Bài 1: Biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng

I. Biến ngẫu nhiên rời rạc

1. Khái niệm

📋 Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ là đại lượng nhận các giá trị là số thực $x_1, x_2, \ldots, x_n$ (hữu hạn hoặc đếm được vô hạn) với các xác suất tương ứng $p_1, p_2, \ldots, p_n$ .

Ví dụ:

$X$ = số mặt ngửa khi tung 3 đồng xu → $X \in \{0, 1, 2, 3\}$ .
$X$ = số sản phẩm lỗi trong 100 sản phẩm → $X \in \{0, 1, 2, \ldots, 100\}$ .

2. Bảng phân phối xác suất

Bảng liệt kê tất cả các giá trị $x_i$ và xác suất $p_i = P(X = x_i)$ :

$X$	$x_1$	$x_2$	$\cdots$	$x_n$
$P$	$p_1$	$p_2$	$\cdots$	$p_n$

⚡ Điều kiện của bảng phân phối xác suất

$p_i \geq 0 \quad \text{với mọi } i \qquad \text{và} \qquad \sum_{i=1}^n p_i = p_1 + p_2 + \cdots + p_n = 1$

II. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc

1. Kì vọng (Giá trị trung bình)

⚡ Kì vọng — E(X)

$E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n = \sum_{i=1}^n x_i p_i$

Kì vọng cho biết giá trị trung bình mà biến ngẫu nhiên $X$ có xu hướng nhận về lâu dài.

Tính chất:

$E(aX + b) = aE(X) + b$ (với $a, b$ là hằng số).
Nếu $X, Y$ độc lập: $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ .

2. Phương sai

⚡ Phương sai — V(X) hay D(X)

$V(X) = \sum_{i=1}^n p_i \bigl(x_i - E(X)\bigr)^2$

Công thức tính nhanh: $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \quad \text{trong đó} \quad E(X^2) = \sum_{i=1}^n x_i^2 p_i$

Phương sai đo mức độ phân tán của $X$ xung quanh kì vọng. $V(X) \geq 0$ .

Tính chất:

$V(aX + b) = a^2 V(X)$ .
$V(X) = 0 \Leftrightarrow X$ là hằng số (không ngẫu nhiên).

3. Độ lệch chuẩn

⚡ Độ lệch chuẩn — σ(X)

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$

Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với $X$ , dễ diễn giải hơn phương sai trong thực tế.

⚠️ Lưu ý quan trọng

Kì vọng $E(X) = \mu$ là trung tâm của phân phối.
Độ lệch chuẩn $\sigma$ cho biết $X$ thường cách xa $\mu$ bao nhiêu.
Phương sai $V(X) = \sigma^2$ luôn không âm.

🔷 Dạng 1: Lập bảng phân phối xác suất và tính kì vọng

📌 Phương pháp giải

Phương pháp:

Xác định tất cả các giá trị $x_i$ mà $X$ có thể nhận.
Tính $p_i = P(X = x_i)$ cho từng giá trị (dùng tổ hợp nếu cần).
Kiểm tra: $\sum p_i = 1$ .
Tính $E(X) = \sum x_i p_i$ .

🔍 Ví dụ 1 — Tung đồng xu

Tung một đồng xu cân đối 2 lần. Gọi $X$ là số lần xuất hiện mặt ngửa. Lập bảng phân phối xác suất và tính $E(X)$ .

💡 Xem lời giải

$X \in \{0, 1, 2\}$ .

$P(X=0) = (1/2)^2 = 1/4$ .
$P(X=1) = C_2^1 \cdot (1/2)^2 = 2/4 = 1/2$ .
$P(X=2) = (1/2)^2 = 1/4$ .

$X$	$0$	$1$	$2$
$P$	$1/4$	$1/2$	$1/4$

Kiểm tra: $1/4 + 1/2 + 1/4 = 1$ ✓

$E(X) = 0 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} = 0 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

Kì vọng bằng 1: Trung bình tung 2 đồng xu, mong đợi $1$ lần ngửa.

🔍 Ví dụ 2 — Hộp bi

Hộp có 3 bi đỏ, 2 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 bi. Gọi $X$ là số bi đỏ lấy được. Lập bảng phân phối và tính $E(X)$ .

💡 Xem lời giải

$X \in \{0, 1, 2\}$ . Tổng số cách: $C_5^2 = 10$ .

$P(X=0) = \dfrac{C_3^0 \cdot C_2^2}{10} = \dfrac{1}{10}$ .
$P(X=1) = \dfrac{C_3^1 \cdot C_2^1}{10} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$ .
$P(X=2) = \dfrac{C_3^2 \cdot C_2^0}{10} = \dfrac{3}{10}$ .

$X$	$0$	$1$	$2$
$P$	$1/10$	$6/10$	$3/10$

$E(X) = 0 \cdot \frac{1}{10} + 1 \cdot \frac{6}{10} + 2 \cdot \frac{3}{10} = \frac{6}{10} + \frac{6}{10} = \frac{12}{10} = 1{,}2$

🔍 Ví dụ 3 — Gieo súc sắc

Gieo một súc sắc cân đối. Gọi $X$ là số chấm xuất hiện. Tính $E(X)$ và $V(X)$ .

💡 Xem lời giải

$X \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ , mỗi giá trị có xác suất $1/6$ .

$E(X) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3{,}5$

$E(X^2) = \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6} = \frac{91}{6}$

$V(X) = \frac{91}{6} - (3{,}5)^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182-147}{12} = \frac{35}{12} \approx 2{,}92$

$\sigma(X) = \sqrt{35/12} \approx 1{,}71$

🔍 Ví dụ 4 — Bài toán kinh doanh

Một người bán hàng mỗi ngày bán được $X$ sản phẩm theo phân phối xác suất:

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P$	$0{,}05$	$0{,}15$	$0{,}35$	$0{,}30$	$0{,}15$

Mỗi sản phẩm lãi 200 nghìn đồng. Tính lãi kì vọng mỗi ngày.

💡 Xem lời giải

$E(X) = 0(0{,}05) + 1(0{,}15) + 2(0{,}35) + 3(0{,}30) + 4(0{,}15)$ $= 0 + 0{,}15 + 0{,}70 + 0{,}90 + 0{,}60 = 2{,}35 \text{ sản phẩm/ngày}$

Lãi kì vọng $= 2{,}35 \times 200 = \mathbf{470}$ nghìn đồng/ngày.

📝 Thực hành — Dạng 1

Câu 1:Tung đồng xu 3 lần. Kì vọng của số lần xuất hiện mặt ngửa bằng:

Câu 2:Biến ngẫu nhiên $X$ có bảng: $X \in \{1, 2, 3\}$, $P = \{0{,}2; 0{,}5; 0{,}3\}$. $E(X)$ bằng:

Câu 3:Điều kiện nào sau đây là đúng với bảng phân phối xác suất?

Đúng / Sai

Câu 4Cho bảng phân phối của $X$: $P(X=0)=0{,}1$; $P(X=1)=0{,}4$; $P(X=2)=0{,}4$; $P(X=3)=0{,}1$. Xét tính đúng sai:

a)Bảng này hợp lệ vì $\sum p_i = 1$

b)$E(X) = 1{,}5$

c)$E(X^2) = 3$

d)$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$

Câu 5:Hộp có 4 bi đỏ, 6 bi xanh; lấy 1 bi. Gọi $X = 1$ nếu bi đỏ, $X = 0$ nếu bi xanh. $E(X)$ bằng bao nhiêu?

🔷 Dạng 2: Tính phương sai và độ lệch chuẩn

📌 Phương pháp giải

Phương pháp:

Tính $E(X) = \sum x_i p_i$ .
Tính $E(X^2) = \sum x_i^2 p_i$ .
$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ .
$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ .

🔍 Ví dụ 1 — Tính V(X) và σ(X)

Biến ngẫu nhiên $X$ có bảng:

$X$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$P$	$0{,}1$	$0{,}3$	$0{,}4$	$0{,}2$

Tính $E(X)$ , $V(X)$ , $\sigma(X)$ .

💡 Xem lời giải

$E(X) = (-1)(0{,}1) + 0(0{,}3) + 1(0{,}4) + 2(0{,}2) = -0{,}1 + 0 + 0{,}4 + 0{,}4 = 0{,}7$

$E(X^2) = 1(0{,}1) + 0(0{,}3) + 1(0{,}4) + 4(0{,}2) = 0{,}1 + 0 + 0{,}4 + 0{,}8 = 1{,}3$

$V(X) = 1{,}3 - (0{,}7)^2 = 1{,}3 - 0{,}49 = 0{,}81$

$\sigma(X) = \sqrt{0{,}81} = 0{,}9$

🔍 Ví dụ 2 — Ứng dụng: So sánh rủi ro

Hai phương án đầu tư $A$ và $B$ có phân phối lợi nhuận (triệu đồng):

Phương án A: $E(A) = 5$ , $V(A) = 4$ , $\sigma(A) = 2$ .

Phương án B: $E(B) = 5$ , $V(B) = 16$ , $\sigma(B) = 4$ .

So sánh hai phương án.

💡 Xem lời giải

Cả hai có cùng kì vọng lợi nhuận $5$ triệu, nhưng:

Phương án $A$ : $\sigma = 2$ → mức độ biến động nhỏ hơn → ít rủi ro hơn.
Phương án $B$ : $\sigma = 4$ → biến động lớn hơn → nhiều rủi ro hơn.

Kết luận: Nhà đầu tư thận trọng chọn phương án $A$ ; nhà đầu tư ưa mạo hiểm có thể chọn $B$ (kì vọng bằng nhau nhưng $B$ có thể cho lợi nhuận cao hơn hoặc thấp hơn nhiều).

📝 Thực hành — Dạng 2

Câu 1:$X$ có kì vọng $E(X) = 3$, $E(X^2) = 13$. Phương sai $V(X)$ bằng:

Câu 2:Nếu $Y = 2X + 3$ và $V(X) = 5$ thì $V(Y)$ bằng:

Câu 3:$X$ có: $P(X=0)=0{,}2$; $P(X=2)=0{,}5$; $P(X=4)=0{,}3$. Tính $V(X)$.

📝 Bài tập tự luận — Biến ngẫu nhiên rời rạc

Câu 1. Tung một đồng xu cân đối 4 lần. Gọi $X$ là số lần xuất hiện mặt ngửa. Lập bảng phân phối xác suất của $X$ và tính $E(X)$ , $V(X)$ , $\sigma(X)$ .

Câu 2. Một hộp có 5 bi đỏ và 3 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Gọi $X$ là số bi đỏ lấy được. a) Lập bảng phân phối xác suất của $X$ . b) Tính $E(X)$ , $V(X)$ .

Câu 3. Biến ngẫu nhiên $X$ có bảng phân phối:

$X$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P$	$k$	$2k$	$3k$	$4k$

a) Tìm $k$ . b) Tính $E(X)$ , $V(X)$ , $\sigma(X)$ .

Câu 4. Một người chơi trò chơi: tung súc sắc, nếu ra mặt $\{1, 2\}$ thắng 30 nghìn; ra mặt $\{3, 4, 5\}$ thắng 10 nghìn; ra mặt $6$ thua 50 nghìn (chưa tính vốn). Hỏi mỗi lần chơi, người đó lãi hay lỗ trung bình bao nhiêu?

Câu 5. Trong 1000 sản phẩm điện tử, 20 sản phẩm bị lỗi. Chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm kiểm tra. Gọi $X$ là số sản phẩm lỗi. Tính $E(X)$ và ý nghĩa của $E(X)$ trong bối cảnh này.

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Không giới hạn lần làm