Bài 4: Vận dụng đạo hàm để giải một số bài toán tối ưu

Gọi chiều ngang (song song tường) là $x$ (m), chiều sâu là $y$ (m).

Hàng rào: $x + 2y = 60 \Rightarrow x = 60 - 2y$. Điều kiện: $0 < y < 30$.

Diện tích: $S(y) = x \cdot y = (60 - 2y) \cdot y = 60y - 2y^2$

$S'(y) = 60 - 4y = 0 \Rightarrow y = 15 \text{ (m)}$

$S''(y) = -4 < 0$ → cực đại → GTLN.

$x = 60 - 30 = 30$ m.

$\boxed{S_{\max} = 30 \times 15 = 450 \text{ m}^2 \text{ khi } x = 30 \text{ m}, y = 15 \text{ m}}$

Hộp có kích thước: chiều dài = chiều rộng = $20 - 2x$, chiều cao = $x$.

Điều kiện: $0 < x < 10$.

$V(x) = x(20 - 2x)^2 = x \cdot 4(10 - x)^2$

$V'(x) = (20-2x)^2 + x \cdot 2(20-2x)(-2) = (20-2x)\big[(20-2x) - 4x\big] = (20-2x)(20-6x)$

$V'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 10$ (loại) hoặc $x = 10/3 \approx 3{,}33$ cm.

$V'$ đổi dấu $+$ → $-$ tại $x = 10/3$ → cực đại.

$V_{\max} = \frac{10}{3} \cdot \left(20 - \frac{20}{3}\right)^2 = \frac{10}{3} \cdot \left(\frac{40}{3}\right)^2 = \frac{10}{3} \cdot \frac{1600}{9} \approx 592{,}6 \text{ cm}^3$

$\pi R^2 h = 8\pi \Rightarrow h = \dfrac{8}{R^2}$.

Chi phí đáy: $200 \cdot \pi R^2$.

Chi phí thành: $100 \cdot 2\pi R h = 200\pi R \cdot \dfrac{8}{R^2} = \dfrac{1600\pi}{R}$.

$C(R) = 200\pi R^2 + \frac{1600\pi}{R} \quad (R > 0)$

$C'(R) = 400\pi R - \frac{1600\pi}{R^2} = 0 \Rightarrow R^3 = 4 \Rightarrow R = \sqrt[3]{4} \approx 1{,}587 \text{ m}$

$C'' > 0$ → cực tiểu, chính là GTNN trên $(0;+\infty)$.

$h = \frac{8}{(\sqrt[3]{4})^2} = \frac{8}{\sqrt[3]{16}} = 2\sqrt[3]{2} \approx 2{,}52 \text{ m}$

Doanh thu: $R(x) = x \cdot p(x) = x(500 - 0{,}5x) = 500x - 0{,}5x^2$.

Lợi nhuận: $\pi(x) = R(x) - C(x) = 500x - 0{,}5x^2 - 10000 - 100x = -0{,}5x^2 + 400x - 10000$

$\pi'(x) = -x + 400 = 0 \Rightarrow x = 400 \text{ sản phẩm}$

$\pi''(x) = -1 < 0$ → cực đại. $x = 400$ nằm trong $[100; 500]$ → hợp lệ.

Giá bán: $p(400) = 500 - 200 = 300$ nghìn đồng/sản phẩm.

$\pi_{\max} = -0{,}5(400)^2 + 400(400) - 10000 = -80000 + 160000 - 10000 = \mathbf{70000} \text{ nghìn đồng}$

Thời gian đi: $t = D/v$.

Chi phí nhiên liệu: $kv^3 \cdot t = kv^3 \cdot \dfrac{D}{v} = kDv^2$.

Chi phí cố định: $A \cdot t = \dfrac{AD}{v}$.

Tổng chi phí: $C(v) = kDv^2 + \frac{AD}{v} \quad (v > 0)$

$C'(v) = 2kDv - \frac{AD}{v^2} = 0 \Rightarrow 2kv^3 = A \Rightarrow v = \sqrt[3]{\frac{A}{2k}}$

$C'' > 0$ → cực tiểu.

Tốc độ tối ưu: $v^* = \sqrt[3]{\dfrac{A}{2k}}$.