Bài 15: Giới hạn của dãy số

I. Giới hạn hữu hạn của dãy số

1. Dãy số có giới hạn 0

Ta nói dãy số $(u_n)$ có giới hạn là $0$ khi $n$ dần tới dương vô cực, kí hiệu $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$ (hoặc $\lim u_n = 0$), nếu $|u_n|$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Các giới hạn cơ bản:

• $\lim \frac{1}{n} = 0; \quad \lim \frac{1}{n^k} = 0$ ($k \in \mathbb{Z}^+$).
• $\lim q^n = 0$ nếu $|q| < 1$.

2. Dãy số có giới hạn hữu hạn $L$

Ta nói dãy số $(u_n)$ có giới hạn là $L$ khi $n \to +\infty$ nếu $\lim (u_n - L) = 0$. Kí hiệu: $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$.

II. Các định lý về giới hạn hữu hạn

Nếu $\lim u_n = L$ và $\lim v_n = M$ thì:

1. $\lim (u_n \pm v_n) = L \pm M$.
2. $\lim (u_n \cdot v_n) = L \cdot M$.
3. $\lim \left(\frac{u_n}{v_n}\right) = \frac{L}{M}$ (nếu $M \neq 0$).
4. Nếu $u_n \geq 0$ với mọi $n$ thì $L \geq 0$ và $\lim \sqrt{u_n} = \sqrt{L}$.

III. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có công bội $q$ thỏa mãn $|q| < 1$. Tổng của nó được tính bởi công thức: $S = u_1 + u_1q + u_1q^2 + \dots = \frac{u_1}{1 - q}$

IV. Giới hạn vô cực

• $\lim n^k = +\infty$ với $k \in \mathbb{Z}^+$.
• $\lim q^n = +\infty$ nếu $q > 1$.

🔷 Dạng toán: Tính giới hạn của dãy số phân thức

📝 Bài tập trắc nghiệm