🛠️ Công cụ

Bài 4: Phép quay và đối xứng tâm

Định nghĩa, biểu thức tọa độ và tính chất của phép quay và phép đối xứng tâm — Chuyên đề Toán 11 Kết nối tri thức.

📖 Lý thuyết ✍️ Dạng toán & bài tập 🎯 Trắc nghiệm

Bài 4: Phép quay và phép đối xứng tâm

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

📋 1. Phép đối xứng tâm

Cho điểm II. Phép biến hình biến điểm II thành chính nó, biến mỗi điểm MM khác II thành điểm M′M' sao cho II là trung điểm của đoạn thẳng MM′MM' gọi là phép đối xứng tâm II.

  • Kí hiệu: DID_I.
  • DI(M)=M′⇔ID_I(M) = M' \Leftrightarrow I là trung điểm MM′MM'.
  • Biểu thức tọa độ: Nếu I(a;b)I(a; b) thì {x′=2a−xy′=2b−y\begin{cases} x' = 2a - x \\ y' = 2b - y \end{cases}
📋 2. Phép quay

Cho điểm OO và góc lượng giác α\alpha. Phép biến hình biến điểm OO thành chính nó, biến mỗi điểm M≠OM \neq O thành điểm M′M' sao cho OM′=OMOM' = OM và góc lượng giác (OM,OM′)=α(OM, OM') = \alpha gọi là phép quay tâm OO góc α\alpha.

  • Kí hiệu: Q(O,α)Q_{(O, \alpha)}.
  • Các trường hợp đặc biệt (tâm OO thóc):
    • Q(O,90∘):(x;y)→(−y;x)Q_{(O, 90^\circ)}: (x; y) \to (-y; x)
    • Q(O,−90∘):(x;y)→(y;−x)Q_{(O, -90^\circ)}: (x; y) \to (y; -x)
    • Q(O,180∘):(x;y)→(−x;−y)Q_{(O, 180^\circ)}: (x; y) \to (-x; -y) (đối xứng tâm OO).
⚡ 3. Tính chất
  • Phép đối xứng tâm và phép quay đều là các phép dời hình.
  • Đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
  • Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng hợp với nó một góc ∣α∣|\alpha| (với 0≤∣α∣≤90∘0 \leq |\alpha| \leq 90^\circ).
  • Biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.

II. Các dạng toán và ví dụ minh họa

📌 Kỹ năng tìm ảnh qua phép quay và đối xứng tâm
  1. Đối xứng tâm: Sử dụng công thức trung điểm.
  2. Phép quay 90∘90^\circ: Đổi chỗ hoành - tung và đổi dấu một thành phần theo quy tắc.
  3. Bài toán tổng hợp: Tìm tâm đối xứng của một hình (hình bình hành, hình chữ nhật) hoặc tâm quay (hình vuông, tam giác đều).
🔍 Ví dụ 1: Đối xứng qua tâm bất kì

Trong mặt phẳng OxyOxy, cho điểm A(4;−3)A(4; -3) và tâm I(1;2)I(1; 2). Tìm tọa độ A′=DI(A)A' = D_I(A).

💡 Xem lời giải

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm I(1;2)I(1; 2): {x′=2xI−xA=2(1)−4=−2y′=2yI−yA=2(2)−(−3)=7\begin{cases} x' = 2x_I - x_A = 2(1) - 4 = -2 \\ y' = 2y_I - y_A = 2(2) - (-3) = 7 \end{cases} Vậy A′(−2;7)A'(-2; 7).

🔍 Ví dụ 2: Phép quay tâm O

Cho đường thẳng d:x+2y−4=0d: x + 2y - 4 = 0. Tìm ảnh của dd qua phép quay tâm OO góc 90∘90^\circ.

💡 Xem lời giải
  • Phép quay Q(O,90∘)Q_{(O, 90^\circ)} biến điểm M(x;y)M(x; y) thành M′(x′;y′)M'(x'; y') thỏa mãn: {x′=−y⇒y=−x′y′=x⇒x=y′\begin{cases} x' = -y \Rightarrow y = -x' \\ y' = x \Rightarrow x = y' \end{cases}
  • Thay vào phương trình dd: (y′)+2(−x′)−4=0⇔−2x′+y′−4=0⇔2x′−y′+4=0(y') + 2(-x') - 4 = 0 \Leftrightarrow -2x' + y' - 4 = 0 \Leftrightarrow 2x' - y' + 4 = 0. Vậy phương trình đường thẳng ảnh là d′:2x−y+4=0d': 2x - y + 4 = 0.
🔍 Ví dụ 3: Tâm đối xứng của hình

Xác định tâm đối xứng của các hình sau: a) Đoạn thẳng. b) Tam giác đều. c) Hình thoi.

💡 Xem lời giải
  • a) Đoạn thẳng có tâm đối xứng là trung điểm của nó.
  • b) Tam giác đều không có tâm đối xứng (chỉ có trục đối xứng).
  • c) Hình thoi có tâm đối xứng là giao điểm hai đường chéo.

III. Trắc nghiệm ôn tập

Câu 1:Ảnh của điểm $M(2; -3)$ qua phép đối xứng tâm $O(0; 0)$ là:
Câu 2:Trong mặt phẳng Oxy, ảnh của điểm $A(1; 0)$ qua phép quay $Q_{(O, 90^\circ)}$ là:
Đúng / Sai
Câu 3Xét các khẳng định sau về phép quay và đối xứng tâm:
a)Phép đối xứng tâm là phép quay góc $180^circ$.
b)Phép quay luôn biến đường thẳng thành đường thẳng song song.
c)Hình chữ nhật có tâm đối xứng là giao điểm hai đường chéo.
d)Góc quay $alpha$ có thể là số âm.
Câu 4:Cho phép đối xứng tâm $I$ biến $A(1; 1)$ thành $B(3; 5)$. Tìm tung độ của tâm $I$.

IV. Bài tập tự luận

📝 Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho hình bình hành ABCDABCD. Chứng minh rằng giao điểm OO của hai đường chéo là tâm đối xứng của hình bình hành đó.

💡 Lời giải
  • Với mỗi điểm MM trên cạnh ABAB, lấy M′M' đối xứng với MM qua OO.
  • Vì OO là trung điểm AC,BDAC, BD nên M′M' sẽ nằm trên cạnh CDCD.
  • Tương tự cho các cạnh khác. Vậy DO(ABCD)=ABCDD_O(ABCD) = ABCD.

Câu 2. Trong mặt phẳng OxyOxy, cho đường tròn (C):(x−1)2+(y+2)2=4(C): (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4. Tìm ảnh của (C)(C) qua phép quay tâm OO góc −90∘-90^\circ.

💡 Lời giải
  • Tâm I(1;−2)I(1; -2), R=2R = 2.
  • Phép quay Q(O,−90∘)Q_{(O, -90^\circ)} biến I(x;y)→I′(y;−x)⇒I′(−2;−1)I(x; y) \to I'(y; -x) \Rightarrow I'(-2; -1).
  • Bán kính R′=R=2R' = R = 2.
  • Phương trình (C′):(x+2)2+(y+1)2=4(C'): (x+2)^2 + (y+1)^2 = 4.

Câu 3. Tìm các điểm bất động của phép quay tâm OO góc α≠k2π\alpha \neq k2\pi.

💡 Lời giải

Theo định nghĩa, phép quay chỉ biến tâm OO thành chính nó. Vì α\alpha không phải bội của 2π2\pi nên không có điểm nào khác trùng với ảnh của nó. Vậy duy nhất tâm OO là điểm bất động.

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →
Miễn phí · Không giới hạn lần làm
📑 Mục lục