Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ (thuộc đoạn) hoặc $x = 2$ (thuộc đoạn). Tính các giá trị: $f(0) = 1$ $f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 1 = 8 - 12 + 1 = -3$ $f(3) = 3^3 - 3 \cdot 3^2 + 1 = 27 - 27 + 1 = 1$ Vậy $\max_{[0; 3]} f(x) = 1$ (tại $x=0, x=3$); $\min_{[0; 3]} f(x) = -3$ (tại $x=2$).

$f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 0 \Leftrightarrow x = 0; x = \pm 1$. Các nghiệm thuộc $[-1; 2]$ là $0, 1, -1$. Tính giá trị: $f(-1) = 2$ $f(0) = 3$ $f(1) = 2$ $f(2) = 16 - 8 + 3 = 11$ Vậy $\max_{[-1; 2]} f(x) = 11$ (tại $x=2$); $\min_{[-1; 2]} f(x) = 2$ (tại $x=\pm 1$).

$f'(x) = \dfrac{(x-1) - (x+2)}{(x-1)^2} = \dfrac{-3}{(x-1)^2} < 0$ với mọi $x \in [2; 4]$. Hàm số luôn nghịch biến trên $[2; 4]$. $\max_{[2; 4]} f(x) = f(2) = \dfrac{2+2}{2-1} = 4$. $\min_{[2; 4]} f(x) = f(4) = \dfrac{4+2}{4-1} = 2$.

$f'(x) = 3x^2 + 6x - 9 = 3(x+3)(x-1)$. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -3$ (loại) hoặc $x = 1$ (nhận). $f(-2) = -8 + 12 + 18 + 2 = 24$ $f(1) = 1 + 3 - 9 + 2 = -3$ $f(2) = 8 + 12 - 18 + 2 = 4$ Vậy $\max_{[-2; 2]} f(x) = 24$ (tại $x=-2$); $\min_{[-2; 2]} f(x) = -3$ (tại $x=1$).

TXĐ: $5 - 4x - x^2 \ge 0 \Leftrightarrow -x^2 - 4x + 5 \ge 0 \Leftrightarrow -5 \le x \le 1$. $D = [-5; 1]$. $f'(x) = \dfrac{-2x - 4}{2\sqrt{5 - 4x - x^2}} = \dfrac{-x - 2}{\sqrt{5 - 4x - x^2}}$. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -2 \in (-5; 1)$. Tính: $f(-5) = 0$ $f(-2) = \sqrt{5 + 8 - 4} = 3$ $f(1) = 0$ Vậy $\max_{D} f(x) = 3$ (tại $x=-2$); $\min_{D} f(x) = 0$ (tại $x=-5, x=1$).

$f'(x) = 1 - \dfrac{4}{x^2} = \dfrac{x^2 - 4}{x^2}$. Trên $(0; \infty)$, $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2$. BBT: Với $x \in (0; 2)$, $f' < 0$; với $x \in (2; \infty)$, $f' > 0$. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ và đây cũng là giá trị nhỏ nhất. $\min_{(0; \infty)} f(x) = f(2) = 4$.

$f'(x) = \dfrac{3}{(x+1)^2} > 0$ trên TXĐ. Hàm số đồng biến trên $[0; \infty)$. $f(0) = -1$. $\lim_{x \to \infty} f(x) = 2$. Hàm số tiến sát đến 2 nhưng không bao giờ đạt giá trị 2. Vậy không có GTLN trên $[0; \infty)$.

$f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} - 1$. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow 2\sqrt{x} = 1 \Leftrightarrow x = 1/4$. Bảng biến thiên cho thấy hàm tăng từ $f(0)=0$ đến $f(1/4) = 1/4$ rồi giảm dần tới $-\infty$. Vậy $\max_{[0; \infty)} f(x) = 1/4$ tại $x = 1/4$. Không có GTNN.

$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = +\infty$. Hàm số không có giá trị lớn nhất. (Chỉ có GTNN tại các điểm cực tiểu).

$f'(x) = 2x - \dfrac{16}{x^2} = \dfrac{2x^3 - 16}{x^2}$. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x^3 = 8 \Leftrightarrow x = 2$. BBT trên $(0; \infty)$: $f'$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ qua $x=2$. Vậy $\min_{(0; \infty)} f(x) = f(2) = 4 + 8 = 12$.

Gọi chiều rộng là $x$ ($0 < x < 10$). Chiều dài là $10 - x$. Diện tích $S(x) = x(10 - x) = -x^2 + 10x$. $S'(x) = -2x + 10 = 0 \Leftrightarrow x = 5$. Hình vuông cạnh 5m có diện tích lớn nhất 25m².

$R'(x) = -2x + 100 = 0 \Leftrightarrow x = 50$. Doanh thu đạt GTLN khi giá bán là 50 nghìn đồng/sp.

Đáy hộp là hình vuông cạnh $12 - 2x$, chiều cao $x$. Điều kiện $0 < x < 6$. Thể tích $V(x) = x(12 - 2x)^2$. $V'(x) = 12(x-2)(x-6) = 0 \Leftrightarrow x = 2$. $\max V = V(2) = 128$ cm³. $x = 2$ cm.

Chiều dài rào $L(x) = 2x + \dfrac{200}{x}$ với $x > 0$. $L'(x) = 2 - \dfrac{200}{x^2} = 0 \Rightarrow x = 10$. GTNN của $L$ đạt tại $x=10$.

$V = \pi R^2 h = 16\pi \Rightarrow h = 16/R^2$. $S_{tp} = 2\pi R^2 + 2\pi Rh = 2\pi R^2 + 32\pi/R$. $S'(R) = 4\pi R - 32\pi/R^2 = 0 \Rightarrow R = 2$. Bán kính $R=2$ cm cho diện tích nhỏ nhất.