Bài 2: Biến ngẫu nhiên phân bố nhị thức và áp dụng

I. Phân phối nhị thức

1. Thí nghiệm Bernoulli

📋 Định nghĩa

Thí nghiệm Bernoulli là thí nghiệm chỉ có hai kết quả: “thành công” (xác suất $p$ ) và “thất bại” (xác suất $q = 1-p$ ), với $0 < p < 1$ .

Ví dụ: Tung đồng xu (ngửa/sấp), kiểm tra sản phẩm (lỗi/tốt), câu hỏi trắc nghiệm (đúng/sai).

2. Biến ngẫu nhiên nhị thức

⚡ Phân phối nhị thức B(n, p)

Thực hiện $n$ phép thử Bernoulli độc lập nhau, mỗi phép thử xác suất thành công là $p$ . Gọi $X$ là số lần thành công. Khi đó $X$ tuân theo phân phối nhị thức $B(n, p)$ :

$P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, n$

3. Kì vọng và phương sai của phân phối nhị thức

⚡ Công thức đặc trưng của B(n, p)

Nếu $X \sim B(n, p)$ thì: $E(X) = np \qquad V(X) = np(1-p) = npq \qquad \sigma(X) = \sqrt{npq}$

Trong đó $q = 1 - p$ .

⚠️ Điều kiện áp dụng

Phân phối nhị thức áp dụng khi:

Có $n$ phép thử độc lập.
Mỗi phép thử chỉ có 2 kết quả: thành công (xác suất $p$ ) hoặc thất bại.
$p$ không đổi qua các phép thử.

🔷 Dạng 1: Nhận dạng và tính xác suất theo phân phối nhị thức

📌 Phương pháp giải

Phương pháp:

Xác định $n$ (số phép thử) và $p$ (xác suất thành công mỗi lần).
Xác định $k$ (số lần thành công cần tính).
Áp dụng: $P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$ .
Với câu hỏi “ít nhất” hoặc “nhiều nhất” → dùng xác suất bù ( $P \geq k$ hoặc $P \leq k$ ).

🔍 Ví dụ 1 — Kiểm tra sản phẩm

Dây chuyền sản xuất ra sản phẩm lỗi với xác suất $0{,}1$ . Lấy ngẫu nhiên $5$ sản phẩm. Tính xác suất có đúng $2$ sản phẩm lỗi.

💡 Xem lời giải

$n = 5$ , $p = 0{,}1$ , $k = 2$ .

$P(X = 2) = C_5^2 \cdot (0{,}1)^2 \cdot (0{,}9)^3 = 10 \cdot 0{,}01 \cdot 0{,}729 = 0{,}0729$

🔍 Ví dụ 2 — Thi trắc nghiệm

Một học sinh chọn ngẫu nhiên đáp án trong bài thi 10 câu (mỗi câu 4 lựa chọn). Tính xác suất học sinh đó trả lời đúng ít nhất $3$ câu.

💡 Xem lời giải

$n = 10$ , $p = 1/4$ , $q = 3/4$ .

$P(X \geq 3) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) - P(X = 2)$

$P(X=0) = (3/4)^{10} \approx 0{,}0563$ $P(X=1) = C_{10}^1 (1/4)(3/4)^9 \approx 10 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}0751 = 0{,}1877$ $P(X=2) = C_{10}^2 (1/4)^2 (3/4)^8 \approx 45 \cdot 0{,}0625 \cdot 0{,}1001 = 0{,}2816$

$P(X \geq 3) = 1 - 0{,}0563 - 0{,}1877 - 0{,}2816 \approx 0{,}4744 \approx 47{,}44\%$

🔍 Ví dụ 3 — Xạ thủ

Một xạ thủ bắn trúng bia với xác suất $0{,}8$ mỗi lần bắn, bắn $6$ lần độc lập. Tính xác suất bắn trúng nhiều nhất 4 lần.

💡 Xem lời giải

$n = 6$ , $p = 0{,}8$ , $q = 0{,}2$ .

Cách làm: $P(X \leq 4) = 1 - P(X=5) - P(X=6)$ .

$P(X=6) = (0{,}8)^6 = 0{,}2621$ $P(X=5) = C_6^5 (0{,}8)^5 (0{,}2) = 6 \cdot 0{,}3277 \cdot 0{,}2 = 0{,}3932$

$P(X \leq 4) = 1 - 0{,}2621 - 0{,}3932 = 0{,}3447 \approx 34{,}47\%$

🔍 Ví dụ 4 — Ứng dụng thực tế

Xác suất một email ngẫu nhiên là thư rác (spam) bằng $0{,}3$ . Một hộp thư nhận được $20$ email. Tính kì vọng và phương sai số email spam.

💡 Xem lời giải

$X \sim B(20;\, 0{,}3)$ .

$E(X) = np = 20 \cdot 0{,}3 = 6 \text{ email spam (trung bình)}$ $V(X) = npq = 20 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7 = 4{,}2$ $\sigma(X) = \sqrt{4{,}2} \approx 2{,}05 \text{ email}$

Ý nghĩa: Trung bình có khoảng $6$ email spam, dao động khoảng $\pm 2$ email.

📝 Thực hành — Dạng 1

Câu 1:$X \sim B(5; 0{,}4)$. $P(X = 2)$ bằng:

Câu 2:$X \sim B(10; 0{,}5)$. Kì vọng $E(X)$ bằng:

Câu 3:Tung đồng xu cân đối 8 lần. Xác suất xuất hiện đúng 4 mặt ngửa là:

Đúng / Sai

Câu 4$X \sim B(4; 0{,}3)$. Xét tính đúng sai:

a)$E(X) = 1{,}2$

b)$V(X) = 0{,}84$

c)$P(X=0) = (0{,}3)^4$

d)$P(X=4) = (0{,}3)^4 = 0{,}0081$

Câu 5:$X \sim B(6; 0{,}5)$. Tính $P(X \geq 5)$ (làm tròn 4 chữ số thập phân).

🔷 Dạng 2: Áp dụng phân phối nhị thức trong bài toán thực tế

📌 Phương pháp giải

Phương pháp:

Đọc đề, xác định “thành công” là sự kiện gì.
Đặt $X =$ số lần xảy ra “thành công”.
Xác định $n$ và $p$ , kiểm tra điều kiện độc lập.
Tính theo yêu cầu: dùng công thức nhị thức hoặc $E(X) = np$ .

🔍 Ví dụ 1 — Y tế

Tỉ lệ người dị ứng thuốc X là $5\%$ . Cho $100$ người dùng thuốc. Tính kì vọng và xác suất không có ai bị dị ứng.

💡 Xem lời giải

$X \sim B(100; 0{,}05)$ .

$E(X) = 100 \cdot 0{,}05 = \mathbf{5}$ người (trung bình).

$P(X = 0) = (0{,}95)^{100} \approx 0{,}0059 \approx 0{,}59\%$ .

Nhận xét: Gần như chắc chắn sẽ có ít nhất $1$ người bị dị ứng.

🔍 Ví dụ 2 — Kiểm soát chất lượng

Nhà máy kiểm tra mẫu $20$ sản phẩm. Nếu có từ $3$ sản phẩm lỗi trở lên thì lô hàng bị từ chối. Biết tỉ lệ lỗi thực tế là $10\%$ , tính xác suất lô hàng bị từ chối.

💡 Xem lời giải

$X \sim B(20; 0{,}1)$ .

$P(\text{từ chối}) = P(X \geq 3) = 1 - P(X=0) - P(X=1) - P(X=2)$

$P(X=0) = (0{,}9)^{20} \approx 0{,}1216$ $P(X=1) = 20(0{,}1)(0{,}9)^{19} \approx 0{,}2702$ $P(X=2) = C_{20}^2(0{,}1)^2(0{,}9)^{18} \approx 0{,}2852$

$P(X \geq 3) = 1 - 0{,}1216 - 0{,}2702 - 0{,}2852 = 0{,}3230 \approx 32{,}3\%$

📝 Thực hành — Dạng 2

Câu 1:Trong $200$ hộ gia đình, mỗi hộ có xác suất $0{,}4$ sử dụng điện mặt trời. Kì vọng số hộ dùng điện mặt trời là:

Câu 2:Phân phối nhị thức $B(n, p)$ có $E(X) = 6$ và $V(X) = 4{,}2$. Tìm $p$:

Câu 3:$X \sim B(3; 2/3)$. Tính $P(X=2)$ (phân số tối giản, ghi dưới dạng thập phân 4 ch.s.).

📝 Bài tập tự luận — Phân phối nhị thức

Câu 1. Tung một đồng xu cân đối 10 lần. Gọi $X$ là số lần xuất hiện mặt ngửa. a) Viết công thức $P(X = k)$ . b) Tính $P(X = 5)$ , $P(X \geq 8)$ . c) Tính $E(X)$ , $V(X)$ , $\sigma(X)$ .

Câu 2. Xác suất một học sinh giải đúng một bài toán là $0{,}6$ . Trong bài kiểm tra có $5$ bài toán độc lập nhau. a) Tính xác suất học sinh làm đúng đúng $3$ bài. b) Tính xác suất học sinh làm đúng ít nhất $4$ bài. c) Kì vọng số bài làm đúng là bao nhiêu?

Câu 3. Trong một nhà máy, xác suất mỗi sản phẩm đạt chuẩn là $0{,}95$ . Lô hàng $50$ sản phẩm. Tính kì vọng và phương sai số sản phẩm đạt chuẩn.

Câu 4. Biết $X \sim B(n; 0{,}4)$ và $E(X) = 8$ . Tính $n$ , $V(X)$ , $\sigma(X)$ và xác suất $P(X = E(X))$ .

Câu 5. (Thực tế) Một cầu thủ ném phạt có tỉ lệ vào rổ $70\%$ . Trong trận đấu, anh ta được ném phạt $8$ lần. Tính xác suất anh ta vào rổ ít nhất $6$ lần và kì vọng số lần vào rổ.

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Không giới hạn lần làm