Bài 6: Cấp số cộng

I. Khái niệm Cấp số cộng

⚡ Định nghĩa

Cấp số cộng (CSC) là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi $d$ . $u_{n+1} = u_n + d \quad (n \geq 1)$ Số không đổi $d$ được gọi là công sai của cấp số cộng.

Cách tìm công sai: Lấy số hạng sau trừ số hạng liền trước: $d = u_{n+1} - u_n$ .

Nếu $d > 0$ : Cấp số cộng là dãy số tăng.
Nếu $d < 0$ : Cấp số cộng là dãy số giảm.
Nếu $d = 0$ : Cấp số cộng là dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

II. Số hạng tổng quát của cấp số cộng

Để không phải cộng dồn từng bước một, ta có công thức tính trực tiếp số hạng thứ $n$ khi biết số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ .

⚡ Công thức số hạng tổng quát

Nếu cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ thì số hạng tổng quát $u_n$ được xác định bởi công thức: $u_n = u_1 + (n - 1)d \quad (n \geq 2)$

Ví dụ: $u_{10} = u_1 + 9d$ ; $u_{100} = u_1 + 99d$ .

III. Tính chất các số hạng của cấp số cộng

📋 Tính chất trung bình cộng

Trong một cấp số cộng, bình quân cộng của hai số hạng đứng kề hai bên sẽ bằng số hạng đứng ở giữa chúng. Giả sử $u_{k-1}, u_k, u_{k+1}$ là 3 số hạng liên tiếp ( $k \geq 2$ ), ta luôn có: $u_k = \dfrac{u_{k-1} + u_{k+1}}{2}$ (Tính chất này dùng để chứng minh ba số lập thành một cấp số cộng).

IV. Tổng $n$ số hạng đầu tiên

Kí hiệu $S_n$ là tổng của $n$ số hạng đầu tiên: $S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n$ .

⚡ Công thức tính tổng Sn

Có 2 công thức tùy vào dữ kiện bài toán: Công thức 1 (Khi biết đầu và cuối): $S_n = \dfrac{n(u_1 + u_n)}{2}$

Công thức 2 (Khi biết đầu và công sai): Thay $u_n = u_1 + (n-1)d$ vào công thức trên, ta được: $S_n = \dfrac{n[2u_1 + (n - 1)d]}{2} \quad \text{hay} \quad S_n = n \cdot u_1 + \dfrac{n(n-1)}{2}d$

🔷 Dạng 1: Xác định các yếu tố của cấp số cộng ( $u_1$ , $d$ )

📌 Phương pháp giải

Mẹo giải bách phát bách trúng: Đưa mọi số hạng về $u_1$ và $d$ .

Ráp công thức $u_n = u_1 + (n-1)d$ vào hệ phương trình mà bài toán cho.
Giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn ( $u_1$ và $d$ ) bằng phương pháp thế hoặc máy tính cầm tay.

🔍 Ví dụ 1

Cho cấp số cộng $(u_n)$ thỏa mãn hệ phương trình: $\begin{cases} u_2 + u_5 - u_3 = 10 \\ u_1 + u_6 = 17 \end{cases}$

Tìm số hạng đầu $u_1$ , công sai $d$ và tính tổng của 20 số hạng đầu tiên ( $S_{20}$ ).

💡 Xem lời giải

Bước 1: Biểu diễn tất cả qua $u_1$ và $d$ .

$u_2 = u_1 + d$
$u_3 = u_1 + 2d$
$u_5 = u_1 + 4d$
$u_6 = u_1 + 5d$

Bước 2: Thay vào hệ phương trình. $\begin{cases} (u_1 + d) + (u_1 + 4d) - (u_1 + 2d) = 10 \\ u_1 + (u_1 + 5d) = 17 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} u_1 + 3d = 10 \\ 2u_1 + 5d = 17 \end{cases}$

Bước 3: Bấm máy giải hệ (hoặc nhân phương trình đầu với 2 rồi trừ): $\Rightarrow \begin{cases} u_1 = 1 \\ d = 3 \end{cases}$

Bước 4: Tính tổng $S_{20}$ . Áp dụng công thức $S_n = \dfrac{n[2u_1 + (n-1)d]}{2}$ với $n=20$ : $S_{20} = \dfrac{20[2(1) + 19(3)]}{2} = 10 \cdot (2 + 57) = 10 \cdot 59 = \mathbf{590}$ .

🔷 Dạng 2: Bài toán thực tế ứng dụng cấp số cộng

📌 Phương pháp giải

Các bài toán sắp xếp đồ vật theo tầng, tính lương tăng dần đều, xếp ghế trong rạp hát… thường là ứng dụng của cấp số cộng.

Dịch các dữ kiện thực tế sang ngôn ngữ toán học: xác định $u_1$ là gì? Số lượng tăng/giảm mỗi đợt chính là công sai $d$ . Câu hỏi yêu cầu tìm $u_n$ hay tính tổng $S_n$ ?

🔍 Ví dụ 2

Một nhà hát có 25 hàng ghế. Hàng thứ nhất có 20 ghế, hàng thứ hai có 22 ghế, hàng thứ ba có 24 ghế… và cứ tiếp tục như vậy (hàng sau nhiều hơn hàng trước 2 ghế). Hỏi nhà hát đó có tổng cộng bao nhiêu ghế?

💡 Xem lời giải

Số lượng ghế ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng $(u_n)$ .

Hàng thứ nhất: $u_1 = 20$ .
Số ghế tăng dần đều mỗi hàng: $d = 2$ .
Dãy có tổng cộng $n = 25$ hàng.

Yêu cầu bài toán là tính tổng số ghế, tức là tính $S_{25}$ . Áp dụng công thức $S_n = \dfrac{n[2u_1 + (n-1)d]}{2}$ : $S_{25} = \dfrac{25[2(20) + (25-1) \cdot 2]}{2} = \dfrac{25 \cdot [40 + 48]}{2} = \dfrac{25 \cdot 88}{2} = 25 \cdot 44 = \mathbf{1100}$ (ghế).

📝 Bài tập tự luyện

Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = 3$ và công sai $d = 2$. Số hạng thứ 5 của cấp số cộng là:

Công sai $d$ của cấp số cộng $(u_n)$ thỏa mãn $u_1 = 10, u_2 = 7$ là:

Công thức nào sau đây dùng để tính tổng $n$ số hạng đầu của cấp số cộng?

Một tam giác vuông có số đo ba cạnh lập thành một cấp số cộng với công sai $d = 3$. Tính diện tích của tam giác vuông đó.

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Không giới hạn lần làm