Bài 3: Hàm số lượng giác

I. Đặc điểm của 4 hàm số lượng giác cơ bản

1. Hàm số $y = \sin x$ và $y = \cos x$

Hai hàm số cơ bản này được sinh ra từ tọa độ $(x,y)$ của một điểm chạy vòng quanh đường tròn lượng giác đơn vị.

Tính chất	$y = \sin x$	$y = \cos x$
Tập xác định	$D = \mathbb{R}$	$D = \mathbb{R}$
Tập giá trị	$T = [-1; 1]$	$T = [-1; 1]$
Tính chẵn / lẻ	Hàm số LẺ (Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O)	Hàm số CHẴN (Đồ thị đối xứng qua trục tung Oy)
Tính tuần hoàn	Tuần hoàn với chu kì $T = 2\pi$	Tuần hoàn với chu kì $T = 2\pi$

2. Hàm số $y = \tan x$ và $y = \cot x$

Các hàm này có chứa mẫu số nên tập xác định bị thu hẹp lại.

Tính chất	$y = \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$	$y = \cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}$
Tập xác định	$\mathbb{R} \setminus \left\{ \dfrac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}$ ( $\cos x \neq 0$ )	$\mathbb{R} \setminus \left\{ k\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}$ ( $\sin x \neq 0$ )
Tập giá trị	$T = \mathbb{R}$	$T = \mathbb{R}$
Tính chẵn / lẻ	Hàm số LẺ	Hàm số LẺ
Tính tuần hoàn	Tuần hoàn với chu kì $T = \pi$	Tuần hoàn với chu kì $T = \pi$

📋 Khái niệm Hàm số tuần hoàn

Hàm số $y = f(x)$ tuần hoàn chu kì $T > 0$ nếu cứ tiến hoặc lùi một khoảng đúng bằng $T$ , giá trị của hàm số lặp lại y hệt: $f(x \pm T) = f(x)$ với mọi $x \in D$ . Mở rộng: Hàm số $y = \sin(ax+b)$ hoặc $\cos(ax+b)$ có chu kì tuần hoàn là $\mathbf{T = \dfrac{2\pi}{|a|}}$ . Hàm số $y = \tan(ax+b)$ hoặc $\cot(ax+b)$ có chu kì là $\mathbf{T = \dfrac{\pi}{|a|}}$ .

🔷 Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

📌 Phương pháp giải

Cần nắm vững 3 điều kiện mẫu chốt:

Mẫu số $\neq 0$ .
Bên trong căn bậc hai $\geq 0$ .
Hàm chứa $\tan(u) \Rightarrow u \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ . Chứa $\cot(u) \Rightarrow u \neq k\pi$ . (Nếu bài có nhiều điều kiện, giải từng cái một rồi tìm giao trên đường tròn lượng giác).

🔍 Ví dụ 1

Tìm tập xác định của hàm số $y = \dfrac{\tan 2x}{\sin x - 1}$ .

💡 Xem lời giải

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện:

Hàm số $\tan 2x$ xác định, tức là $\cos 2x \neq 0 \Leftrightarrow 2x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow x \neq \dfrac{\pi}{4} + k\dfrac{\pi}{2}$ .
Mẫu số khác không, tức là $\sin x - 1 \neq 0 \Leftrightarrow \sin x \neq 1 \Leftrightarrow x \neq \dfrac{\pi}{2} + k2\pi$ .

Tập xác định $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \dfrac{\pi}{4} + k\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \Big| k \in \mathbb{Z} \right\}$ .

🔷 Dạng 2: Tìm Giá Trị Lớn Nhất (GTLN) và Giá Trị Nhỏ Nhất (GTNN)

📌 Phương pháp giải

Xuất phát từ các đánh giá nền tảng sau:

$-1 \leq \sin (\text{bất kỳ}) \leq 1$ . Do đó: $0 \leq \sin^2 u \leq 1$ ; $0 \leq |\sin u| \leq 1$ .
$-1 \leq \cos (\text{bất kỳ}) \leq 1$ . Do đó: $0 \leq \cos^2 u \leq 1$ ; $0 \leq |\cos u| \leq 1$ .
Xây dựng dần từ lõi ra bên ngoài để tìm chặn trên (Max) và chặn dưới (Min).

🔍 Ví dụ 2

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 3\sin\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right) - 2$ .

💡 Xem lời giải

Ta có với mọi $x \in \mathbb{R}$ , giá trị của hàm sin luôn nằm trong đoạn $[-1; 1]$ . $-1 \leq \sin\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right) \leq 1$

Nhân cả 3 vế với 3 (số dương nên bất phương trình giữ chiều): $-3 \leq 3\sin\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right) \leq 3$

Trừ đi 2 ở cả 3 vế: $-3 - 2 \leq 3\sin\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right) - 2 \leq 3 - 2$ $\Leftrightarrow -5 \leq y \leq 1$ .

Kết luận:

Giá trị lớn nhất của hàm số là $\mathbf{1}$ (đạt được khi $\sin(x-\pi/6) = 1$ ).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $\mathbf{-5}$ (đạt được khi $\sin(x-\pi/6) = -1$ ).

📝 Bài tập tự luyện

Tập xác định của hàm số $y = \\tan x$ là:

Trong 4 hàm số lượng giác cơ bản, có bao nhiêu hàm số là hàm số LẺ?

Chu kỳ tuần hoàn của hàm số $y = \\sin(3x + \\pi)$ là:

Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số $y = 5 - 2\\cos x$. (Nhập đáp án bằng số)

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Không giới hạn lần làm