🛠️ Công cụ

Ôn tập Chương 2 - Toán 11

Ôn tập Chương II: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân - Toán 11 Kết nối tri thức.

📖 Lý thuyết ✍️ Dạng toán & bài tập 🎯 Trắc nghiệm

Ôn tập Chương II: Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

⚡ 1. Dãy số
  • Định nghĩa: Một hàm số u:N∗→Ru: \mathbb{N}^* \rightarrow \mathbb{R}. Kí hiệu (un)(u_n).
  • Cách cho dãy số: Liệt kê, công thức tổng quát, hệ thức truy hồi.
  • Dãy số tăng, giảm:
    • Tăng: un+1>unu_{n+1} > u_n với mọi nn.
    • Giảm: un+1<unu_{n+1} < u_n với mọi nn.
  • Dãy số bị chặn: Bị chặn trên (un≤Mu_n \leq M), bị chặn dưới (un≥mu_n \geq m), bị chặn (m≤un≤Mm \leq u_n \leq M).
⚡ 2. Cấp số cộng (CSC)
  • Định nghĩa: un+1=un+du_{n+1} = u_n + d (d là công sai).
  • Số hạng tổng quát: un=u1+(n−1)du_n = u_1 + (n-1)d.
  • Tính chất: uk=uk−1+uk+12u_k = \frac{u_{k-1} + u_{k+1}}{2}.
  • Tổng n số hạng đầu: Sn=n(u1+un)2=n[2u1+(n−1)d]2S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2} = \frac{n[2u_1 + (n-1)d]}{2}.
⚡ 3. Cấp số nhân (CSN)
  • Định nghĩa: un+1=un⋅qu_{n+1} = u_n \cdot q (q là công bội).
  • Số hạng tổng quát: un=u1⋅qn−1u_n = u_1 \cdot q^{n-1}.
  • Tính chất: uk2=uk−1⋅uk+1u_k^2 = u_{k-1} \cdot u_{k+1}.
  • Tổng n số hạng đầu: Sn=u1(1−qn)1−qS_n = \frac{u_1(1-q^n)}{1-q} (với q≠1q \neq 1).

II. Dạng toán tổng hợp

📌 Phương pháp giải

Kỹ năng giải toán:

  1. Tìm u1,du_1, d hoặc u1,qu_1, q: Thiết lập hệ phương trình dựa trên giả thiết bài toán.
  2. Chứng minh dãy số là CSC/CSN: Xét hiệu un+1−unu_{n+1} - u_n hoặc tỉ số un+1/unu_{n+1} / u_n.
  3. Bài toán thực tế: Chuyển đổi ngôn ngữ thực tế (lãi kép, tăng trưởng) về mô hình dãy số.
🔍 Ví dụ 1: Tìm các yếu tố của cấp số cộng

Cho CSC (un)(u_n) thỏa mãn: {u2+u5=10u4+u6=16\begin{cases} u_2 + u_5 = 10 \\ u_4 + u_6 = 16 \end{cases}. Tìm u1u_1 và dd.

💡 Xem lời giải

Ta có hệ phương trình: {(u1+d)+(u1+4d)=10(u1+3d)+(u1+5d)=16⇔{2u1+5d=102u1+8d=16\begin{cases} (u_1 + d) + (u_1 + 4d) = 10 \\ (u_1 + 3d) + (u_1 + 5d) = 16 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2u_1 + 5d = 10 \\ 2u_1 + 8d = 16 \end{cases} Lấy (2) trừ (1): 3d=6⇒d=23d = 6 \Rightarrow d = 2. Thay lại vào (1): 2u1+10=10⇒u1=02u_1 + 10 = 10 \Rightarrow u_1 = 0. Vậy u1=0,d=2u_1 = 0, d = 2.

🔍 Ví dụ 2: Tìm các yếu tố của cấp số nhân

Cho CSN (un)(u_n) có u1=3u_1 = 3 và u3=27u_3 = 27. Tìm công bội qq và tổng 5 số hạng đầu.

💡 Xem lời giải
  • u3=u1⋅q2⇒27=3⋅q2⇒q2=9⇒q=±3u_3 = u_1 \cdot q^2 \Rightarrow 27 = 3 \cdot q^2 \Rightarrow q^2 = 9 \Rightarrow q = \pm 3.
  • Nếu q=3q = 3: S5=3(1−35)1−3=3(1−243)−2=3⋅(−242)−2=363S_5 = \frac{3(1 - 3^5)}{1 - 3} = \frac{3(1 - 243)}{-2} = \frac{3 \cdot (-242)}{-2} = 363.
  • Nếu q=−3q = -3: S5=3[1−(−3)5]1−(−3)=3(1+243)4=3⋅2444=183S_5 = \frac{3[1 - (-3)^5]}{1 - (-3)} = \frac{3(1 + 243)}{4} = \frac{3 \cdot 244}{4} = 183.
🔍 Ví dụ 3: Bài toán tổng hợp

Tìm ba số liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 15 và tổng bình phương của chúng bằng 83.

💡 Xem lời giải

Gọi ba số đó là x−d,x,x+dx-d, x, x+d.

  • Tổng: (x−d)+x+(x+d)=15⇒3x=15⇒x=5(x-d) + x + (x+d) = 15 \Rightarrow 3x = 15 \Rightarrow x = 5.
  • Tổng bình phương: (5−d)2+52+(5+d)2=83(5-d)^2 + 5^2 + (5+d)^2 = 83 25−10d+d2+25+25+10d+d2=8325 - 10d + d^2 + 25 + 25 + 10d + d^2 = 83 75+2d2=83⇒2d2=8⇒d2=4⇒d=±275 + 2d^2 = 83 \Rightarrow 2d^2 = 8 \Rightarrow d^2 = 4 \Rightarrow d = \pm 2. Với d=2d=2, ba số là: 3,5,73, 5, 7. Với d=−2d=-2, ba số là 7,5,37, 5, 3.
🔍 Ví dụ 4: Bài toán thực tế — Lãi kép

Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 8% mỗi năm. Giả sử tiền lãi được nhập vào vốn hàng năm. Hỏi sau 5 năm, người đó nhận được bao nhiêu tiền (cả gốc lẫn lãi)?

💡 Xem lời giải

Đây là một cấp số nhân với u1u_1 (số tiền ban đầu) và công bội q=1+r=1,08q = 1 + r = 1{,}08. Số tiền sau nn năm là un+1=u1⋅qnu_{n+1} = u_1 \cdot q^n.

  • u6=100⋅(1,08)5≈100⋅1,469=146,9u_6 = 100 \cdot (1{,}08)^5 \approx 100 \cdot 1{,}469 = 146{,}9 triệu đồng. Người đó nhận được khoảng 146,9 triệu đồng.
🔍 Ví dụ 5: Bài toán thực tế — Trồng cây

Một nông trại trồng cây theo quy luật: hàng đầu tiên có 10 cây, mỗi hàng sau nhiều hơn hàng trước 5 cây. Hỏi nếu trang trại có 20 hàng thì tổng cộng có bao nhiêu cây?

💡 Xem lời giải

Số cây ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với u1=10u_1 = 10 và d=5d = 5. Tổng số cây là tổng của 20 số hạng đầu: S20=20⋅[2⋅10+(20−1)⋅5]2=10⋅(20+95)=10⋅115=1150S_{20} = \frac{20 \cdot [2 \cdot 10 + (20-1) \cdot 5]}{2} = 10 \cdot (20 + 95) = 10 \cdot 115 = 1150 cây. Vậy có tổng cộng 1150 cây.

III. Trắc nghiệm ôn tập

Câu 1:Cho dãy số $(u_n)$ có $u_n = 2n - 1$. Số hạng thứ 5 của dãy là:
Câu 2:Dãy số nào sau đây không phải là cấp số cộng?
Câu 3:Cho cấp số cộng có $u_1 = -3, d = 4$. Số hạng tổng quát $u_n$ là:
Câu 4:Cho cấp số nhân có $u_1 = 2, q = 3$. Số hạng thứ 4 là:
Câu 5:Tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng $1, 2, 3, \dots, 10$ là:
Câu 6:Cho dãy số $u_n = \\frac{n}{n+1}$. Khẳng định nào đúng?
Đúng / Sai
Câu 7Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi $u_1 = 2, u_{n+1} = 3u_n + 1$. Xét tính đúng sai:
a)Số hạng thứ hai $u_2 = 7$.
b)Dãy số đã cho là một cấp số nhân.
c)Dãy số đã cho là một dãy tăng.
d)Dãy số bị chặn dưới bởi 2.
Đúng / Sai
Câu 8Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_2 = 6$ và $u_5 = 162$. Đúng hay sai?
a)Công bội $q = 3$.
b)Số hạng đầu $u_1 = 2$.
c)Số hạng thứ mười là $2 cdot 3^{10}$.
d)Tổng 3 số hạng đầu là 26.
Câu 9:Tìm số hạng đầu $u_1$ của cấp số cộng biết $u_5 = 18$ và $d = 3$.
Câu 10:Cho CSC $x, 5, y, 11$. Tìm giá trị của $x + y$.

IV. Bài tập tự luận tổng hợp

📝 Danh sách bài tập tự luận

Câu 1. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy số sau: a) un=n−1n+1u_n = \frac{n-1}{n+1} b) un=(−1)n⋅1nu_n = (-1)^n \cdot \frac{1}{n} c) un=2n−nu_n = 2^n - n d) un=n2+1−nu_n = \sqrt{n^2+1} - n

💡 Đáp án

a) Tăng, bị chặn [0, 1). b) Không tăng không giảm, bị chặn [-1, 1/2]. c) Tăng, bị chặn dưới. d) Giảm, bị chặn (0, 2−1\sqrt{2}-1].

Câu 2. Cho cấp số cộng (un)(u_n) thỏa mãn: a) u1=5,d=−2u_1 = 5, d = -2. Tính u10u_{10} and S10S_{10}. b) u3=10,u15=46u_3 = 10, u_{15} = 46. Tìm u1,du_1, d. c) u1+u5=20,S5=50u_1 + u_5 = 20, S_5 = 50. Tìm u1,du_1, d. d) un=100u_n = 100. Tìm n biết u1=4,d=3u_1 = 4, d = 3.

💡 Đáp án

a) u10=−13,S10=−40u_{10} = -13, S_{10} = -40. b) d=3,u1=4d = 3, u_1 = 4. c) u1=4,d=3u_1 = 4, d = 3. d) 100=4+(n−1)3⇒n=33100 = 4 + (n-1)3 \Rightarrow n = 33.

Câu 3. Cho cấp số nhân (un)(u_n) thỏa mãn: a) u1=2,q=3u_1 = 2, q = 3. Tính u5u_5 and S5S_5. b) u2=4,u4=16u_2 = 4, u_4 = 16. Tìm u1,qu_1, q. c) u1+u2+u3=14,u1⋅u2⋅u3=64u_1 + u_2 + u_3 = 14, u_1 \cdot u_2 \cdot u_3 = 64. Tìm các số đó. d) Tìm qq để S3=13S_3 = 13 with u1=1u_1 = 1.

💡 Đáp án

a) u5=162,S5=242u_5 = 162, S_5 = 242. b) q=±2,u1=±2q = \pm 2, u_1 = \pm 2 (cùng dấu). c) u2=4,u1=2,u3=8u_2 = 4, u_1 = 2, u_3 = 8 hoặc ngược lại. Ba số: 2, 4, 8. d) 1+q+q2=13⇒q=31 + q + q^2 = 13 \Rightarrow q = 3 hoặc q=−4q = -4.

Câu 4. (Thực tế - Kiến trúc) Một rạp hát có 30 hàng ghế. Hàng đầu tiên có 20 ghế, mỗi hàng sau nhiều hơn hàng trước 2 ghế. a) Tính số ghế ở hàng thứ 30. b) Tính tổng số ghế của rạp hát. c) Nếu rạp muốn tăng tổng số ghế lên 1500 mà vẫn giữ nguyên quy luật và số ghế hàng đầu, rạp cần bao nhiêu hàng ghế? d) Nếu vé hàng ghế thứ nn có giá 500−10n500 - 10n (nghìn đồng), tính tổng doanh thu nếu rạp đầy chỗ.

💡 Đáp án

a) u30=20+29(2)=78u_{30} = 20 + 29(2) = 78 ghế. b) S30=15(20+78)=1470S_{30} = 15(20 + 78) = 1470 ghế. c) n[40+(n−1)2]/2=1500⇒n2+19n−1500=0⇒n≈30,3⇒31n[40 + (n-1)2]/2 = 1500 \Rightarrow n^2 + 19n - 1500 = 0 \Rightarrow n \approx 30,3 \Rightarrow 31 hàng. d) Doanh thu =∑(20+2(n−1))(500−10n)=…= \sum (20+2(n-1))(500-10n) = \dots (Sử dụng công thức tổng CSC).

Câu 5. Chứng minh các hệ thức sau: a) Ba số a,b,ca, b, c lập thành CSC ⇔a+c=2b\Leftrightarrow a+c = 2b. b) Ba số a,b,ca, b, c lập thành CSN ⇔ac=b2\Leftrightarrow ac = b^2. c) Nếu a,b,ca, b, c là CSC thì a2+8bc=(2b+c)2a^2+8bc = (2b+c)^2. d) Nếu a,b,ca, b, c là CSN thì (a+b+c)(a−b+c)=a2+b2+c2(a+b+c)(a-b+c) = a^2+b^2+c^2.

💡 Đáp án

a, b) Định nghĩa CSC, CSN. c) Thay a=b−d,c=b+da=b-d, c=b+d. d) Vế trái =(a+c)2−b2=a2+2ac+c2−b2=a2+2b2+c2−b2=a2+b2+c2= (a+c)^2 - b^2 = a^2 + 2ac + c^2 - b^2 = a^2 + 2b^2 + c^2 - b^2 = a^2 + b^2 + c^2.

Câu 6. Cho dãy số (un)(u_n) xác định bởi u1=1,un+1=un+2n+1u_1 = 1, u_{n+1} = u_n + 2n + 1. a) Tìm 5 số hạng đầu của dãy. b) Dự đoán công thức tổng quát unu_n và chứng minh bằng quy nạp. c) Tính tổng Sn=u1+u2+⋯+unS_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n. d) Xét tính tăng, giảm của dãy.

💡 Đáp án

a) 1, 4, 9, 16, 25. b) un=n2u_n = n^2. c) Sn=n(n+1)(2n+1)6S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}. d) Dãy tăng.

Câu 7. (Thực tế - Tài chính) Bạn A tiết kiệm tiền để mua máy tính giá 20 triệu. Tháng đầu bạn gửi 1 triệu, các tháng sau mỗi tháng gửi nhiều hơn tháng trước 200 nghìn. a) Sau bao nhiêu tháng bạn A đủ tiền? b) Nếu ngân hàng trả lãi 0,5% mỗi tháng trên số dư cuối tháng, số tiền sau 12 tháng là bao nhiêu? (Giả sử gửi vào đầu tháng). c) Nếu mỗi tháng chỉ gửi cố định 1,5 triệu, so sánh thời gian tích lũy với phương án đầu. d) Lập bảng tính số dư sau 5 tháng đầu theo phương án 1.

💡 Đáp án

a) n[2+(n−1)0,2]/2=20⇒0,1n2+0,9n−20=0⇒n=10,5⇒11n[2 + (n-1)0,2]/2 = 20 \Rightarrow 0,1n^2 + 0,9n - 20 = 0 \Rightarrow n = 10,5 \Rightarrow 11 tháng. b) Sử dụng mô hình CSN kết hợp CSC. c) 1,5n=20⇒141,5n = 20 \Rightarrow 14 tháng. Phương án 1 nhanh hơn.

Câu 8. Cho phương trình x3−3x2−9x+m=0x^3 - 3x^2 - 9x + m = 0. a) Tìm mm để phương trình có 3 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng. b) Với mm vừa tìm được, hãy giải phương trình. c) Tìm mối liên hệ giữa các nghiệm và công sai dd. d) Nếu yêu cầu 3 nghiệm lập thành CSN, mm có tồn tại không?

💡 Đáp án

a) Gọi nghiệm là x0−d,x0,x0+d⇒x_0-d, x_0, x_0+d \Rightarrow tổng =3x0=3⇒x0=1= 3x_0 = 3 \Rightarrow x_0 = 1. Thay x=1x=1 vào pt ⇒1−3−9+m=0⇒m=11\Rightarrow 1-3-9+m=0 \Rightarrow m=11. b) x3−3x2−9x+11=0⇔(x−1)(x2−2x−11)=0⇒x1=1−23,x2=1,x3=1+23x^3-3x^2-9x+11=0 \Leftrightarrow (x-1)(x^2-2x-11)=0 \Rightarrow x_1 = 1 - 2\sqrt{3}, x_2 = 1, x_3 = 1 + 2\sqrt{3}. d) x1x2x3=−m,x22=x1x3⇒x23=−mx_1 x_2 x_3 = -m, x_2^2 = x_1 x_3 \Rightarrow x_2^3 = -m. Thường khó có m hữu tỉ.

Câu 10. (Tổng hợp) Một quả bóng cao su rơi từ độ cao 10m xuống đất. Mỗi lần chạm đất, nó nảy lên độ cao bằng 3/4 độ cao của lần rơi trước đó. a) Tính độ cao của bóng sau lần nảy thứ 5. b) Tính tổng quãng đường bóng đã bay được cho đến khi chạm đất lần thứ 6. c) Nếu bóng cứ nảy mãi, tính tổng quãng đường bóng đã bay cho đến khi dừng hẳn. (Gợi ý: Tổng cấp số nhân lùi vô hạn). d) Tại sao trong thực tế trái bóng lại dừng lại?

💡 Đáp án

a) 10⋅(3/4)5≈2,3710 \cdot (3/4)^5 \approx 2,37m. b) S=10+2⋅10⋅(3/4)+2⋅10⋅(3/4)2+⋯+2⋅10⋅(3/4)5S = 10 + 2 \cdot 10 \cdot (3/4) + 2 \cdot 10 \cdot (3/4)^2 + \dots + 2 \cdot 10 \cdot (3/4)^5. c) S=10+2⋅10⋅(3/4)1−3/4=10+2⋅30=70S = 10 + 2 \cdot \frac{10 \cdot (3/4)}{1 - 3/4} = 10 + 2 \cdot 30 = 70m. d) Do ma sát với không khí and va chạm không hoàn toàn đàn hồi.

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →
Miễn phí · Không giới hạn lần làm
📑 Mục lục