Bài 15: Giới hạn của dãy số

I. Giới hạn hữu hạn của dãy số

📌 Định nghĩa Giới hạn 0 và Giới hạn hữu hạn

Dãy số $(u_n)$ có giới hạn bằng 0 khi $n \to +\infty$ nếu $|u_n|$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$ (viết gọn là $\lim u_n = 0$).
Dãy số $(u_n)$ có giới hạn là số thực $L$ nếu $\lim (u_n - L) = 0$, kí hiệu $\lim u_n = L$.

Các giới hạn đặc biệt:

$\lim \dfrac{1}{n^k} = 0$ với mọi $k > 0$.
$\lim q^n = 0$ nếu $|q| < 1$.
$\lim c = c$ (với $c$ là hằng số).

II. Định lí về giới hạn hữu hạn

⚡ Các phép toán trên giới hạn hữu hạn

Giả sử $\lim u_n = L$ và $\lim v_n = M$. Khi đó:

$\lim (u_n + v_n) = L + M$
$\lim (u_n - v_n) = L - M$
$\lim (u_n \cdot v_n) = L \cdot M$
$\lim \dfrac{u_n}{v_n} = \dfrac{L}{M}$ (với $M \ne 0$)
Nếu $u_n \ge 0$ thì $L \ge 0$ và $\lim \sqrt{u_n} = \sqrt{L}$.

III. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

⚡ Công thức tính Tổng $S$

Cấp số nhân vô hạn $(u_n)$ có công bội $q$ thỏa mãn $|q| < 1$ gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đó được tính bằng công thức:

$$S = u_1 + u_2 + \dots + u_n + \dots = \dfrac{u_1}{1 - q}$$

IV. Giới hạn vô cực của dãy số

📌 Các giới hạn vô cực cơ bản

$\lim n^k = +\infty$ với $k > 0$.
$\lim q^n = +\infty$ với $q > 1$.

🔷 Dạng 1: Giới hạn dãy phân thức $P(n)/Q(n)$

📌 Phương pháp giải

Chia cả tử và mẫu cho $n^k$ với $k$ là số mũ cao nhất của $n$ ở mẫu.
Áp dụng các giới hạn cơ bản $\lim \dfrac{1}{n^p} = 0$.

🔍 Ví dụ 1 (Tính giới hạn phân thức)

Tính giới hạn $L = \lim \dfrac{3n^2 - 2n + 5}{2n^2 + 7}$.

💡 Xem lời giải

Chia cả tử và mẫu cho $n^2$:

$$L = \lim \dfrac{3 - \dfrac{2}{n} + \dfrac{5}{n^2}}{2 + \dfrac{7}{n^2}} = \dfrac{3 - 0 + 0}{2 + 0} = \dfrac{3}{2}$$

🔍 Ví dụ 2

Tính $L = \lim \dfrac{n^3 + 2n}{5n^2 - 1}$.

💡 Xem lời giải

Chia cả tử và mẫu cho $n^2$:

$$L = \lim \dfrac{n + \dfrac{2}{n}}{5 - \dfrac{1}{n^2}}$$

Vì $\lim \left(n + \dfrac{2}{n}\right) = +\infty$ và $\lim \left(5 - \dfrac{1}{n^2}\right) = 5 > 0$, do đó $L = +\infty$.

📝 Thực hành — Dạng 1

✏️ Bài tập 1.1

Tính $L = \lim \dfrac{4n + 1}{n^2 + 3}$.

💡 Xem lời giải

Chia cả tử và mẫu cho $n^2$: $L = \lim \dfrac{\dfrac{4}{n} + \dfrac{1}{n^2}}{1 + \dfrac{3}{n^2}} = \dfrac{0}{1} = 0$.

✏️ Bài tập 1.2

Tính $L = \lim \dfrac{(2n-1)(n+3)}{n^2 + 5}$.

💡 Xem lời giải

Tử số $= 2n^2 + 5n - 3$. $L = \lim \dfrac{2n^2 + 5n - 3}{n^2 + 5} = 2$.

🔷 Dạng 2: Giới hạn chứa căn thức (∞ - ∞)

📌 Phương pháp giải

Nếu có dạng vô định $\infty - \infty$, nhân liên hợp: $$\sqrt{A} - \sqrt{B} = \dfrac{A - B}{\sqrt{A} + \sqrt{B}}$$
Sau khi nhân liên hợp, chia tử và mẫu cho bậc cao nhất của $n$.

🔍 Ví dụ 1 (Nhân liên hợp)

Tính $L = \lim \left(\sqrt{n^2 + 2n} - n\right)$.

💡 Xem lời giải

Nhân liên hợp với biểu thức $\sqrt{n^2 + 2n} + n$:

$$L = \lim \dfrac{(n^2 + 2n) - n^2}{\sqrt{n^2 + 2n} + n} = \lim \dfrac{2n}{\sqrt{n^2 + 2n} + n}$$

Chia cả tử và mẫu cho $n$:

$$L = \lim \dfrac{2}{\sqrt{1 + \dfrac{2}{n}} + 1} = \dfrac{2}{\sqrt{1} + 1} = 1$$

🔍 Ví dụ 2

Tính $L = \lim \left(\sqrt{4n^2 + n} - 2n\right)$.

💡 Xem lời giải

$$L = \lim \dfrac{(4n^2 + n) - 4n^2}{\sqrt{4n^2 + n} + 2n} = \lim \dfrac{n}{\sqrt{4n^2 + n} + 2n} = \lim \dfrac{1}{\sqrt{4 + \dfrac{1}{n}} + 2} = \dfrac{1}{2 + 2} = \dfrac{1}{4}$$

📝 Thực hành — Dạng 2

✏️ Bài tập 2.1

Tính $L = \lim \left(\sqrt{n^2 + 4} - n\right)$.

💡 Xem lời giải

$L = \lim \dfrac{4}{\sqrt{n^2 + 4} + n} = 0$.

✏️ Bài tập 2.2

Tính $L = \lim \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$.

💡 Xem lời giải

$L = \lim \dfrac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = 0$.

🔷 Dạng 3: Giới hạn dãy chứa luỹ thừa $q^n$

📌 Phương pháp giải

Chia cả tử và mẫu cho $c^n$ với $c$ là cơ số lớn nhất ở mẫu.
Áp dụng $\lim q^n = 0$ nếu $|q| < 1$.

🔍 Ví dụ 1

Tính $L = \lim \dfrac{3 \cdot 2^n - 5^n}{2 \cdot 5^n + 4^n}$.

💡 Xem lời giải

Chia cả tử và mẫu cho $5^n$:

$$L = \lim \dfrac{3 \cdot \left(\dfrac{2}{5}\right)^n - 1}{2 + \left(\dfrac{4}{5}\right)^n} = \dfrac{3(0) - 1}{2 + 0} = -\dfrac{1}{2}$$

🔍 Ví dụ 2

Tính $L = \lim \dfrac{3^n + 1}{2^n - 1}$.

💡 Xem lời giải

Chia cả tử và mẫu cho $2^n$:

$$L = \lim \dfrac{\left(\dfrac{3}{2}\right)^n + \left(\dfrac{1}{2}\right)^n}{1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n}$$

Vì $\lim \left(\dfrac{3}{2}\right)^n = +\infty \Rightarrow L = +\infty$.

📝 Thực hành — Dạng 3

✏️ Bài tập 3.1

Tính $L = \lim \dfrac{4^n + 2^n}{4^n - 3^n}$.

💡 Xem lời giải

Chia cho $4^n$: $L = \lim \dfrac{1 + (2/4)^n}{1 - (3/4)^n} = \dfrac{1}{1} = 1$.

✏️ Bài tập 3.2

Tính $L = \lim \dfrac{2^{n+1} + 3^n}{3^{n+1} - 2^n}$.

💡 Xem lời giải

Chia cho $3^n$: $L = \lim \dfrac{2(2/3)^n + 1}{3 - (2/3)^n} = \dfrac{1}{3}$.

🔷 Dạng 4: Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

📌 Phương pháp giải

Xác định số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$.
Kiểm tra $|q| < 1$.
Tính $S = \dfrac{u_1}{1 - q}$.

🔍 Ví dụ 1

Tính tổng $S = 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{8} + \dots + \left(-\dfrac{1}{2}\right)^n + \dots$

💡 Xem lời giải

• Số hạng đầu $u_1 = 1$, công bội $q = -\dfrac{1}{2}$ có $|q| = \dfrac{1}{2} < 1$.

• Tổng $S = \dfrac{u_1}{1 - q} = \dfrac{1}{1 - \left(-\dfrac{1}{2}\right)} = \dfrac{1}{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{2}{3}$.

🔍 Ví dụ 2

Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn $0.333\dots = 0.(3)$ dưới dạng phân số.

💡 Xem lời giải

$0.(3) = 0.3 + 0.03 + 0.003 + \dots = \dfrac{3}{10} + \dfrac{3}{100} + \dfrac{3}{1000} + \dots$

Đây là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1 = \dfrac{3}{10}, q = \dfrac{1}{10}$.

$$S = \dfrac{\dfrac{3}{10}}{1 - \dfrac{1}{10}} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$$

📝 Thực hành — Dạng 4

✏️ Bài tập 4.1

Tính $S = 2 + \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{9} + \dots + \dfrac{2}{3^n} + \dots$

💡 Xem lời giải

$u_1 = 2, q = 1/3 \Rightarrow S = \dfrac{2}{1 - 1/3} = 3$.

✏️ Bài tập 4.2

Đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn $0.666\dots = 0.(6)$ sang phân số.

💡 Xem lời giải

$u_1 = 0.6, q = 0.1 \Rightarrow S = \dfrac{0.6}{0.9} = \dfrac{2}{3}$.

📝 Bài tập tự luận — Tổng hợp

📝 Bài tập tự luận tổng hợp Giới hạn của dãy số (10 bài)

Bài 1. Tính $L = \lim \dfrac{5n^2 - 3n + 1}{2n^2 + 4}$.

💡 Xem lời giải

$L = \dfrac{5}{2}$.

Bài 2. Tính $L = \lim \dfrac{n^2 + 1}{3n^3 + 2n}$.

💡 Xem lời giải

$L = 0$.

Bài 3. Tính $L = \lim \left(\sqrt{n^2 + 6n} - n\right)$.

💡 Xem lời giải

$L = \lim \dfrac{6n}{\sqrt{n^2+6n} + n} = 3$.

Bài 4. Tính $L = \lim \left(\sqrt{9n^2 + 3n} - 3n\right)$.

💡 Xem lời giải

$L = \lim \dfrac{3n}{\sqrt{9n^2+3n} + 3n} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.

Bài 5. Tính $L = \lim \dfrac{5 \cdot 3^n - 4^n}{2 \cdot 4^n + 3^n}$.

💡 Xem lời giải

Chia $4^n \Rightarrow L = -\dfrac{1}{2}$.

Bài 6. Tính tổng $S = 1 + \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{25} + \dots + \dfrac{1}{5^n} + \dots$

💡 Xem lời giải

$u_1 = 1, q = 1/5 \Rightarrow S = \dfrac{1}{1 - 1/5} = \dfrac{5}{4}$.

Bài 7. Tính $L = \lim \left(n^3 - 2n^2 + 1\right)$.

💡 Xem lời giải

$L = +\infty$.

Bài 8. Đổi $0.(12) = 0.121212\dots$ ra phân số tối giản.

💡 Xem lời giải

$u_1 = 0.12, q = 0.01 \Rightarrow S = \dfrac{0.12}{0.99} = \dfrac{12}{99} = \dfrac{4}{33}$.

Bài 9. Tính $L = \lim \dfrac{1 + 2 + 3 + \dots + n}{n^2 + 1}$.

💡 Xem lời giải

Tử số $= \dfrac{n(n+1)}{2}$. $L = \lim \dfrac{n^2 + n}{2n^2 + 2} = \dfrac{1}{2}$.

Bài 10. Nếu $\lim u_n = 2$ và $\lim v_n = -3$ thì $\lim (3u_n - 2v_n)$ bằng bao nhiêu?

💡 Xem lời giải

$3(2) - 2(-3) = 6 + 6 = 12$.

🎯 Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Làm các câu hỏi sau để củng cố toàn bộ kiến thức về Giới hạn của dãy số. Hệ thống sẽ hiển thị kết quả và lời giải chi tiết ngay khi bạn trả lời.

Câu 1:Giới hạn $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^k}$ với $k > 0$ bằng:

Câu 2:Cho $|q| < 1$. Giới hạn $\lim_{n \to +\infty} q^n$ bằng:

Câu 3:Giá trị của $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{2n + 1}{n + 3}$ là:

Câu 4:Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $S = 1 + q + q^2 + \dots + q^n + \dots$ với $|q| < 1$ được tính theo công thức:

Câu 5:Giá trị của $\lim_{n \to +\infty} (n^2 - 3n + 1)$ là:

🎯

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Giới hạn dãy số

Hàng trăm câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra và tự đánh giá năng lực ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Mở trong tab mới