−4y−6z=0x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z = 0.

📝 Thực hành — Dạng 1

PT mặt cầu tâm $O(0;0;0)$ bán kính $R=1$ là:
Mặt cầu đi qua $M(1;0;0)$ có tâm $I(0;0;0)$. Bán kính bằng:
Nếu mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng Oxy thì bán kính R bằng:
Đúng / SaiCho $A(1;2;3), B(1;2;5)$. Gọi (S) là mặt cầu đường kính AB:
a)Tâm I của mặt cầu là $(1; 2; 4)$
b)Bán kính mặt cầu là $R=2$
c)PT mặt cầu là $(x-1)^2+(y-2)^2+(z-4)^2=1$
d)Mặt cầu (S) đi qua điểm $M(1; 2; 3)$
Mặt cầu tâm $I(1,1,1)$ tiếp xúc mặt phẳng $z=0$. Tính bán kính R.

🔷 Dạng 2: Xác định tâm và bán kính từ phương trình cho trước

📌 Phương pháp giải

Phương pháp:

  • Nếu dạng chính tắc: (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2⇒I(a,b,c)(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 = R^2 \Rightarrow I(a,b,c).
  • Nếu dạng tổng quát: Chia các hệ số của x,y,zx, y, z cho −2⇒I(a,b,c)-2 \Rightarrow I(a,b,c).
  • Bán kính R=a2+b2+c2−dR = \sqrt{a^2+b^2+c^2-d}.
🔍 Ví dụ 1 (Dễ)

Tìm tâm và bán kính của mặt cầu (x+1)2+y2+(z−2)2=9(x+1)^2 + y^2 + (z-2)^2 = 9.

💡 Xem lời giải

I(−1;0;2),R=3I(-1; 0; 2), R = 3.

🔍 Ví dụ 2 (Dễ)

Tìm tâm II và bán kính RR của mặt cầu x2+y2+z2−2x+4y−6z+1=0x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z + 1 = 0.

💡 Xem lời giải
  • a=−2/(−2)=1,b=4/(−2)=−2,c=−6/(−2)=3⇒I(1;−2;3)a = -2/(-2) = 1, b = 4/(-2) = -2, c = -6/(-2) = 3 \Rightarrow I(1; -2; 3).
  • R=12+(−2)2+32−1=1+4+9−1=13R = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2 - 1} = \sqrt{1 + 4 + 9 - 1} = \sqrt{13}.
🔍 Ví dụ 3 (Trung bình)

Phương trình x2+y2+z2−2x−2my+4z+m2+5=0x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2my + 4z + m^2 + 5 = 0 là mặt cầu khi mm bằng bao nhiêu?

💡 Xem lời giải
  • a=1,b=m,c=−2,d=m2+5a=1, b=m, c=-2, d=m^2+5.
  • ĐK: 12+m2+(−2)2−(m2+5)>0⇔1+m2+4−m2−5>0⇔0>01^2 + m^2 + (-2)^2 - (m^2+5) > 0 \Leftrightarrow 1 + m^2 + 4 - m^2 - 5 > 0 \Leftrightarrow 0 > 0 (Vô lý).
  • Vậy với mọi mm, đây không bao giờ là phương trình mặt cầu.

📝 Thực hành — Dạng 2

Tâm của mặt cầu $x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6y = 0$ là:
Bán kính của mặt cầu $x^2 + y^2 + z^2 = 3$ là:
Phương trình $x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 4y + 6z + 15 = 0$ có phải mặt cầu không?
Đúng / SaiXét mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 4 = 0$:
a)Tâm mặt cầu là $I(1; 2; 0)$
b)Hệ số d bằng 4
c)Bán kính mặt cầu là $R=3$
d)Mặt cầu cắt trục Oz tại hai điểm
Tìm giá trị của $m$ để mặt cầu $x^2+y^2+z^2+2x-4y+4z+m=0$ có bán kính $R=5$.

🔷 Dạng 3: Vị trí tương đối và sự tương giao

📌 Phương pháp giải

Phương pháp:

  • Mặt cầu (S) và Mặt phẳng (P):
    • d(I,(P))>Rd(I, (P)) > R: Không cắt.
    • d(I,(P))=Rd(I, (P)) = R: Tiếp xúc.
    • d(I,(P))<Rd(I, (P)) < R: Cắt theo đường tròn có bán kính r=R2−d2r = \sqrt{R^2 - d^2}.
  • Mặt cầu (S) và Đường thẳng d:
    • d(I,d)>Rd(I, d) > R: Không cắt.
    • d(I,d)=Rd(I, d) = R: Tiếp xúc.
    • d(I,d)<Rd(I, d) < R: Cắt tại 2 điểm.
🔍 Ví dụ 1 (Trung bình)

Tìm bán kính đường tròn giao tuyến của mặt cầu x2+y2+z2=25x^2 + y^2 + z^2 = 25 và mặt phẳng z=3z=3.

💡 Xem lời giải
  • R=5,I(0,0,0)R=5, I(0,0,0).
  • d(I,mp)=∣3∣=3d(I, mp) = |3| = 3.
  • r=52−32=4r = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4.
🔍 Ví dụ 2 (Khó)

Viết PT mặt phẳng (P)(P) song song với (Q):x+y+z=0(Q): x + y + z = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S):x2+y2+z2−2x−4y−6z+11=0(S): x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z + 11 = 0.

💡 Xem lời giải
  • (S)(S) có I(1,2,3),R=1+4+9−11=3I(1, 2, 3), R = \sqrt{1+4+9-11} = \sqrt{3}.
  • (P)(P) có dạng x+y+z+D=0x+y+z+D=0.
  • d(I,(P))=∣1+2+3+D∣3=3⇒∣6+D∣=3d(I, (P)) = \dfrac{|1+2+3+D|}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \Rightarrow |6+D| = 3.
  • D=−3D=-3 hoặc D=−9D=-9.
  • PT: x+y+z−3=0x+y+z-3=0 và x+y+z−9=0x+y+z-9=0.

📝 Thực hành — Dạng 3

Nếu $d(I, (P)) = R$, mặt cầu and mặt phẳng:
Mặt cầu $x^2+y^2+z^2 = 4$ có tiếp xúc với mặt phẳng $x=2$ không?
Bán kính đường tròn giao tuyến đạt giá trị lớn nhất khi mặt phẳng đi qua:
Đúng / SaiCho $(S): x^2+y^2+z^2=25$ and $(P): 3x+4y=mc$:
a)Tâm mặt cầu là O(0,0,0)
b)Mặt phẳng (P) luôn đi qua trục Oz
c)(P) tiếp xúc với (S) nếu $d(O, (P)) = 5$
d)Nếu $m=0$, (P) cắt (S) theo đường tròn bán kính 5
Mặt cầu $(S): x^2+y^2+z^2=9$ and mp $(P): z=2$ cắt nhau theo đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó.

🔷 Dạng 4: Bài toán thực tế liên quan đến mặt cầu

📌 Phương pháp giải

Phương pháp:

  • Mô hình hóa Trái Đất, các vật thể hình cầu.
  • Tính khoảng cách từ rễ cây, trạm phát sóng đến bề mặt.
  • Xác định phạm vi phủ sóng bám theo mặt cầu.
🔍 Ví dụ 1 (Trung bình)

Một trạm phát sóng đặt tại S(0,0,10)S(0, 0, 10) phát sóng bao phủ một vùng hình cầu bán kính 20km. Một ngôi nhà tại M(5,5,2)M(5, 5, 2). Hỏi ngôi nhà có nằm trong vùng phủ sóng không?

💡 Xem lời giải
  • Khoảng cách SM=52+52+(10−2)2=25+25+64=114≈10.67SM = \sqrt{5^2 + 5^2 + (10-2)^2} = \sqrt{25 + 25 + 64} = \sqrt{114} \approx 10.67 km.
  • Vì 10.67<2010.67 < 20 km nên ngôi nhà có nằm trong vùng phủ sóng.
🔍 Ví dụ 2 (Khó)

Coi Trái Đất là mặt cầu (S):x2+y2+z2=64002(S): x^2 + y^2 + z^2 = 6400^2. Một vệ tinh ở độ cao 600km đang bay. Viết phương trình mặt cầu biểu diễn quỹ đạo vệ tinh (coi quỹ đạo tròn và vệ tinh luôn cách tâm TĐ một khoảng không đổi).

💡 Xem lời giải
  • Bán kính quỹ đạo vệ tinh R′=RTĐ+h=6400+600=7000R' = R_{TĐ} + h = 6400 + 600 = 7000 km.
  • PT: x2+y2+z2=70002=49,000,000x^2 + y^2 + z^2 = 7000^2 = 49,000,000.

📝 Thực hành — Dạng 4

Hình dạng Trái Đất trong toán học Oxyz thường được coi là:
Một con tàu vũ trụ cách tâm Trái Đất (bán kính 6400) một khoảng d. Tàu hạ cánh khi:
Nếu mô phỏng bóng đèn là điểm sáng $S$, quả bóng là mặt cầu, thì bóng của quả bóng trên sàn là gì?
Đúng / SaiMột bồn chứa xăng hình cầu $(S): x^2+y^2+z^2=4$ (đv: m). Một ống dẫn thẳng $d: x=y=z$:
a)Tâm bồn xăng đặt tại gốc tọa độ
b)Bán kính bồn xăng là 2m
c)Ống dẫn đi xuyên qua tâm bồn
d)Độ dài đoạn ống nằm trong bồn là 4m
Mặt cầu quỹ đạo vệ tinh $x^2+y^2+z^2 = 44890000$. Tính độ cao h (km) so với mặt đất (R=6400).
📝 Bài tập tự luận — Tổng hợp

Câu 1. Viết phương trình mặt cầu (S)(S) trong các trường hợp sau: a) Tâm I(1;−2;4)I(1; -2; 4) và đi qua M(1;0;2)M(1; 0; 2). b) Có đường kính MNMN với M(2;4;1),N(−2;0;3)M(2; 4; 1), N(-2; 0; 3). c) Tiếp xúc với cả 3 mặt phẳng tọa độ và có bán kính bằng 3 (tâm ở góc phần tư thứ nhất).

Câu 2. Xác định tâm và bán kính của các mặt cầu sau: a) x2+y2+z2−4x+6y−2z+2=0x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6y - 2z + 2 = 0. b) 3x2+3y2+3z2+6x−12y+15=03x^2 + 3y^2 + 3z^2 + 6x - 12y + 15 = 0. (Chú ý hệ số của x2x^2).

Câu 3. Cho điểm I(1;2;3)I(1; 2; 3) và mặt phẳng (P):x−2y+2z+1=0(P): x - 2y + 2z + 1 = 0. a) Viết phương trình mặt cầu (S)(S) tâm II tiếp xúc với mặt phẳng (P)(P). b) Tìm tọa độ tiếp điểm HH của (S)(S) và (P)(P).

Câu 4. Tìm mm để mặt phẳng (P):2x−2y+z+m=0(P): 2x - 2y + z + m = 0 cắt mặt cầu (S):x2+y2+z2−2x+4y−6z+10=0(S): x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z + 10 = 0 theo một đường tròn có bán kính r=2r = \sqrt{2}.

Câu 5. Một khinh khí cầu có dạng hình cầu tâm II đang ở độ cao 100m. Một người đứng trên mặt đất tại OO. Chọn hệ trục tọa độ sao cho mặt đất là mặt phẳng OxyOxy, vị trí khinh khí cầu là I(0;0;100+R)I(0; 0; 100+R) với RR là bán kính khí cầu. a) Nếu bán kính khinh khí cầu R=10R=10m, viết PT mặt cầu mô tả nó. b) Một tia laser từ trạm A(50;0;0)A(50; 0; 0) chiếu thẳng tới tâm II của khinh khí cầu. Hãy tính khoảng cách từ trạm AA đến điểm gần nhất trên bề mặt khinh khí cầu mà tia laser chạm tới.

✏️ Luyện tập trắc nghiệm →
🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →
Miễn phí · Không giới hạn lần làm
📑 Mục lục