🛠️ Công cụ

Bài 9: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Cách tính và ý nghĩa của các số đặc trưng đo mức độ phân tán: Khoảng biến thiên và Khoảng tứ phân vị — Toán 12 Kết nối tri thức.

📖 Lý thuyết ✍️ Dạng toán & bài tập 🎯 Trắc nghiệm

I. Lý thuyết

1. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm

  • Định nghĩa: Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên.
  • Kí hiệu: R=ak−a0R = a_k - a_0, trong đó nhóm đầu tiên là [a0;a1)[a_0; a_1) và nhóm cuối cùng là [ak−1;ak][a_{k-1}; a_k].
  • Ý nghĩa: Dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu. Khoảng biến thiên càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán. Tuy nhiên, nó dễ bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường (giá trị ngoại lai).

2. Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

  • Định nghĩa: Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba Q3Q_3 và tứ phân vị thứ nhất Q1Q_1.
  • Kí hiệu: ΔQ=Q3−Q1\Delta Q = Q_3 - Q_1.
  • Cách tìm tứ phân vị:
    • Tứ phân vị thứ hai Q2Q_2 là trung vị.
    • Để tìm Q1Q_1: Tìm nhóm [ap;ap+1)[a_p; a_{p+1}) chứa tứ phân vị thứ nhất (là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy cfp≥n4cf_p \ge \frac{n}{4}). Q1=ap+n4−cfp−1np⋅(ap+1−ap)Q_1 = a_p + \frac{\frac{n}{4} - cf_{p-1}}{n_p} \cdot (a_{p+1} - a_p)
    • Để tìm Q3Q_3: Tìm nhóm [aq;aq+1)[a_q; a_{q+1}) chứa tứ phân vị thứ ba (là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy cfq≥3n4cf_q \ge \frac{3n}{4}). Q3=aq+3n4−cfq−1nq⋅(aq+1−aq)Q_3 = a_q + \frac{\frac{3n}{4} - cf_{q-1}}{n_q} \cdot (a_{q+1} - a_q)
  • Ý nghĩa: Đo mức độ phân tán của 50% số liệu ở chính giữa mẫu. Khoảng tứ phân vị không bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường.

🔷 Dạng 1: Tính khoảng biến thiên (R) của mẫu số liệu ghép nhóm

📌 Phương pháp giải

Phương pháp: Xác định đầu mút trái của nhóm đầu tiên (a0a_0) và đầu mút phải của nhóm cuối cùng (aka_k): R=ak−a0R = a_k - a_0.

🔍 Ví dụ 1 (Dễ)

Cho bảng số liệu về thời gian tự học của học sinh (giờ): [0;2):5;[2;4):10;[4;6]:8[0; 2): 5; [2; 4): 10; [4; 6]: 8. Tính khoảng biến thiên.

💡 Xem lời giải

Nhóm đầu tiên là [0;2)[0; 2), đầu mút trái a0=0a_0 = 0. Nhóm cuối cùng là [4;6][4; 6], đầu mút phải ak=6a_k = 6. Khoảng biến thiên R=6−0=6R = 6 - 0 = 6.

🔍 Ví dụ 2 (Dễ)

Bảng điểm thi thử của học sinh: [20;40):4;[40;60):12;[60;80):10;[80;100]:4[20; 40): 4; [40; 60): 12; [60; 80): 10; [80; 100]: 4. Tìm RR.

💡 Xem lời giải

R=100−20=80R = 100 - 20 = 80.

📝 Thực hành — Dạng 1

Cho mẫu số liệu ghép nhóm: $[10; 20): 2, [20; 30): 5, [30; 40]: 3$. Khoảng biến thiên là:
Số liệu về chiều cao (cm) của đội bóng: $[160; 170): 2, [170; 180): 8, [180; 190]: 5$. Tính R.

🔷 Dạng 2: Tính khoảng tứ phân vị (ΔQ\Delta Q)

📌 Phương pháp giải

Phương pháp:

  1. Tính tổng số liệu nn.
  2. Tìm nhóm chứa Q1Q_1 (nhóm thứ pp có cfp≥n/4cf_p \ge n/4) và tính Q1Q_1 theo công thức.
  3. Tìm nhóm chứa Q3Q_3 (nhóm thứ qq có cfq≥3n/4cf_q \ge 3n/4) và tính Q3Q_3 theo công thức.
  4. ΔQ=Q3−Q1\Delta Q = Q_3 - Q_1.
🔍 Ví dụ 1 (Trung bình)

Thống kê thời gian sử dụng điện thoại (phút) của 20 học sinh:

  • [0;30):4[0; 30): 4
  • [30;60):6[30; 60): 6
  • [60;90):7[60; 90): 7
  • [90;120]:3[90; 120]: 3 Tính khoảng tứ phân vị.
💡 Xem lời giải

n=20n = 20. n/4=5n/4 = 5. Tần số tích lũy: 4,10,17,204, 10, 17, 20. Nhóm chứa Q1Q_1 là [30;60)[30; 60) (vì cf2=10≥5cf_2 = 10 \ge 5). Q1=30+5−46⋅30=30+5=35Q_1 = 30 + \frac{5 - 4}{6} \cdot 30 = 30 + 5 = 35. 3n/4=153n/4 = 15. Nhóm chứa Q3Q_3 là [60;90)[60; 90) (vì cf3=17≥15cf_3 = 17 \ge 15). Q3=60+15−107⋅30=60+21.43=81.43Q_3 = 60 + \frac{15 - 10}{7} \cdot 30 = 60 + 21.43 = 81.43. ΔQ=81.43−35=46.43\Delta Q = 81.43 - 35 = 46.43.

🔍 Ví dụ 2 (Khó)

Cho bảng tần số ghép nhóm có ΔQ=10\Delta Q = 10. Nếu tất cả các giá trị số liệu trong mẫu đều tăng thêm 5 đơn vị, ΔQ\Delta Q thay đổi thế nào?

💡 Xem lời giải

Khi tất cả các số liệu tăng thêm cùng một hằng số, các tứ phân vị Q1,Q3Q_1, Q_3 cũng tăng thêm hằng số đó. Q1′=Q1+5,Q3′=Q3+5Q_1' = Q_1 + 5, Q_3' = Q_3 + 5. ΔQ′=(Q3+5)−(Q1+5)=Q3−Q1=ΔQ\Delta Q' = (Q_3 + 5) - (Q_1 + 5) = Q_3 - Q_1 = \Delta Q. Vậy khoảng tứ phân vị không đổi.

📝 Thực hành — Dạng 2

Đúng / SaiCho mẫu số liệu ghép nhóm có $n=40$. Xét tính đúng sai của các bước tìm $\Delta Q$:
a)Vị trí của $Q_1$ là $n/4 = 10$
b)Vị trí của $Q_3$ là $3n/4 = 30$
c)Khoảng tứ phân vị $Delta Q$ luôn nhỏ hơn khoảng biến thiên $R$
d)Nếu nhân tất cả số liệu với 2 thì $Delta Q$ không đổi

🔷 Dạng 3: So sánh mức độ phân tán của hai mẫu số liệu

📌 Phương pháp giải

Phương pháp: Tính RR hoặc ΔQ\Delta Q cho cả hai mẫu. Mẫu nào có giá trị lớn hơn thì mẫu đó có mức độ phân tán (độ lệch) cao hơn, mức độ ổn định thấp hơn.

🔍 Ví dụ 1 (Trung bình) — So sánh hai lớp học

Điểm thi của lớp A có ΔQ=1.5\Delta Q = 1.5, lớp B có ΔQ=2.2\Delta Q = 2.2. Lớp nào có điểm số đồng đều hơn?

💡 Xem lời giải

Vì ΔQA<ΔQB\Delta Q_A < \Delta Q_B nên lớp A có mức độ phân tán thấp hơn. Vậy lớp A có điểm số đồng đều hơn.

📝 Bài tập tự luận — Tổng hợp

Câu 1. Một cuộc khảo sát về số tiền chi tiêu hàng tuần của sinh viên:

  • [0;200):10[0; 200): 10 người
  • [200;400):25[200; 400): 25 người
  • [400;600):12[400; 600): 12 người
  • [600;800]:3[600; 800]: 3 người Tính khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên.

Câu 2. Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ pin điện thoại. Biết Q1=12Q_1 = 12 giờ và Q3=18Q_3 = 18 giờ. Giải thích ý nghĩa của con số ΔQ=6\Delta Q = 6 giờ trong trường hợp này.

Câu 3. Hai vận động viên bắn súng A và B có kết quả sau nhiều lần bắn. Vận động viên A có khoảng tứ phân vị điểm số là 0.8, vận động viên B là 1.2. Ai là người bắn ổn định hơn? Tại sao?

Câu 4. Chứng minh rằng đối với bất kì mẫu số liệu ghép nhóm nào, ta luôn có ΔQ≤R\Delta Q \le R.

Câu 5. (Thực tế) Một nhà máy kiểm tra trọng lượng các bao xi măng đóng gói tự động. Nếu khoảng tứ phân vị vượt quá 0.5 kg thì máy cần được bảo trì. Dưới đây là dữ liệu: [49.0;49.5):5,[49.5;50.0):40,[50.0;50.5]:5[49.0; 49.5): 5, [49.5; 50.0): 40, [50.0; 50.5]: 5. Máy có cần bảo trì không?

✏️ Luyện tập trắc nghiệm →
🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →
Miễn phí · Không giới hạn lần làm
📑 Mục lục