Bài 4: Nhị thức Newton

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

📋 1. Công thức Nhị thức Newton

Với mọi số nguyên dương $n$ and hai số thực $a, b$ : $(a+b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b^1 + \dots + C_n^k a^{n-k}b^k + \dots + C_n^n b^n$

Kí hiệu: $\sum_{k=0}^n C_n^k a^{n-k} b^k$ .
Số hạng tổng quát (thứ $k+1$ ): $T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$ .

⚡ 2. Các tính chất quan trọng

Khai triển có đúng $n+1$ số hạng.
Tổng số mũ of $a$ and $b$ trong mỗi số hạng luôn bằng $n$ .
Các hệ số nhị thức $C_n^k$ có tính đối xứng: $C_n^k = C_n^{n-k}$ .
Tổng các hệ số: $C_n^0 + C_n^1 + \dots + C_n^n = 2^n$ (xảy ra khi $a=b=1$ ).

📋 3. Tam giác Pascal

Dùng để xác định nhanh các hệ số nhị thức $C_n^k$ :

$n=0$ : 1
$n=1$ : 1 1
$n=2$ : 1 2 1
$n=3$ : 1 3 3 1
$n=4$ : 1 4 6 4 1 (Mỗi số ở hàng dưới bằng tổng hai số kề trên nó).

II. Các dạng toán và ví dụ minh họa

📌 Kỹ năng khai triển and tìm hệ số

Khai triển trực tiếp: Viết theo thứ tự giảm dần số mũ of $a$ .
Tìm hệ số of $x^m$ :
- Viết số hạng tổng quát $C_n^k a^{n-k} b^k$ .
- Gom các lũy thừa of $x$ lại thành $x^{f(k)}$ .
- Giải phương trình $f(k) = m$ tìm $k$ .
- Tính hệ số $C_n^k \times$ (phần hằng số).

🔍 Ví dụ 1: Khai triển biểu thức

Khai triển biểu thức $(x + 2)^4$ .

💡 Xem lời giải

Áp dụng công thức với $n=4, a=x, b=2$ : $(x+2)^4 = C_4^0 x^4 + C_4^1 x^3 \cdot 2^1 + C_4^2 x^2 \cdot 2^2 + C_4^3 x^1 \cdot 2^3 + C_4^4 2^4$ $= 1x^4 + 4 \cdot 2x^3 + 6 \cdot 4x^2 + 4 \cdot 8x + 16$ $= x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16$ .

🔍 Ví dụ 2: Tìm hệ số của số hạng

Tìm hệ số of $x^3$ trong khai triển $(2x - 1)^5$ .

💡 Xem lời giải

Số hạng tổng quát: $T_{k+1} = C_5^k (2x)^{5-k} (-1)^k = C_5^k 2^{5-k} (-1)^k x^{5-k}$ .
Để tìm hệ số of $x^3$ , ta cho $5 - k = 3 \Rightarrow k = 2$ .
Hệ số tương ứng: $C_5^2 2^{5-2} (-1)^2 = 10 \cdot 2^3 \cdot 1 = 80$ . Vậy hệ số of $x^3$ là 80.

🔍 Ví dụ 3: Ứng dụng tính tổng

Tính tổng $S = C_4^0 + 2C_4^1 + 4C_4^2 + 8C_4^3 + 16C_4^4$ .

💡 Xem lời giải

Ta nhận thấy $S$ có dạng khai triển of $(a+b)^n$ .
Cụ thể: $S = C_4^0 \cdot 1^4 \cdot 2^0 + C_4^1 \cdot 1^3 \cdot 2^1 + \dots + C_4^4 \cdot 1^0 \cdot 2^4$ .
Đây chính là khai triển of $(1 + 2)^4 = 3^4 = 81$ . Vậy $S = 81$ .

III. Trắc nghiệm ôn tập

Câu 1:Trong khai triển $(a+b)^n$, số lượng các số hạng là:

Câu 2:Hệ số of $x^2$ trong khai triển $(x+1)^3$ là:

Đúng / Sai

Câu 3Xét khai triển $(2x - 3)^4$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a)Khai triển có 5 số hạng.

b)Số hạng đầu tiên là $16x^4$.

c)Các hệ số luôn mang dấu dương.

d)Số hạng cuối cùng là $81$.

Câu 4:Tìm số hạng $C_5^2$ trong tam giác Pascal.

IV. Bài tập tự luận

📝 Bài tập tự luyện

Câu 1. Khai triển and rút gọn biểu thức: $P(x) = (x+1)^5 + (x-1)^5$ .

💡 Lời giải

$(x+1)^5 = x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1$ .
$(x-1)^5 = x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x - 1$ .
Cộng hai biểu thức, các hạng tử bậc chẵn triệt tiêu nhau:
$P(x) = 2x^5 + 20x^3 + 10x$ .

Câu 2. Tìm hệ số of $x^8$ trong khai triển $(x^2 + 2x)^6$ .

💡 Lời giải

$T_{k+1} = C_6^k (x^2)^{6-k} (2x)^k = C_6^k x^{12-2k} 2^k x^k = C_6^k 2^k x^{12-k}$ .
Để có $x^8$ , ta giải: $12 - k = 8 \Rightarrow k = 4$ .
Hệ số: $C_6^4 2^4 = 15 \cdot 16 = 240$ .

Câu 3. Sử dụng nhị thức Newton, chứng minh rằng $11^{10} - 1$ chia hết cho 100.

💡 Lời giải

$11^{10} = (10 + 1)^{10} = C_{10}^0 10^{10} + C_{10}^1 10^9 + \dots + C_{10}^8 10^2 + C_{10}^9 10^1 + C_{10}^{10} 10^0$ .
Các số hạng từ đầu đến $C_{10}^8 10^2$ đều chứa ít nhất $10^2 = 100$ nên chia hết cho 100.
Hai số hạng cuối là: $10 \cdot 10 + 1 = 101$ .
Vậy $11^{10} = 100k + 101 \equiv 1 \pmod{100}$ .
Suy ra $11^{10} - 1 \vdots 100$ .

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Không giới hạn lần làm