🛠️ Công cụ

Ôn tập Chương 3 - Toán 12

Ôn tập Chương III: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm - Toán 12 Kết nối tri thức.

📖 Lý thuyết ✍️ Dạng toán & bài tập 🎯 Trắc nghiệm

Ôn tập Chương III: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

⚡ 1. Khoảng biến thiên và Khoảng tứ phân vị
  • Khoảng biến thiên (RR): Là hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên.
    • R=ak−a1R = a_k - a_1 (với nhóm đầu là [a1;a2)[a_1; a_2) and nhóm cuối là [ak−1;ak][a_{k-1}; a_k]).
  • Khoảng tứ phân vị (ΔQ\Delta_Q): ΔQ=Q3−Q1\Delta_Q = Q_3 - Q_1.
    • Q1,Q3Q_1, Q_3 được tính theo công thức nội suy dành cho mẫu số liệu ghép nhóm.
    • Ý nghĩa: Đo mức độ phân tán của 50% số liệu ở chính giữa mẫu.
⚡ 2. Phương sai và Độ lệch chuẩn
  • Số trung bình (xˉ\bar{x}): xˉ=1n∑i=1knixi\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^k n_i x_i (xix_i là giá trị đại diện).
  • Phương sai (s2s^2): s2=1n∑i=1kni(xi−xˉ)2=1n(∑i=1knixi2)−xˉ2s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^k n_i (x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{n} \left( \sum_{i=1}^k n_i x_i^2 \right) - \bar{x}^2.
  • Độ lệch chuẩn (ss): s=s2s = \sqrt{s^2}.
  • Ý nghĩa: Phương sai và độ lệch chuẩn dùng để đo mức độ phân tán của các số liệu so với số trung bình. Số liệu nào có độ lệch chuẩn nhỏ hơn thì mẫu đó có mức độ phân tán thấp hơn (ổn định hơn).

II. Dạng toán tổng hợp

📌 Phương pháp giải

Quy trình xử lý dữ liệu đo độ phân tán:

  1. Lập bảng tần số tích lũy để tìm các nhóm chứa tứ phân vị.
  2. Tính giá trị đại diện cho mỗi nhóm để tính số trung bình, phương sai.
  3. Khi so sánh hai mẫu mẫu số liệu:
    • Nếu số trung bình bằng nhau hoặc gần bằng nhau, mẫu nào có ss (hoặc s2s^2) lớn hơn thì phân tán nhiều hơn.
🔍 Ví dụ 1: Tính khoảng biến thiên

Thống kê cân nặng học sinh lớp 12A: [40;45):5[40; 45): 5 em; [45;50):10[45; 50): 10 em; [50;55):15[50; 55): 15 em; [55;60]:5[55; 60]: 5 em. Tìm khoảng biến thiên RR.

💡 Xem lời giải
  • Đầu mút thấp nhất là 40, đầu mút cao nhất là 60.
  • R=60−40=20R = 60 - 40 = 20 kg.
🔍 Ví dụ 2: Tính khoảng tứ phân vị

Dựa trên bảng số liệu ở Ví dụ 1, hãy tìm ΔQ\Delta_Q.

💡 Xem lời giải
  • Tổng số học sinh n=35n = 35.
  • Tìm Q1Q_1 (vị trí n/4=8,75n/4 = 8{,}75): Nằm ở nhóm [45;50)[45; 50). Q1=45+8,75−510⋅5=45+1,875=46,875Q_1 = 45 + \frac{8{,}75 - 5}{10} \cdot 5 = 45 + 1{,}875 = 46{,}875.
  • Tìm Q3Q_3 (vị trí 3n/4=26,253n/4 = 26{,}25): Nằm ở nhóm [50;55)[50; 55). Q3=50+26,25−1515⋅5=50+3,75=53,75Q_3 = 50 + \frac{26{,}25 - 15}{15} \cdot 5 = 50 + 3{,}75 = 53{,}75.
  • ΔQ=Q3−Q1=53,75−46,875=6,875\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 53{,}75 - 46{,}875 = 6{,}875.
🔍 Ví dụ 3: Tính phương sai và độ lệch chuẩn

Cho bảng mẫu ghép nhóm thời gian đi từ nhà đến trường: [10;15):4[10; 15): 4 em; [15;20):6[15; 20): 6 em. Tính s2s^2 and ss.

💡 Xem lời giải
  • Giá trị đại diện (xix_i): 12,512{,}5 and 17,517{,}5.
  • Số trung bình: xˉ=4⋅12,5+6⋅17,510=15510=15,5\bar{x} = \frac{4 \cdot 12{,}5 + 6 \cdot 17{,}5}{10} = \frac{155}{10} = 15{,}5.
  • Phương sai: s2=4(12,5−15,5)2+6(17,5−15,5)210=4⋅9+6⋅410=6010=6s^2 = \frac{4(12{,}5 - 15{,}5)^2 + 6(17{,}5 - 15{,}5)^2}{10} = \frac{4 \cdot 9 + 6 \cdot 4}{10} = \frac{60}{10} = 6.
  • Độ lệch chuẩn: s=6≈2,45s = \sqrt{6} \approx 2{,}45.
🔍 Ví dụ 4: So sánh độ phân tán

Hai máy sản xuất linh kiện. Máy A có chiều dài TB 10mm, độ lệch chuẩn sA=0,1s_A = 0{,}1. Máy B có chiều TB 10mm, độ lệch chuẩn sB=0,2s_B = 0{,}2. Máy nào sản xuất chuẩn xác hơn?

💡 Xem lời giải
  • Vì sA<sBs_A < s_B, các linh kiện do máy A sản xuất tập trung gần giá trị trung bình hơn.
  • Vậy máy A sản xuất chuẩn xác hơn.
🔍 Ví dụ 5: Bài toán thực tế — Điểm thi

Khảo sát điểm thi môn Toán của 2 lớp. Lớp 1: Khoảng tứ phân vị ΔQ1=2\Delta_{Q_1} = 2. Lớp 2: Khoảng tứ phân vị ΔQ2=4\Delta_{Q_2} = 4. Lớp nào có 50% số học sinh ở giữa có điểm số đồng đều hơn?

💡 Xem lời giải
  • Khoảng tứ phân vị nhỏ hơn chứng tỏ 50% số liệu ở trung tâm ít bị phân tán hơn.
  • Vậy lớp 1 có điểm số 50% giữa đồng đều hơn.

III. Trắc nghiệm ôn tập

Câu 1:Công thức tính khoảng biến thiên R của mẫu ghép nhóm $[a_1; a_2), \dots, [a_{k-1}; a_k]$ là:
Câu 2:Khoảng tứ phân vị dùng để đo độ phân tán của bao nhiêu phần trăm số liệu ở giữa?
Câu 3:Khi độ lệch chuẩn s càng lớn thì:
Câu 4:Giá trị đại diện của nhóm $[10; 20)$ được sử dụng để tính phương sai là:
Câu 5:Đơn vị của phương sai so với đơn vị của biến số gốc là:
Câu 6:Nhóm nào sau đây có độ phân tán thấp nhất (giả sử n bằng nhau và trung bình bằng nhau)?
Đúng / Sai
Câu 7Cho hai mẫu số liệu ghép nhóm. Đúng hay sai?
a)Khoảng biến thiên chịu ảnh hưởng mạnh bởi các giá trị ngoại lệ.
b)Khoảng tứ phân vị không bị ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lệ.
c)Phương sai luôn là một số không âm.
d)Nếu nhân mọi số liệu với 2 thị độ lệch chuẩn tăng 4 lần.
Đúng / Sai
Câu 8Trong một bài kiểm tra, lớp A có $\bar{x} = 7, s = 1$; lớp B có $\bar{x} = 7, s = 2$. Đúng hay sai?
a)Điểm trung bình hai lớp bằng nhau.
b)Lớp B có kết quả học tập đồng đều hơn.
c)Lớp A có độ phân tán điểm số thấp hơn.
d)Khoảng cách giữa các học sinh giỏi và kém ở lớp B có xu hướng lớn hơn lớp A.
Câu 9:Cho phương sai $s^2 = 12,25$. Tính độ lệch chuẩn s.
Câu 10:Tính khoảng biến thiên R của mẫu có các nhóm: $[0; 5), [5; 10), [10; 15), [15; 20]$.

IV. Bài tập tự luận tổng hợp

📝 Danh sách bài tập tự luận

Câu 1. Cho bảng số liệu ghép nhóm về thời gian sạc pin (phút): [30;40):4,[40;50):12,[50;60):20,[60;70):10,[70;80):4[30; 40): 4, [40; 50): 12, [50; 60): 20, [60; 70): 10, [70; 80): 4. a) Tính khoảng biến thiên. b) Tính khoảng tứ phân vị. c) Tại sao khoảng tứ phân vị lại phản ánh độ ổn định tốt hơn khoảng biến thiên trong TH này?

💡 Đáp án

a) R=80−30=50R = 80-30=50. b) Tìm Q1,Q3Q_1, Q_3 rồi trừ nhau. c) Vì nó loại bỏ 25% giá trị cực thấp và 25% giá trị cực cao.

Câu 2. Khảo sát tuổi thọ của bóng đèn loại A and B (giờ): Loại A: xˉ=1500,s2=400\bar{x} = 1500, s^2 = 400. Loại B: xˉ=1500,s=25\bar{x} = 1500, s = 25. a) Tính độ lệch chuẩn của loại A. b) Loại bóng đèn nào có chất lượng ổn định hơn?

💡 Đáp án

a) sA=400=20s_A = \sqrt{400} = 20. b) Loại A ổn định hơn vì sA<sBs_A < s_B.

Câu 3. Cho mẫu số liệu ghép nhóm thu nhập nhân viên (triệu đồng): [5;10):10,[10;15):30,[15;20):40,[20;25):20[5; 10): 10, [10; 15): 30, [15; 20): 40, [20; 25): 20. a) Tính thu nhập trung bình. b) Tính phương sai. c) Tính độ lệch chuẩn.

💡 Đáp án

a) xi=7,5;12,5;17,5;22,5⇒xˉ=16,5x_i = 7,5; 12,5; 17,5; 22,5 \Rightarrow \bar{x} = 16,5. b) s2≈21,5s^2 \approx 21,5. c) s≈4,64s \approx 4,64.

Câu 4. (Thực tế - Công nghiệp) Một máy đóng gói đường tự động được cài đặt trọng lượng 1000g. Người ta cân 100 gói và ghép nhóm. [990;995):5,[995;1000):40,[1000;1005):45,[1005;1010):10[990; 995): 5, [995; 1000): 40, [1000; 1005): 45, [1005; 1010): 10. a) Tính độ lệch chuẩn của mẫu. b) Nếu tiêu chuẩn cho phép độ lệch không quá 2g, máy có đạt yêu cầu?

💡 Đáp án

a) Tính s theo công thức. b) So sánh s với 2.

Câu 5. Chứng minh rằng đối với mẫu ghép nhóm: a) Nếu cộng mọi giá trị đại diện thêm cùng một hằng số cc, phương sai không đổi. b) Nếu nhân mọi giá trị đại diện với kk, phương sai mới bằng k2k^2 lần phương sai cũ.

💡 Đáp án

Sử dụng công thức định nghĩa phương sai để biến đổi đại số.

Câu 6. Một thư viện theo dõi số lượng trang sách học sinh đọc mỗi ngày: [0;20):10,[20;40):25,[40;60):40,[60;80):20,[80;100):5[0; 20): 10, [20; 40): 25, [40; 60): 40, [60; 80): 20, [80; 100): 5. a) Xác định nhóm chứa trung vị. b) Tính khoảng tứ phân vị. c) Giải thích ý nghĩa con số ΔQ\Delta_Q tìm được.

💡 Đáp án

a) Nhóm [40;60)[40; 60). b) Tính Q1,Q3Q_1, Q_3. c) Cho biết sự chênh lệch số trang của nhóm 50% học sinh trung tâm.

Câu 7. (Thống kê so sánh) Đo chiều cao hai giống cây trồng sau 1 năm: Giống 1: R=50,ΔQ=10R = 50, \Delta_Q = 10. Giống 2: R=40,ΔQ=15R = 40, \Delta_Q = 15. Giống nào có sự phát triển đồng đều hơn ở phần lớn các cây?

💡 Đáp án

Giống 1 đồng đều hơn ở 50% trung tâm (do ΔQ\Delta_Q nhỏ hơn).

Câu 8. Tìm m để mẫu số liệu ghép nhóm sau có phương sai bằng một giá trị cho trước (Dành cho học sinh giỏi).

💡 Đáp án

Thiết lập phương trình bậc hai với tham số m ẩn trong tần số hoặc giá trị đại diện.

Câu 9. (Thực tế - Thể thao) Một vận động viên tập ném bóng. Khoảng cách (mét): [10;12):5,[12;14):15,[14;16):20,[16;18):10[10; 12): 5, [12; 14): 15, [14; 16): 20, [16; 18): 10. Tính độ lệch chuẩn để đánh giá sự ổn định của lực ném.

💡 Đáp án

Thực hiện các bước tính xˉ→s2→s\bar{x} \rightarrow s^2 \rightarrow s.

Câu 10. (Tổng hợp) Tại sao trong các báo cáo kinh tế, người ta thường dùng độ lệch chuẩn kèm theo số trung bình thay vì chỉ dùng số trung bình? Cho ví dụ minh họa về thu nhập của một khu dân cư.

💡 Đáp án

Vì số trung bình không cho thấy sự phân hóa giàu nghèo. Độ lệch chuẩn lớn cho thấy sự chênh lệch thu nhập cao.

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →
Miễn phí · Không giới hạn lần làm
📑 Mục lục