Bài 17: Hàm số liên tục

I. Hàm số liên tục tại một điểm

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; b)$ chứa điểm $x_0$ . Hàm số $f(x)$ được gọi là liên tục tại điểm $x_0$ nếu: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

II. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn

Trên một khoảng: Hàm số liên tục trên $(a; b)$ nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
Trên một đoạn: Hàm số liên tục trên $[a; b]$ $[a; b]$ nếu nó liên tục trên $(a; b)$ $(a; b)$ và:
- $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$
- $\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$

III. Một số định lý cơ bản

Hàm số đa thức liên tục trên $\mathbb{R}$ .
Hàm số phân thức hữu tỉ, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định.
Nếu $f(x)$ và $g(x)$ liên tục tại $x_0$ thì tổng, hiệu, tích, thương (với $g(x_0) \neq 0$ ) của chúng cũng liên tục tại $x_0$ .

IV. Định lý giá trị trung gian

⚡ Định lý

Nếu hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$ và $f(a) \cdot f(b) < 0$ thì tồn tại ít nhất một điểm $c \in (a; b)$ sao cho $f(c) = 0$ . (Ý nghĩa: Phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm trong khoảng $(a; b)$ ).

🔷 Dạng toán: Chứng minh phương trình có nghiệm

🔍 Ví dụ

Chứng minh phương trình $x^3 + x - 1 = 0$ có ít nhất một nghiệm trong $(0; 1)$ .

💡 Xem lời giải

Xét hàm số $f(x) = x^3 + x - 1$ . Đây là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$ , do đó liên tục trên $[0; 1]$ .

$f(0) = 0^3 + 0 - 1 = -1 < 0$ .
$f(1) = 1^3 + 1 - 1 = 1 > 0$ . Vì $f(0) \cdot f(1) < 0$ nên theo định lý giá trị trung gian, phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng $(0; 1)$ .

📝 Bài tập trắc nghiệm

Hàm số nào sau đây liên tục trên $\mathbb{R}$?

Điều kiện để hàm số $f(x)$ liên tục tại $x_0$ là:

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Không giới hạn lần làm