🛠️ Công cụ

Bài 10: Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Công thức tính và ý nghĩa của các đại lượng đo mức độ phân tán quanh giá trị trung bình: Phương sai và Độ lệch chuẩn — Toán 12 Kết nối tri thức.

📖 Lý thuyết ✍️ Dạng toán & bài tập 🎯 Trắc nghiệm

I. Lý thuyết

1. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm

Trước khi tính phương sai, ta cần tính số trung bình xˉ\bar{x}: xˉ=n1x1+n2x2+⋯+nkxkn\bar{x} = \frac{n_1x_1 + n_2x_2 + \dots + n_kx_k}{n} Trong đó xix_i là giá trị đại diện của nhóm thứ ii (trung điểm của đầu mút phải và đầu mút trái của nhóm), nin_i là tần số của nhóm đó.

2. Phương sai (s2s^2)

  • Định nghĩa: Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm biểu thị độ lệch bình phương trung bình của các số liệu so với số trung bình.
  • Công thức: s2=1n[n1(x1−xˉ)2+n2(x2−xˉ)2+⋯+nk(xk−xˉ)2]s^2 = \frac{1}{n} [n_1(x_1 - \bar{x})^2 + n_2(x_2 - \bar{x})^2 + \dots + n_k(x_k - \bar{x})^2] Hoặc công thức tính nhanh: s2=1n(∑i=1knixi2)−xˉ2s^2 = \frac{1}{n} \left( \sum_{i=1}^k n_ix_i^2 \right) - \bar{x}^2

3. Độ lệch chuẩn (ss)

  • Định nghĩa: Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai.
  • Công thức: s=s2s = \sqrt{s^2}.
  • Ý nghĩa: Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với đơn vị của mẫu số liệu. Nó dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu quanh số trung bình.
    • ss càng lớn: Số liệu càng phân tán (độ lệch cao).
    • ss càng nhỏ: Số liệu càng tập trung gần số trung bình (độ ổn định cao).

🔷 Dạng 1: Tính phương sai và độ lệch chuẩn từ bảng số liệu

📌 Phương pháp giải

Các bước thực hiện:

  1. Tìm giá trị đại diện xix_i cho mỗi nhóm.
  2. Tính số trung bình xˉ\bar{x}.
  3. Áp dụng công thức tính s2s^2.
  4. Tính s=s2s = \sqrt{s^2}.
🔍 Ví dụ 1 (Dễ)

Cho mẫu số liệu ghép nhóm: [0;10):2,[10;20):3[0; 10): 2, [10; 20): 3. Tính số trung bình và phương sai.

💡 Xem lời giải
  • Giá trị đại diện: x1=5,x2=15x_1 = 5, x_2 = 15.
  • Tổng số liệu n=5n = 5.
  • Trung bình: xˉ=2⋅5+3⋅155=555=11\bar{x} = \frac{2 \cdot 5 + 3 \cdot 15}{5} = \frac{55}{5} = 11.
  • Phương sai: s2=15[2(5−11)2+3(15−11)2]=15[2⋅36+3⋅16]=1205=24s^2 = \frac{1}{5}[2(5-11)^2 + 3(15-11)^2] = \frac{1}{5}[2 \cdot 36 + 3 \cdot 16] = \frac{120}{5} = 24.
  • Độ lệch chuẩn: s=24≈4.9s = \sqrt{24} \approx 4.9.
🔍 Ví dụ 2 (Trung bình)

Thống kê thời gian chờ xe bus của một nhóm khách (phút): [0;4):5,[4;8):12,[8;12]:3[0; 4): 5, [4; 8): 12, [8; 12]: 3. Tính độ lệch chuẩn.

💡 Xem lời giải
  • Giá trị đại diện: 2,6,102, 6, 10. n=20n = 20.
  • xˉ=5⋅2+12⋅6+3⋅1020=11220=5.6\bar{x} = \frac{5 \cdot 2 + 12 \cdot 6 + 3 \cdot 10}{20} = \frac{112}{20} = 5.6.
  • s2=120[5(2−5.6)2+12(6−5.6)2+3(10−5.6)2]≈6.24s^2 = \frac{1}{20}[5(2-5.6)^2 + 12(6-5.6)^2 + 3(10-5.6)^2] \approx 6.24.
  • s=6.24≈2.5s = \sqrt{6.24} \approx 2.5 phút.

📝 Thực hành — Dạng 1

Cho mẫu số liệu ghép nhóm có $s^2 = 16$. Độ lệch chuẩn là:
Nếu đơn vị đo chiều cao là cm, đơn vị của phương sai là gì?
Mẫu số liệu có trung bình là 10. Các giá trị đại diện là 8 và 12 với tần số lần lượt là 1 và 1. Tính phương sai.

🔷 Dạng 2: So sánh độ lệch và ý nghĩa thực tế

📌 Phương pháp giải

Phương pháp:

  • Độ lệch chuẩn ss càng nhỏ thì dữ liệu càng ổn định, ít rủi ro, chất lượng càng đồng đều.
  • Trong kinh tế, ss thường đo mức độ rủi ro.
🔍 Ví dụ 1 (Trung bình) — So sánh hai vận động viên

Hai vận động viên bắn súng cùng có điểm trung bình là 9.2. Độ lệch chuẩn của vận động viên X là 0.4, của vận động viên Y là 0.7. Ai có khả năng đạt điểm ổn định hơn?

💡 Xem lời giải

Vì sX<sYs_X < s_Y (0.4<0.70.4 < 0.7) nên các điểm số của vận động viên X tập trung gần điểm trung bình hơn. Vậy vận động viên X có khả năng bắn ổn định hơn.

🔍 Ví dụ 2 (Khó) — Rủi ro đầu tư

Cổ phiếu A có mức lợi nhuận trung bình 10% với độ lệch chuẩn 2%. Cổ phiếu B có mức lợi nhuận trung bình 10% với độ lệch chuẩn 5%. Nhà đầu tư muốn an toàn nên chọn cổ phiếu nào?

💡 Xem lời giải

An toàn nghĩa là độ biến động (phân tán) thấp. Độ lệch chuẩn của cổ phiếu A (2%2\%) nhỏ hơn cổ phiếu B (5%5\%). Vậy nhà đầu tư nên chọn cổ phiếu A.

📝 Thực hành — Dạng 2

Đúng / SaiCho hai mẫu số liệu về thời gian hoàn thành một công việc của hai nhóm nhân viên. Nhóm 1 có $s_1 = 3.2$, nhóm 2 có $s_2 = 1.8$. Xét tính đúng sai:
a)Nhóm 2 làm việc ổn định hơn nhóm 1
b)Thời gian hoàn thành của nhóm 1 phân tán rộng hơn nhóm 2
c)Nhóm 1 chắc chắn có tốc độ làm việc nhanh hơn nhóm 2
d)Để đánh giá độ ổn định, ta nhìn vào độ lệch chuẩn chứ không chỉ nhìn vào số trung bình
📝 Bài tập tự luận — Tổng hợp

Câu 1. Một máy đóng gói hạt tiêu tự động được kiểm soát chất lượng. Trọng lượng các hộp tiêu (gam) được ghi lại:

  • [48;49):4[48; 49): 4 hộp
  • [49;50):10[49; 50): 10 hộp
  • [50;51):30[50; 51): 30 hộp
  • [51;52]:6[51; 52]: 6 hộp Tính giá trị trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.

Câu 2. Hai dây chuyền sản xuất bánh kẹo A và B. Dây chuyền A đóng gói khối lượng bánh có độ lệch chuẩn là 0.5g. Dây chuyền B có phương sai khối lượng là 0.49g². Dây chuyền nào có độ đồng đều cao hơn?

Câu 3. Chứng minh công thức tính nhanh phương sai: s2=1n(∑nixi2)−xˉ2s^2 = \frac{1}{n} \left( \sum n_ix_i^2 \right) - \bar{x}^2 từ định nghĩa cơ bản.

Câu 4. Tại sao trong thực tế, người ta thường quan tâm đến độ lệch chuẩn ss nhiều hơn là phương sai s2s^2 khi kết luận về đơn vị đo?

Câu 5. (Vận dụng) Tuổi thọ của bóng đèn loại X có số trung bình là 1000 giờ, độ lệch chuẩn 50 giờ. Tuổi thọ bóng đèn loại Y có số trung bình là 1200 giờ, độ lệch chuẩn 100 giờ. a) Loại bóng đèn nào bền hơn (theo trung bình)? b) Loại bóng đèn nào có chất lượng đồng đều hơn?

✏️ Luyện tập trắc nghiệm →
🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →
Miễn phí · Không giới hạn lần làm
📑 Mục lục