Bài 3: Phép đối xứng trục

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

📋 1. Định nghĩa

Cho đường thẳng $d$ . Phép biến hình biến mỗi điểm $M$ thuộc $d$ thành chính nó, biến mỗi điểm $M$ không thuộc $d$ thành điểm $M'$ sao cho $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng $MM'$ được gọi là phép đối xứng trục $d$ .

Kí hiệu: $D_d$ .
$D_d(M) = M' \Leftrightarrow d$ là trung trực $MM'$ .

⚡ 2. Biểu thức tọa độ

Trong mặt phẳng $Oxy$ :

Đối xứng qua trục $Ox$ : $\begin{cases} x' = x \\ y' = -y \end{cases}$
Đối xứng qua trục $Oy$ : $\begin{cases} x' = -x \\ y' = y \end{cases}$
Đối xứng qua đường phân giác $y = x$ : $\begin{cases} x' = y \\ y' = x \end{cases}$

⚡ 3. Tính chất

Phép đối xứng trục là phép dời hình.
Biến đường thẳng thành đường thẳng.
Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
Biến tam giác thành tam giác bằng nó.
Biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.
Trục đối xứng của một hình: Nếu $D_d(\mathcal{H}) = \mathcal{H}$ thì $d$ là trục đối xứng của $\mathcal{H}$ .

II. Các dạng toán và ví dụ minh họa

📌 Kỹ năng tìm ảnh qua phép đối xứng trục

Đối xứng qua trục tọa độ: Dùng trực tiếp biểu thức tọa độ.
Đối xứng qua đường thẳng $d$ bất kì:
- Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ qua $M$ và vuông góc với $d$ .
- Tìm giao điểm $H = \Delta \cap d$ .
- $H$ là trung điểm $MM' \Rightarrow M'$ .

🔍 Ví dụ 1: Tìm ảnh của điểm

Cho điểm $A(-2; 5)$ . Tìm tọa độ điểm $A'$ là ảnh của $A$ qua phép đối xứng trục $Ox$ .

💡 Xem lời giải

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục $Ox$ : $\begin{cases} x' = x = -2 \\ y' = -y = -5 \end{cases}$ Vậy $A'(-2; -5)$ .

🔍 Ví dụ 2: Tìm ảnh của đường thẳng

Trong mặt phẳng $Oxy$ , cho đường thẳng $d: x - 2y + 3 = 0$ . Tìm ảnh của $d$ qua phép đối xứng trục $Oy$ .

💡 Xem lời giải

Với đối xứng qua $Oy$ , ta có: $x' = -x \Rightarrow x = -x'$ và $y' = y \Rightarrow y = y'$ .
Thay vào phương trình $d$ : $(-x') - 2(y') + 3 = 0 \Leftrightarrow -x' - 2y' + 3 = 0 \Leftrightarrow x' + 2y' - 3 = 0$ . Vậy phương trình đường thẳng ảnh là $d': x + 2y - 3 = 0$ .

🔍 Ví dụ 3: Xác định trục đối xứng

Trong các hình sau, hình nào có trục đối xứng? a) Tam giác cân. b) Hình bình hành. c) Hình tròn.

💡 Xem lời giải

a) Tam giác cân có 1 trục đối xứng (đường cao ứng với cạnh đáy).
b) Hình bình hành nói chung không có trục đối xứng (trừ khi là hình thoi, hình chữ nhật).
c) Hình tròn có vô số trục đối xứng (mọi đường thẳng đi qua tâm).

III. Trắc nghiệm ôn tập

Câu 1:Ảnh của điểm $M(1; 2)$ qua phép đối xứng trục $Oy$ là:

Câu 2:Hình nào sau đây có đúng 4 trục đối xứng?

Đúng / Sai

Câu 3Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách.

b)Đường tròn luôn có vô số trục đối xứng.

c)Phép đối xứng trục luôn có vô số điểm bất động.

d)Hình chữ nhật có 4 trục đối xứng.

Câu 4:Cho đường tròn $(C): (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4$. Tìm tung độ tâm đường tròn ảnh qua phép đối xứng trục $Ox$.

IV. Bài tập tự luận

📝 Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ . Chứng minh đường cao $AH$ là trục đối xứng của tam giác đó.

💡 Lời giải

Vì $H$ là trung điểm $BC$ và $AH \perp BC$ nên $H$ là ảnh của chính nó, $B$ và $C$ đối xứng nhau qua $AH$ .
Điểm $A$ thuộc $AH$ nên $A$ là ảnh của chính nó.
Vậy phép đối xứng trục $AH$ biến tam giác $ABC$ thành chính nó.

Câu 2. Tìm tọa độ ảnh của điểm $M(3; -1)$ qua phép đối xứng qua đường thẳng $d: x + y - 1 = 0$ .

💡 Lời giải

Đường thẳng $\Delta$ qua $M$ vuông góc với $d$ có dạng: $(x-3) - (y+1) = 0 \Leftrightarrow x - y - 4 = 0$ .
Giao điểm $H$ của $d$ và $\Delta$ : $x+y=1, x-y=4 \Rightarrow x=2.5, y=-1.5$ .
Tọa độ $M'$ : $x' = 2(2.5) - 3 = 2, y' = 2(-1.5) - (-1) = -2$ . Vậy $M'(2; -2)$ .

Câu 3. Cho hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ song song. Chứng minh có duy nhất một phép đối xứng trục biến $d_1$ thành $d_2$ .

💡 Lời giải

Đó là phép đối xứng qua đường thẳng $d$ song song và cách đều $d_1, d_2$ ( $d$ là đường trung bình).

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Không giới hạn lần làm