Bài 12: Tích phân — Sách Toán THPT

I. Lý thuyết

1. Định nghĩa tích phân

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$ . Giả sử $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $[a; b]$ . Hiệu số $F(b) - F(a)$ được gọi là tích phân của $f(x)$ từ $a$ đến $b$ .
Kí hiệu: $\int_a^b f(x)dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$ .
Lưu ý: Tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm $f$ và các cận $a, b$ , không phụ thuộc vào biến số ( $x, t, u \dots$ ). $\int_a^b f(x)dx = \int_a^b f(t)dt = \int_a^b f(u)du$

2. Ý nghĩa hình học

Nếu hàm số $f(x)$ liên tục và không âm trên đoạn $[a; b]$ thì tích phân $\int_a^b f(x)dx$ là diện tích $S$ của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị $y = f(x)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = a, x = b$ .

3. Tính chất của tích phân

$\int_a^a f(x)dx = 0$ .
$\int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx$ .
$\int_a^b k f(x)dx = k \int_a^b f(x)dx$ (với hằng số $k$ ).
$\int_a^b [f(x) \pm g(x)]dx = \int_a^b f(x)dx \pm \int_a^b g(x)dx$ .
Tính chất tách đoạn: $\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx$ (với $c \in [a; b]$ ).

🔷 Dạng 1: Tính tích phân bằng công thức định nghĩa Newton-Leibniz

📌 Phương pháp giải

Phương pháp:

Tìm một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)$ .
Áp dụng công thức: $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$ .

🔍 Ví dụ 1 (Dễ)

Tính tích phân $I = \int_0^1 (3x^2 + 2x)dx$ .

💡 Xem lời giải

$I = [x^3 + x^2]_0^1 = (1^3 + 1^2) - (0^3 + 0^2) = 2$ .

🔍 Ví dụ 2 (Dễ)

Tính tích phân $I = \int_0^{\pi/2} \sin x dx$ .

💡 Xem lời giải

$I = [-\cos x]_0^{\pi/2} = -\cos(\pi/2) - (-\cos 0) = 0 + 1 = 1$ .

🔍 Ví dụ 3 (Trung bình)

Tính tích phân $I = \int_1^2 \dfrac{1}{x} dx$ .

💡 Xem lời giải

$I = [\ln|x|]_1^2 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2$ .

🔍 Ví dụ 4 (Trung bình)

Tính tích phân $I = \int_0^1 e^{2x} dx$ .

💡 Xem lời giải

$I = \left[ \dfrac{1}{2} e^{2x} \right]_0^1 = \dfrac{1}{2}(e^2 - e^0) = \dfrac{e^2 - 1}{2}$ .

🔍 Ví dụ 5 (Khó)

Tính tích phân $I = \int_0^1 (2x+1)^3 dx$ .

💡 Xem lời giải

$I = \left[ \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{(2x+1)^4}{4} \right]_0^1 = \left[ \dfrac{(2x+1)^4}{8} \right]_0^1 = \dfrac{3^4}{8} - \dfrac{1^4}{8} = \dfrac{80}{8} = 10$ .

📝 Thực hành — Dạng 1

Giá trị của $\int_0^1 x^4 dx$ là:

Tích phân $\int_0^{\pi/4} \cos x dx$ bằng:

$\int_1^e \dfrac{1}{x} dx$ bằng:

Đúng / SaiXét tính đúng sai của các kết quả tích phân sau:

a)$\int_0^1 e^x dx = e - 1$

b)$\int_1^2 \dfrac{dx}{x^2} = \dfrac{1}{2}$

c)$\int_0^{\pi} \sin x dx = 0$

d)$\int_0^1 (2x+1)dx = 2$

Tính giá trị của tích phân $I = \int_0^1 6x^5 dx$.

🔷 Dạng 2: Tính tích phân dựa trên các tính chất của tích phân

📌 Phương pháp giải

Phương pháp: Sử dụng các tính chất: tuyến tính (tách tổng/hiệu/hằng số) và tính chất chèn điểm để giải bài toán khi biết tích phân của các hàm thành phần.

🔍 Ví dụ 1 (Dễ)

Cho $\int_0^1 f(x)dx = 3$ . Tính $\int_0^1 2f(x)dx$ .

💡 Xem lời giải

$\int_0^1 2f(x)dx = 2 \int_0^1 f(x)dx = 2 \cdot 3 = 6$ .

🔍 Ví dụ 2 (Dễ)

Cho $\int_0^2 f(x)dx = 5, \int_0^2 g(x)dx = -2$ . Tính $\int_0^2 [f(x) + g(x)]dx$ .

💡 Xem lời giải

$5 + (-2) = 3$ .

🔍 Ví dụ 3 (Trung bình)

Cho $\int_0^{10} f(x)dx = 7$ và $\int_2^{10} f(x)dx = 3$ . Tính $\int_0^2 f(x)dx$ .

💡 Xem lời giải

$\int_0^{10} = \int_0^2 + \int_2^{10} \Rightarrow 7 = \int_0^2 + 3 \Rightarrow \int_0^2 = 4$ .

🔍 Ví dụ 4 (Trung bình)

Cho $\int_1^2 f(x)dx = 1$ . Tính $\int_1^2 [3f(x) - 2x] dx$ .

💡 Xem lời giải

$3 \int_1^2 f(x)dx - \int_1^2 2x dx = 3(1) - [x^2]_1^2 = 3 - (4-1) = 3 - 3 = 0$ .

🔍 Ví dụ 5 (Khó)

Cho $\int_0^1 f(x)dx = 2, \int_1^2 g(x)dx = 3, \int_0^2 [f(x) + g(x)]dx = 10$ . Tính $\int_1^2 f(x)dx + \int_0^1 g(x)dx$ .

💡 Xem lời giải

$10 = (\int_0^1 f + \int_1^2 f) + (\int_0^1 g + \int_1^2 g)$ $10 = (2 + \int_1^2 f) + (\int_0^1 g + 3) = 5 + (\int_1^2 f + \int_0^1 g)$ . Vậy tổng cần tìm là 5.

📝 Thực hành — Dạng 2

Cho $\\\\int_a^b f(x)dx = 10$. Tính $\\\\int_b^a f(x)dx$.

Cho $\\\\int_0^3 f(x)dx = 2, \\\\int_0^3 g(x)dx = 3$. Tính $\\\\int_0^3 [2f(x) - g(x)]dx$.

Nếu $\\\\int_1^2 f(x)dx = 3$ và $\\\\int_1^5 f(x)dx = 8$ thì $\\\\int_2^5 f(x)dx$ bằng:

Đúng / SaiXét các tính chất tích phân:

a)$\\int_a^b f(x)dx = \\int_b^a f(x)dx$

b)$\\int_a^c f(x)dx + \\int_c^b f(x)dx = \\int_a^b f(x)dx$

c)$\\int_0^1 x^2 dx = \\int_0^1 t^2 dt$

d)$\\int_1^1 f(x)dx = 0$

Cho $\\\\int_0^1 f(x)dx = 4$. Tính $\\\\int_0^1 [f(x) - 2]dx$.

🔷 Dạng 3: Tích phân của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối hoặc hàm ghép

📌 Phương pháp giải

Phương pháp:

Xét dấu biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối trên đoạn đang xét.
Chia đoạn tích phân tại các điểm làm hàm số đổi công thức hoặc tại các nghiệm của biểu thức trong trị tuyệt đối.

🔍 Ví dụ 1 (Dễ)

Tính $I = \int_0^2 |x - 1| dx$ .

💡 Xem lời giải

$I = \int_0^1 (1-x)dx + \int_1^2 (x-1)dx = [x - \frac{x^2}{2}]_0^1 + [\frac{x^2}{2} - x]_1^2 = 0.5 + 0.5 = 1$ .

🔍 Ví dụ 2 (Dễ)

Tính $I = \int_{-1}^1 |x| dx$ .

💡 Xem lời giải

$I = \int_{-1}^0 -x dx + \int_0^1 x dx = 0.5 + 0.5 = 1$ .

🔍 Ví dụ 3 (Trung bình)

Tính $I = \int_0^2 f(x)dx$ biết $f(x) = \begin{cases} x & \text{khi } 0 \le x \le 1 \\ 1 & \text{khi } 1 < x \le 2 \end{cases}$ .

💡 Xem lời giải

$I = \int_0^1 x dx + \int_1^2 1 dx = [\frac{x^2}{2}]_0^1 + [x]_1^2 = 0.5 + (2-1) = 1.5$ .

🔍 Ví dụ 4 (Trung bình)

Tính tích phân $I = \int_0^\pi |\sin x - \cos x| dx$ .

💡 Xem lời giải

$\sin x = \cos x \Leftrightarrow x = \pi/4 \in [0; \pi]$ . $I = \int_0^{\pi/4} (\cos x - \sin x)dx + \int_{\pi/4}^\pi (\sin x - \cos x)dx$ $I = [\sin x + \cos x]_0^{\pi/4} + [-\cos x - \sin x]_{\pi/4}^\pi = (\sqrt{2}-1) + (1 + \sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$ .

🔍 Ví dụ 5 (Khó)

Tính $I = \int_{-1}^2 |x^2 - x| dx$ .

💡 Xem lời giải

Nghiệm: $x=0, x=1$ đều $\in [-1; 2]$ . $I = \int_{-1}^0 (x^2-x)dx + \int_0^1 (x-x^2)dx + \int_1^2 (x^2-x)dx$ $I = [x^3/3 - x^2/2]_{-1}^0 + [x^2/2 - x^3/3]_0^1 + [x^3/3 - x^2/2]_1^2$ $I = \frac{5}{6} + \frac{1}{6} + \frac{5}{6} = \frac{11}{6}$ .

📝 Thực hành — Dạng 3

Gía trị của $\\\\int_{-1}^1 |2x| dx$ là:

Cho $f(x) = |x-2|$. Tích phân $\\\\int_0^3 f(x)dx$ bằng:

Hàm số $f(x)$ bằng 1 khi $x < 0$ và bằng $x+1$ khi $x \\\\ge 0$. Tính $\\\\int_{-1}^1 f(x)dx$.

Đúng / SaiXét tích phân $I = \\\\int_0^4 |x-3| dx$:

a)Có thể tách $I = \\int_0^3 (3-x)dx + \\int_3^4 (x-3)dx$

b)$\\int_0^3 (3-x)dx = 4.5$

c)$\\int_3^4 (x-3)dx = 0.5$

d)Gía trị của $I$ là 5

Tính tích phân $I = \\\\int_0^{\\\\pi} |\\\\sin x| dx$.

🔷 Dạng 4: Bài toán thực tế ứng dụng tích phân

📌 Phương pháp giải

Phương pháp: Sử dụng công thức tính quãng đường $S = \int_{t_1}^{t_2} v(t)dt$ . Ngoài ra có thể ứng dụng trong vật lý để tính công hay trong kinh tế để tính tổng sản lượng.

🔍 Ví dụ 1 (Dễ)

Một chiếc xe ô tô bắt đầu chuyển động với vận tốc $v(t) = 4t$ (m/s). Tính quãng đường xe đi được từ giây thứ 2 đến giây thứ 5.

💡 Xem lời giải

$S = \int_2^5 4t dt = [2t^2]_2^5 = 2(25) - 2(4) = 50 - 8 = 42$ (m).

🔍 Ví dụ 2 (Dễ)

Một vật rơi tự do với vận tốc $v(t) = 10t$ . Tính quãng đường rơi trong giây thứ nhất.

💡 Xem lời giải

$S = \int_0^1 10t dt = [5t^2]_0^1 = 5$ (m).

🔍 Ví dụ 3 (Trung bình)

Lưu lượng nước chảy vào một bể chứa được hàm số $f(t) = 10e^{0.1t}$ (m³/h). Tính tổng lượng nước chảy vào bể trong 5 giờ đầu tiên.

💡 Xem lời giải

$Q = \int_0^5 10e^{0.1t} dt = [100e^{0.1t}]_0^5 = 100(e^{0.5} - 1) \approx 64.87$ (m³).

🔍 Ví dụ 4 (Trung bình)

Mật độ dân số ở một khoảng cách $r$ km từ tâm thành phố là $d(r) = 2000e^{-0.2r}$ người/km². Tính tổng số dân cư sống trong khoảng cách từ 1 km đến 3 km từ tâm thành phố (coi thành phố như hình tròn).

💡 Xem lời giải

(Bài toán này thường dùng tích phân mặt tròn, nhưng bám sát SGK lớp 12 thì thường chỉ yêu cầu tính tích phân hàm $d(r)$ đơn thuần trên đoạn). $P = \int_1^3 2000e^{-0.2r} dr = [-10000e^{-0.2r}]_1^3 \approx 2715$ (người).

🔍 Ví dụ 5 (Khó)

Một người đi xe máy đang chạy with vận tốc 15 m/s thì nhìn thấy chướng ngại vật và bắt đầu hãm phanh. Vận tốc giảm dần with gia tốc $a(t) = -2t$ (m/s²). Tính quãng đường từ khi hãm phanh đến khi vận tốc còn 6 m/s.

💡 Xem lời giải

$v(t) = \int -2t dt = -t^2 + C$ . Lúc bắt đầu hãm phanh ( $t=0, v=15$ ) $\Rightarrow C=15 \Rightarrow v(t) = 15 - t^2$ . Vận tốc còn 6 m/s: $15 - t^2 = 6 \Leftrightarrow t^2 = 9 \Leftrightarrow t = 3$ giây. Quãng đường: $S = \int_0^3 (15 - t^2) dt = [15t - \frac{t^3}{3}]_0^3 = 45 - 9 = 36$ (m).

📝 Thực hành — Dạng 4

Một vật chuyển động with $v(t) = t^2$. Quãng đường đi được từ $t=1$ đến $t=3$ là:

Vận tốc biến thiên theo $v(t) = 20 - 5t$. Xe dừng lại sau bao nhiêu giây?

Trong ví dụ xe dừng lại ở trên, quãng đường đi được đến khi dừng là:

Đúng / SaiMột hạt chuyển động with vận tốc $v(t) = \\\\sin t$. Xét các mệnh đề sau:

a)Quãng đường hạt đi từ $t=0$ đến $t=\\pi$ là 2m

b)Vận tốc của hạt luôn không âm trên $[0; \\pi]$

c)Hạt chuyển động nhanh dần đều

d)Gia tốc tại $t=\\pi/2$ bằng 0

Một nguồn tin lan truyền with tốc độ $f(t) = 100t$ người/giờ. Tính số người biết tin sau 2 giờ đầu tiên.

📝 Bài tập tự luận — Tổng hợp

Câu 1. Tính các tích phân sau: a) $I = \int_0^1 (x+1)e^x dx$ (Gợi ý: Dùng tính chất nếu cần hoặc mở rộng) b) $I = \int_1^4 (\sqrt{x} + \dfrac{1}{\sqrt{x}}) dx$ c) $I = \int_0^2 |x^2 - x| dx$

Câu 2. Cho biết $\int_0^3 f(x)dx = 5$ . Tính giá trị của $K = \int_0^3 [2 + 3f(x)]dx$ .

Câu 3. Một chiếc máy bay khi hạ cánh chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t) = 100 - 20t$ (m/s). a) Sau bao lâu thì máy bay dừng hẳn? b) Tính chiều dài tối thiểu của đường băng để máy bay hạ cánh an toàn.

Câu 4. Một công ty ước tính lượng dầu rò rỉ từ một đường ống sau $t$ ngày là $R'(t) = 50 + 10t$ (lít/ngày). Tính tổng lượng dầu đã rò rỉ sau 1 tuần (7 ngày).

Câu 5. Chứng minh công thức tính diện tích tam giác vuông có hai cạnh góc vuông $a$ và $b$ bằng tích phân: $\int_0^a (-b/a \cdot x + b) dx = ab/2$ .

✏️ Luyện tập trắc nghiệm →

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Không giới hạn lần làm