CĐ1 - Bài 2: Phân bố nhị thức và áp dụng

I. Lý thuyết trọng tâm Phân bố nhị thức

1. Phép thử Bernoulli & Định nghĩa

⚡ Phép thử Bernoulli

Phép thử chỉ có hai kết quả có thể xảy ra: **Thành công (T)** với xác suất $p$ hoặc **Thất bại (F)** với xác suất $q = 1 - p$ ($0 < p < 1$).

Một chuỗi $n$ phép thử Bernoulli độc lập được gọi là dãy phép thử Bernoulli.

2. Công thức xác suất Phân bố Nhị thức B(n, p)

⚡ Phân bố Nhị thức $B(n, p)$

Gọi $X$ là số lần thành công trong $n$ phép thử Bernoulli độc lập. Ta nói $X$ có **phân bố nhị thức** với hai tham số $n$ và $p$, ký hiệu $X \sim B(n, p)$.

Xác suất để có đúng $k$ lần thành công được tính theo công thức Bernoulli:

$$P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} \quad (k = 0, 1, 2, \dots, n)$$

3. Kỳ vọng E(X) = np & Phương sai V(X) = np(1-p)

📌 Các đại lượng đặc trưng của Phân bố Nhị thức

**Kỳ vọng (Trung bình):** $E(X) = n p$.
**Phương sai:** $V(X) = n p (1 - p) = n p q$.
**Độ lệch chuẩn:** $\sigma(X) = \sqrt{n p (1-p)}$.

II. Minh họa trực quan & Đồ thị tương tác (JSXGraph)

Đồ thị dưới đây mô phỏng hình dạng phân bố nhị thức $B(n, p)$ khi $n = 10, p = 0.5$ (hình chuông đối xứng).

💡 Mô phỏng 1: Phân bố nhị thức B(10, 0.5) đạt đỉnh cực đại tại k = 5.

III. Các dạng toán trọng tâm (Mỗi dạng kèm ít nhất 3 ví dụ liền)

Dạng 1: Nhận biết phép thử Bernoulli & X ~ B(n, p)

📌 Phương pháp giải Dạng 1

Kiểm tra 3 điều kiện: (1) Số lần thực hiện $n$ cố định; (2) Các lần thử độc lập; (3) Mỗi lần chỉ có 2 kết quả với xác suất $p$ không đổi.

🔍 Ví dụ 1.1 (Nhận biết gieo súc sắc có phải phân bố nhị thức không)

Gieo 1 con súc sắc 5 lần. Gọi $X$ là số lần xuất hiện mặt 6 chấm. Hỏi $X$ có phân bố nhị thức không? Xác định tham số $n, p$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Phép thử gieo súc sắc 5 lần độc lập ($n = 5$).

• Mỗi lần gieo chỉ có 2 kết quả: "Mặt 6 chấm" (Thành công, $p = 1/6$) hoặc "Không ra mặt 6 chấm" ($q = 5/6$).

• Vậy $X$ tuân theo phân bố nhị thức $X \sim B(5; 1/6)$.

🔍 Ví dụ 1.2 (Bắn đạn độc lập vào mục tiêu)

Một xạ thủ bắn 8 phát đạn độc lập vào bia, xác suất trúng mỗi phát là 0,7. Gọi $Y$ là số phát trúng bia. Xác định phân bố của $Y$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Dãy 8 phép thử độc lập ($n = 8$), xác suất trúng $p = 0,7$ không đổi.

• Do đó $Y \sim B(8; 0,7)$.

🔍 Ví dụ 1.3 (Phân biệt trường hợp rút không hoàn lại)

Một hộp có 6 bi đỏ và 4 bi xanh. Rút 3 bi lần lượt không hoàn lại. Gọi $Z$ là số bi đỏ rút được. $Z$ có phân bố nhị thức không?

💡Xem lời giải chi tiết

• Vì rút **không hoàn lại** nên số bi trong hộp thay đổi sau mỗi lần rút, dẫn tới các lần rút **không độc lập** và xác suất rút bi đỏ $p$ thay đổi.

• Kết luận: $Z$ **không phải** biến ngẫu nhiên nhị thức.

Dạng 2: Tính xác suất P(X = k) bằng công thức Bernoulli

📌 Phương pháp giải Dạng 2

Áp dụng công thức $P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$. Thay $n, p, k$ vào tính toán số học hoặc bấm máy tính.

🔍 Ví dụ 2.1 (Tính xác suất đúng k câu trong bài thi trắc nghiệm)

Bài thi gồm 5 câu trắc nghiệm (mỗi câu 4 phương án, 1 đúng). Học sinh khoanh bừa. Tính xác suất học sinh đó trả lời đúng 3 câu.

💡Xem lời giải chi tiết

• $X \sim B(5; 0,25)$.

• $P(X = 3) = C_5^3 (0,25)^3 (0,75)^{5-3} = 10 \times 0,015625 \times 0,5625 = 0,08789$ (tức khoảng 8,79%).

🔍 Ví dụ 2.2 (Tính xác suất 2 lần ra mặt 6 chấm khi gieo 6 lần)

Gieo 6 lần một con súc sắc cân đối. Tính xác suất để ra đúng 2 lần mặt 6 chấm.

💡Xem lời giải chi tiết

• $X \sim B(6; 1/6)$.

• $P(X = 2) = C_6^2 \left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(\frac{5}{6}\right)^4 = 15 \times \frac{1}{36} \times \frac{625}{1296} = \frac{3125}{15552} \approx 0,2009$.

🔍 Ví dụ 2.3 (Bài toán sinh con trai/con gái trong gia đình)

Xác suất sinh con trai là 0,51. Một gia đình có 4 đứa con. Tính xác suất gia đình đó có đúng 2 con trai.

💡Xem lời giải chi tiết

• $X \sim B(4; 0,51)$.

• $P(X = 2) = C_4^2 (0,51)^2 (0,49)^2 = 6 \times 0,2601 \times 0,2401 \approx 0,3747$ (tức 37,47%).

Dạng 3: Tính xác suất tích lũy P(X >= k) hoặc P(X <= k)

📌 Phương pháp giải Dạng 3

Ít nhất k lần $P(X \ge k)$: Cộng tổng $\sum_{i=k}^n P(X = i)$ hoặc dùng biến cố đối $1 - P(X < k)$.
Nhiều nhất k lần $P(X \le k)$: Cộng tổng $\sum_{i=0}^k P(X = i)$.

🔍 Ví dụ 3.1 (Tính xác suất ít nhất 1 lần thành công)

Một xạ thủ bắn 4 phát đạn độc lập, xác suất trúng mỗi phát là 0,8. Tính xác suất xạ thủ đó bắn trúng mục tiêu ít nhất 1 phát.

💡Xem lời giải chi tiết

• $X \sim B(4; 0,8)$. Biến cố đối là "trượt cả 4 phát" $X = 0$.

• $P(X = 0) = (1 - 0,8)^4 = (0,2)^4 = 0,0016$.

• $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0,0016 = 0,9984$ (tức 99,84%).

🔍 Ví dụ 3.2 (Tính xác suất đỗ bài kiểm tra có từ 3 câu đúng trở lên)

Một bài thi gồm 4 câu trắc nghiệm (mỗi câu 4 phương án, 1 đúng). Học sinh làm bừa. Học sinh đỗ nếu đúng từ 3 câu trở lên. Tính xác suất đỗ.

💡Xem lời giải chi tiết

• $P(X \ge 3) = P(X = 3) + P(X = 4)$.

• $P(X = 3) = C_4^3 (0,25)^3 (0,75)^1 = 4 \times 0,015625 \times 0,75 = 0,046875$.

• $P(X = 4) = C_4^4 (0,25)^4 (0,75)^0 = (0,25)^4 = 0,00390625$.

• $P(X \ge 3) = 0,046875 + 0,00390625 = 0,05078125$ (tức khoảng 5,08%).

🔍 Ví dụ 3.3 (Xác suất có không quá 1 phế phẩm khi kiểm tra 5 sản phẩm)

Tỷ lệ phế phẩm của dây chuyền là 4%. Kiểm tra 5 sản phẩm ngẫu nhiên. Tính xác suất lô hàng có không quá 1 phế phẩm ($X \le 1$).

💡Xem lời giải chi tiết

• $P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$.

• $P(X = 0) = (0,96)^5 \approx 0,81537$.

• $P(X = 1) = C_5^1 (0,04)^1 (0,96)^4 = 5 \times 0,04 \times 0,84934 = 0,16987$.

• $P(X \le 1) = 0,81537 + 0,16987 = 0,98524$ (tức 98,52%).

Dạng 4: Tính kỳ vọng E(X), phương sai V(X) và độ lệch chuẩn

📌 Phương pháp giải Dạng 4

Sử dụng trực tiếp $E(X) = np$, $V(X) = np(1-p)$ và $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$. Không cần lập bảng phân bố xác suất rườm rà!

🔍 Ví dụ 4.1 (Tính các đại lượng đặc trưng của X ~ B(100; 0.2))

Cho $X \sim B(100; 0,2)$. Tính $E(X), V(X)$ và $\sigma(X)$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Kỳ vọng: $E(X) = np = 100 \times 0,2 = 20$.

• Phương sai: $V(X) = np(1-p) = 100 \times 0,2 \times 0,8 = 16$.

• Độ lệch chuẩn: $\sigma(X) = \sqrt{16} = 4$.

🔍 Ví dụ 4.2 (Xác định tham số n, p từ E(X) và V(X))

Biết $X \sim B(n, p)$ có $E(X) = 6$ và $V(X) = 2,4$. Tìm $n$ và $p$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Ta có $\frac{V(X)}{E(X)} = \frac{np(1-p)}{np} = 1 - p = \frac{2,4}{6} = 0,4 \Rightarrow p = 0,6$.

• $np = 6 \Rightarrow n(0,6) = 6 \Rightarrow n = 10$.

• Kết luận: $X \sim B(10; 0,6)$.

🔍 Ví dụ 4.3 (Kỳ vọng số sản phẩm hỏng của đơn hàng lớn)

Một công ty nhập 500 bóng đèn, tỷ lệ lỗi nhà sản xuất là 1%. Tìm số bóng đèn hỏng trung bình và độ lệch chuẩn của số bóng hỏng.

💡Xem lời giải chi tiết

• $E(X) = 500 \times 0,01 = 5$ bóng hỏng.

• $V(X) = 500 \times 0,01 \times 0,99 = 4,95 \Rightarrow \sigma(X) = \sqrt{4,95} \approx 2,22$ bóng.

Dạng 5: Tìm số phép thử n tối thiểu để đạt xác suất cho trước

📌 Phương pháp giải Dạng 5

Yêu cầu: $P(X \ge 1) \ge \alpha \Leftrightarrow 1 - (1-p)^n \ge \alpha \Leftrightarrow (1-p)^n \le 1 - \alpha$.
Giải bất phương trình mũ: $n \ge \log_{1-p}(1 - \alpha) = \frac{\ln(1-\alpha)}{\ln(1-p)}$.

🔍 Ví dụ 5.1 (Số phát bắn tối thiểu để có ít nhất 1 phát trúng >= 99%)

Một xạ thủ có xác suất trúng mỗi phát là 0,4. Hỏi xạ thủ đó cần bắn tối thiểu bao nhiêu phát để xác suất trúng mục tiêu ít nhất 1 phát đạt từ 99% trở lên?

💡Xem lời giải chi tiết

• $P(X \ge 1) = 1 - (1 - 0,4)^n = 1 - (0,6)^n \ge 0,99$.

• $(0,6)^n \le 0,01 \Leftrightarrow n \ge \log_{0,6}(0,01) = \frac{\ln(0,01)}{\ln(0,6)} \approx 9,015$.

• Vì $n \in \mathbb{N}^*$ nên xạ thủ cần bắn tối thiểu $n = 10$ phát đạn.

🔍 Ví dụ 5.2 (Số hạt giống cần gieo để có ít nhất 1 hạt nảy mầm)

Tỷ lệ nảy mầm của hạt giống là 80% ($p = 0,8$). Hỏi cần gieo tối thiểu bao nhiêu hạt để xác suất có ít nhất 1 hạt nảy mầm đạt từ 99,9% trở lên?

💡Xem lời giải chi tiết

• $1 - (0,2)^n \ge 0,999 \Leftrightarrow (0,2)^n \le 0,001$.

• $n \ge \log_{0,2}(0,001) = \frac{\ln(0,001)}{\ln(0,2)} = 4,29$.

• Cần gieo tối thiểu $n = 5$ hạt giống.

🔍 Ví dụ 5.3 (Số lượt thử chìa khóa mở cửa)

Mỗi lần bấm chìa khóa từ xa có xác suất mở được cửa là 0,3. Cần bấm tối thiểu bao nhiêu lần để cửa mở thành công ít nhất 1 lần với xác suất không dưới 95%?

💡Xem lời giải chi tiết

• $1 - (0,7)^n \ge 0,95 \Leftrightarrow (0,7)^n \le 0,05 \Rightarrow n \ge \frac{\ln(0,05)}{\ln(0,7)} \approx 8,39$.

• Cần bấm tối thiểu $n = 9$ lần.

Dạng 6: Bài toán ứng dụng kiểm định sản phẩm & sinh học

📌 Phương pháp giải Dạng 6

Áp dụng phân bố nhị thức vào quy trình lấy mẫu kiểm định lô hàng (AQL), ước tính tỷ lệ cá trong hồ, di truyền học Mendel.

🔍 Ví dụ 6.1 (Kiểm định chất lượng nghiệm thu lô hàng AQL)

Một lô hàng được nghiệm thu nếu kiểm tra ngẫu nhiên 10 sản phẩm mà có không quá 1 phế phẩm. Biết tỷ lệ phế phẩm thực tế của lô hàng là 5%. Tính xác suất lô hàng được nghiệm thu.

💡Xem lời giải chi tiết

• $X \sim B(10; 0,05)$. Lô hàng được nghiệm thu khi $X \le 1$.

• $P(X = 0) = (0,95)^{10} \approx 0,5987$.

• $P(X = 1) = C_{10}^1 (0,05)^1 (0,95)^9 = 10 \times 0,05 \times 0,6302 = 0,3151$.

• $P(X \le 1) = 0,5987 + 0,3151 = 0,9138$ (tức 91,38%).

🔍 Ví dụ 6.2 (Ứng dụng di truyền học Mendel)

Theo định luật Mendel, xác suất sinh con hoa đỏ ở thế hệ F2 khi lai hai cây hoa hồng dị hợp là $3/4$. Lai 6 cây hoa hồng F2, tính xác suất thu được 4 cây hoa đỏ.

💡Xem lời giải chi tiết

• $X \sim B(6; 0,75)$.

• $P(X = 4) = C_6^4 (0,75)^4 (0,25)^2 = 15 \times 0,3164 \times 0,0625 \approx 0,2966$ (tức 29,66%).

🔍 Ví dụ 6.3 (Ước tính số lượng cá đánh bắt trong hồ)

Người ta đánh bắt 100 con cá, đánh dấu rồi thả lại vào hồ. Hôm sau đánh bắt 20 con cá độc lập. Biết tỷ lệ cá đánh dấu trong hồ là 10%. Tính xác suất bắt được 2 con cá có đánh dấu.

💡Xem lời giải chi tiết

• $X \sim B(20; 0,10)$.

• $P(X = 2) = C_{20}^2 (0,10)^2 (0,90)^{18} = 190 \times 0,01 \times 0,1501 \approx 0,2852$ (tức 28,52%).

🎯 IV. Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Dưới đây là 10 câu hỏi trắc nghiệm động (tự tạo số ngẫu nhiên & chấm điểm trực tiếp) giúp bạn củng cố toàn bộ kiến thức bài học.

Câu 1:🎲 Câu hỏi động

Biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo phân bố nhị thức $B(n, p)$. Công thức tính xác suất $P(X = k)$ là:

Câu 2:🎲 Câu hỏi động

Cho $X \sim B(10, 0.3)$. Kỳ vọng $E(X)$ của phân bố nhị thức bằng:

Câu 3:🎲 Câu hỏi động

Cho $X \sim B(12, 0.3)$. Phương sai $V(X)$ bằng:

Câu 4:🎲 Câu hỏi động

Cho $X \sim B(13, 0.3)$. Độ lệch chuẩn $\sigma(X)$ bằng:

Câu 5:🎲 Câu hỏi động

Một người bắn 5 phát đạn độc lập, xác suất trúng mỗi phát là !p:0.6:0.8!. Gọi $X$ là số phát trúng. $X$ có phân bố nhị thức nào?

Câu 6:🎲 Câu hỏi động

Gieo 5 con súc sắc cân đối. Gọi $X$ là số con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm. Xác suất $P(X = 0)$ bằng:

Câu 7:🎲 Câu hỏi động

Biết $X \sim B(n, p)$ có $E(X) = 7$ và $V(X) = 4$. Giá trị của $p$ là:

Câu 8:🎲 Câu hỏi động

Với dữ liệu câu trên ($E(X) = -7$, $V(X) = 6$), số phép thử $n$ bằng:

Câu 9:🎲 Câu hỏi động

Một bài thi trắc nghiệm gồm 10 câu hỏi, mỗi câu 4 phương án (1 phương án đúng). Một học sinh khoanh ngẫu nhiên. Số câu đúng trung bình học sinh đó đạt được là:

Câu 10:🎲 Câu hỏi động

Tỷ lệ phế phẩm của một máy là 5%. Kiểm tra ngẫu nhiên 100 sản phẩm. Phương sai của số phế phẩm phát hiện là:

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Phân bố nhị thức

Rèn luyện trắc nghiệm động với giải thích chi tiết — mở ngay giao diện thi thử trực tuyến!

🚀 Làm bài trắc nghiệm ngay →

Miễn phí · Giao diện mượt mà · Tự động chấm điểm

📝 Bài tập tự luận tổng hợp (Bài tập về nhà)

📝 Bài tập tự luận Phân bố nhị thức (5 Bài lớn phân loại)

Bài 1 (Cơ bản). Cho $X \sim B(8; 0,3)$.

a) Tính $P(X = 3)$.

b) Tính $E(X), V(X)$ và $\sigma(X)$.

💡Xem lời giải Bài 1

a) $P(X = 3) = C_8^3 (0,3)^3 (0,7)^5 = 56 \times 0,027 \times 0,16807 \approx 0,2541$.

b) $E(X) = 8 \times 0,3 = 2,4$; $V(X) = 8 \times 0,3 \times 0,7 = 1,68 \Rightarrow \sigma(X) \approx 1,296$.

Bài 2 (Thông hiểu — Bài thi trắc nghiệm). Một đề thi gồm 10 câu trắc nghiệm (mỗi câu 4 phương án, 1 đúng). Học sinh làm ngẫu nhiên.

a) Tính xác suất học sinh đúng 5 câu.

b) Tính xác suất học sinh đúng ít nhất 1 câu.

💡Xem lời giải Bài 2

a) $P(X = 5) = C_{10}^5 (0,25)^5 (0,75)^5 = 252 \times 0,00097656 \times 0,2373 \approx 0,0584$.

b) $P(X \ge 1) = 1 - (0,75)^{10} \approx 1 - 0,0563 = 0,9437$.

Bài 3 (Vận dụng — Tìm n tối thiểu). Xác suất bắn trúng mục tiêu của một khẩu pháo là 0,3. Cần bắn ít nhất bao nhiêu quả đạn để mục tiêu bị trúng ít nhất 1 quả với xác suất lớn hơn 95%?

💡Xem lời giải Bài 3

• $1 - (0,7)^n > 0,95 \Leftrightarrow (0,7)^n < 0,05 \Rightarrow n > \frac{\ln(0,05)}{\ln(0,7)} \approx 8,39$.

• Cần bắn tối thiểu 9 quả đạn.

Bài 4 (Vận dụng cao — Tìm giá trị k có xác suất lớn nhất). Cho $X \sim B(15; 0,4)$. Giá trị $k$ nào có xác suất $P(X = k)$ đạt giá trị lớn nhất?

💡Xem lời giải Bài 4

• Số $k_0$ thỏa mãn: $(n+1)p - 1 \le k_0 \le (n+1)p$.

• $(15+1)0,4 - 1 \le k_0 \le (15+1)0,4 \Leftrightarrow 5,4 \le k_0 \le 6,4 \Rightarrow k_0 = 6$.

Bài 5 (Thực tế Nông nghiệp). Gieo 100 hạt giống ngô với tỷ lệ nảy mầm 90%. Tìm kỳ vọng và phương sai của số hạt ngô nảy mầm.

💡Xem lời giải Bài 5

• $E(X) = 100 \times 0,9 = 90$ hạt.

• $V(X) = 100 \times 0,9 \times 0,1 = 9 \Rightarrow \sigma(X) = 3$ hạt.