Bài 11: Nguyên hàm — Sách Toán THPT

I. Lý thuyết

1. Khái niệm nguyên hàm

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên khoảng $K$ . Hàm số $F(x)$ được gọi là nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ nếu $F'(x) = f(x)$ với mọi $x \in K$ .

Định lý: Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ thì mọi nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ đều có dạng $F(x) + C$ , với $C$ là hằng số.

2. Tính chất của nguyên hàm

$\int f'(x) dx = f(x) + C$ .
$\int k f(x) dx = k \int f(x) dx$ (với $k \neq 0$ ).
$\int [f(x) \pm g(x)] dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$ .

3. Bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản

Hàm số $f(x)$	Nguyên hàm $\int f(x) dx$
$0$	$C$
$1$	$x + C$
$x^\alpha$ ( $\alpha \neq -1$ )	$\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln
$e^x$	$e^x + C$
$a^x$ ( $0 < a \neq 1$ )	$\dfrac{a^x}{\ln a} + C$
$\cos x$	$\sin x + C$
$\sin x$	$-\cos x + C$
$\dfrac{1}{\cos^2 x}$	$\tan x + C$
$\dfrac{1}{\sin^2 x}$	$-\cot x + C$

🔷 Dạng 1: Tìm nguyên hàm bằng bảng công thức cơ bản

📌 Phương pháp giải

Phương pháp: Sử dụng trực tiếp bảng nguyên hàm và các tính chất cơ bản (tách tổng, đưa hằng số ra ngoài).

🔍 Ví dụ 1 (Dễ)

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = x^2 - 3x + 2$ .

💡 Xem lời giải

$F(x) = \int (x^2 - 3x + 2) dx = \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{3x^2}{2} + 2x + C$ .

🔍 Ví dụ 2 (Dễ)

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \dfrac{1}{x} + \sin x$ .

💡 Xem lời giải

$F(x) = \ln|x| - \cos x + C$ .

🔍 Ví dụ 3 (Trung bình)

Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = e^x - \dfrac{1}{\cos^2 x}$ biết $F(0) = 1$ .

💡 Xem lời giải

$F(x) = e^x - \tan x + C$ .
$F(0) = e^0 - \tan 0 + C = 1 \Rightarrow 1 - 0 + C = 1 \Rightarrow C = 0$ .
Vậy $F(x) = e^x - \tan x$ .

🔍 Ví dụ 4 (Trung bình)

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = (2x + 1)^2$ .

💡 Xem lời giải

$f(x) = 4x^2 + 4x + 1$ . $F(x) = \dfrac{4x^3}{3} + 2x^2 + x + C$ .

🔍 Ví dụ 5 (Khó)

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x}$ .

💡 Xem lời giải

$f(x) = x - \dfrac{1}{x}$ . $F(x) = \dfrac{x^2}{2} - \ln|x| + C$ .

📝 Thực hành — Dạng 1

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = x^3$ là:

Nguyên hàm của $\\\\sin x$ là:

Tìm nguyên hàm của $f(x) = 2^x$.

Đúng / SaiXét các khẳng định sau về nguyên hàm:

a)$\\int 0 dx = C$

b)$\\int \\frac{1}{x} dx = \\ln x + C$

c)$\\int e^x dx = e^x + C$

d)$\\int x dx = \\frac{x^2}{2} + C$

Tìm hằng số C biết $F(x) = x^2 + C$ là nguyên hàm của $f(x)=2x$ and $F(1)=5$.

🔷 Dạng 2: Tìm nguyên hàm thỏa mãn điều kiện cho trước

📌 Phương pháp giải

Phương pháp:

Tìm họ nguyên hàm $F(x) + C$ .
Thay giá trị $x_0, y_0$ vào để giải phương trình tìm $C$ .
Kết luận hàm $F(x)$ cụ thể.

🔍 Ví dụ 1 (Dễ)

Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = 3x^2$ thỏa mãn $F(1) = 4$ .

💡 Xem lời giải

$F(x) = x^3 + C$ .
$F(1) = 1^3 + C = 4 \Rightarrow C = 3$ .
Vậy $F(x) = x^3 + 3$ .

🔍 Ví dụ 2 (Dễ)

Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x) = \sin x$ và đồ thị hàm số $F(x)$ đi qua điểm $M(\pi; 2)$ .

💡 Xem lời giải

$F(x) = -\cos x + C$ .
$F(\pi) = -\cos \pi + C = 1 + C = 2 \Rightarrow C = 1$ .
Vậy $F(x) = 1 - \cos x$ .

🔍 Ví dụ 3 (Trung bình)

Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = \dfrac{1}{2x+1}$ biết $F(0) = 1$ .

💡 Xem lời giải

$F(x) = \dfrac{1}{2} \ln|2x+1| + C$ .
$F(0) = 0.5 \ln 1 + C = 1 \Rightarrow C = 1$ .
Vậy $F(x) = \dfrac{1}{2} \ln|2x+1| + 1$ .

🔍 Ví dụ 4 (Trung bình)

Tìm nguyên hàm $F(x)$ của $f(x) = \sqrt{x}$ thỏa mãn $F(4) = 7$ .

💡 Xem lời giải

$F(x) = \int x^{1/2} dx = \dfrac{x^{3/2}}{3/2} + C = \dfrac{2\sqrt{x^3}}{3} + C$ .
$F(4) = \dfrac{2 \cdot 8}{3} + C = \dfrac{16}{3} + C = 7 \Rightarrow C = 7 - 16/3 = 5/3$ .

🔍 Ví dụ 5 (Khó)

Tìm hàm số $F(x)$ biết $F''(x) = 6x$ , $F'(0) = 2$ và $F(1) = 3$ .

💡 Xem lời giải

$F'(x) = \int 6x dx = 3x^2 + C_1$ . Vì $F'(0)=2 \Rightarrow C_1=2 \Rightarrow F'(x) = 3x^2 + 2$ .
$F(x) = \int (3x^2 + 2) dx = x^3 + 2x + C_2$ . Vì $F(1)=3 \Rightarrow 1+2+C_2=3 \Rightarrow C_2=0$ .
Vậy $F(x) = x^3 + 2x$ .

📝 Thực hành — Dạng 2

Cho $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x) = 4x^3$ and $F(0) = 1$. Khi đó $F(1)$ bằng:

Biết $F(x)$ là nguyên hàm của $1/x$ and $F(1) = 5$. Tìm $F(x)$.

Hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x) = e^x$. Nếu $F(0) = e$, tìm $F(1)$.

Đúng / SaiCho hàm số $f(x) = 2x - 2$ and $F(x)$ là một nguyên hàm thỏa $F(2) = 2$:

a)Họ nguyên hàm là $x^2 - 2x + C$

b)Hệ số C bằng 2

c)$F(x) = x^2 - 2x + 2$

d)Giá trị cực tiểu của F(x) là 1

Tìm giá trị $F(1)$ biết $F'(x) = 12x^2$ and $F(0) = 2$.

🔷 Dạng 3: Bài toán thực tế ứng dụng nguyên hàm

📌 Phương pháp giải

Phương pháp: Sử dụng mối quan hệ:

Nguyên hàm của vận tốc $v(t)$ là quãng đường $s(t)$ .
Nguyên hàm của gia tốc $a(t)$ là vận tốc $v(t)$ .
Tốc độ biến thiên của một đại lượng (lưu lượng, dân số…) chính là đạo hàm của đại lượng đó.

🔍 Ví dụ 1 (Dễ)

Một vật chuyển động với vận tốc $v(t) = 3t^2$ (m/s). Tìm công thức tính quãng đường $s(t)$ biết lúc bắt đầu ( $t=0$ ) vật đang ở vị trí gốc tọa độ ( $s=0$ ).

💡 Xem lời giải

$s(t) = \int 3t^2 dt = t^3 + C$ . Vì $s(0) = 0 \Rightarrow C = 0$ . Vậy $s(t) = t^3$ (m).

🔍 Ví dụ 2 (Dễ)

Gia tốc của một vật là $a(t) = 10$ (m/s²). Tìm vận tốc $v(t)$ biết vận tốc ban đầu là 5 m/s.

💡 Xem lời giải

$v(t) = \int 10 dt = 10t + C$ . Vì $v(0) = 5 \Rightarrow C = 5$ . Vậy $v(t) = 10t + 5$ (m/s).

🔍 Ví dụ 3 (Trung bình)

Tốc độ tăng trưởng lượng vi khuẩn trong một thí nghiệm được mô tả bởi $f(x) = 100 \cdot e^x$ (con/giờ). Biết ban đầu có 1000 con vi khuẩn. Hỏi sau $x$ giờ có bao nhiêu con?

💡 Xem lời giải

$N(x) = \int 100e^x dx = 100e^x + C$ . $N(0) = 100 + C = 1000 \Rightarrow C = 900$ . Vậy $N(x) = 100e^x + 900$ .

🔍 Ví dụ 4 (Khó)

Một quả bóng được ném thẳng đứng từ độ cao 20m với vận tốc ban đầu 15 m/s. Tìm độ cao quả bóng theo thời gian (biết gia tốc trọng trường $g = -10 m/s^2$ ).

💡 Xem lời giải

$v(t) = \int -10 dt = -10t + 15$ .
$h(t) = \int (-10t + 15) dt = -5t^2 + 15t + C$ .
$h(0) = 20 \Rightarrow C = 20$ .
Vậy $h(t) = -5t^2 + 15t + 20$ .

📝 Thực hành — Dạng 3

Quãng đường là nguyên hàm của đại lượng nào?

Vận tốc là nguyên hàm của đại lượng nào?

Một hạt chuyển động with $v(t)=2t+1$. Quãng đường đi được sau t giây (s(0)=0) là:

Đúng / SaiMột vật rơi tự do with gia tốc $a(t) = 10 m/s^2$:

a)Vận tốc tăng dần theo thời gian

b)Vận tốc $v(t) = 10t + C$

c)Quãng đường là hàm bậc hai theo t

d)Tại t=0 vật có vận tốc bằng 0 thì v(t)=10t

Tính vận tốc của vật tại t=2 giây biết $a(t) = 6t$ and $v(0)=0$.

📝 Bài tập tự luận — Tổng hợp

Câu 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) $f(x) = 4x^3 - 2x + 5$ b) $f(x) = \dfrac{1}{x^2} + \sqrt{x}$ c) $f(x) = 2\sin x + 3\cos x$

Câu 2. Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = e^x + 2x$ thỏa mãn $F(0) = 3$ .

Câu 3. Cho hàm số $f(x) = \dfrac{1}{x+2}$ . a) Tìm họ nguyên hàm của $f(x)$ . b) Xác định nguyên hàm $F(x)$ biết đồ thị của nó đi qua điểm $A(-1; 4)$ .

Câu 4. Một vật đang chuyển động với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc $a(t) = 2t + 1$ (m/s²). Tính vận tốc của vật sau 3 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.

Câu 5. Một hồ nước đang bị ô nhiễm, tốc độ vi khuẩn tăng thêm được tính bằng công thức $f'(t) = \dfrac{200}{t+1}$ (con/ngày), với $t$ là số ngày tính từ khi quan trắc. Biết ngày đầu tiên ( $t=0$ ) có 5000 con vi khuẩn. a) Thiết lập công thức tính số lượng vi khuẩn $f(t)$ . b) Sau 10 ngày, số lượng vi khuẩn trong hồ là bao nhiêu (làm tròn đến hàng đơn vị)?

✏️ Luyện tập trắc nghiệm →

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Không giới hạn lần làm