CĐ1 - Bài 1: Biến ngẫu nhiên rời rạc & số đặc trưng

I. Lý thuyết trọng tâm Biến ngẫu nhiên rời rạc

1. Khái niệm & Bảng phân bố xác suất

⚡ Định nghĩa Biến ngẫu nhiên rời rạc

Một đại lượng $X$ được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc nếu giá trị của nó là một số thực tùy thuộc vào kết quả ngẫu nhiên của phép thử và tập hợp các giá trị có thể có của $X$ là hữu hạn (hoặc đếm được).

Bảng phân bố xác suất của $X$ nhận các giá trị $x_1, x_2, \dots, x_n$ với xác suất tương ứng $p_1, p_2, \dots, p_n$ được biểu diễn:

$X$	$x_1$	$x_2$	...	$x_n$
$P$	$p_1$	$p_2$	...	$p_n$

• Điều kiện: $p_i \ge 0$ với mọi $i$ và $\sum_{i=1}^n p_i = p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1$.

2. Kỳ vọng E(X) và ý nghĩa thực tế

⚡ Công thức Kỳ vọng (Giá trị trung bình)

Kỳ vọng (hay giá trị trung bình) của biến ngẫu nhiên $X$, ký hiệu là $E(X)$ hay $\mu$, được tính bởi:

$$E(X) = \sum_{i=1}^n x_i p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n$$

• Ý nghĩa: $E(X)$ phản ánh giá trị trung bình tính theo xác suất của $X$ khi phép thử được lặp lại nhiều lần.

3. Phương sai V(X) & Độ lệch chuẩn σ(X)

📌 Phương sai và Độ lệch chuẩn

• **Phương sai $V(X)$** đo độ rủi ro, phân tán của các giá trị $X$ xung quanh kỳ vọng:

$$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2 p_i - \mu^2$$

• **Độ lệch chuẩn $\sigma(X)$**: $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ (có cùng đơn vị đo với $X$).

II. Minh họa trực quan & Đồ thị tương tác (JSXGraph)

Đồ thị hình cột dưới đây biểu diễn bảng phân bố xác suất của số mặt 6 chấm $X$ và giá trị kỳ vọng $E(X)$.

💡 Mô phỏng 1: Đồ thị phân bố xác suất p_i và đường thẳng kỳ vọng E(X).

III. Các dạng toán trọng tâm (Mỗi dạng kèm ít nhất 3 ví dụ liền)

Dạng 1: Lập bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X

📌 Phương pháp giải Dạng 1

Bước 1: Xác định tập các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên $X = \{x_1, x_2, \dots, x_n\}$.
Bước 2: Tính xác suất $p_i = P(X = x_i)$ cho từng giá trị $x_i$.
Bước 3: Lập bảng và kiểm tra điều kiện tổng xác suất $\sum p_i = 1$.

🔍 Ví dụ 1.1 (Lập bảng phân bố cho số quả cầu đỏ rút ra)

Một hộp chứa 3 bi đỏ và 2 bi xanh. Rút ngẫu nhiên đồng thời 2 viên bi. Gọi $X$ là số bi đỏ rút được. Lập bảng phân bố xác suất của $X$.

💡Xem lời giải chi tiết

• $X \in \{0, 1, 2\}$. Tổng số cách rút 2 bi từ 5 bi: $n(\Omega) = C_5^2 = 10$.

• $P(X=0) = \frac{C_3^0 C_2^2}{10} = \frac{1}{10} = 0,1$.

• $P(X=1) = \frac{C_3^1 C_2^1}{10} = \frac{6}{10} = 0,6$.

• $P(X=2) = \frac{C_3^2 C_2^0}{10} = \frac{3}{10} = 0,3$.

• Bảng phân bố xác suất của $X$:

$X$	0	1	2
$P$	0,1	0,6	0,3

🔍 Ví dụ 1.2 (Lập bảng phân bố cho số mặt ngửa khi gieo 3 đồng xu)

Gieo 3 đồng xu cân đối đồng chất. Gọi $Y$ là số mặt ngửa xuất hiện. Lập bảng phân bố xác suất của $Y$.

💡Xem lời giải chi tiết

• $Y \in \{0, 1, 2, 3\}$. Tổng số trường hợp $n(\Omega) = 2^3 = 8$.

• $P(Y=0) = \frac{C_3^0}{8} = \frac{1}{8}$; $P(Y=1) = \frac{C_3^1}{8} = \frac{3}{8}$; $P(Y=2) = \frac{C_3^2}{8} = \frac{3}{8}$; $P(Y=3) = \frac{C_3^3}{8} = \frac{1}{8}$.

🔍 Ví dụ 1.3 (Tìm tham số m trong bảng phân bố xác suất)

Cho biến ngẫu nhiên $X$ có bảng phân bố xác suất $X = \{1, 2, 3, 4\}$ với các xác suất tương ứng $p_1 = 0,2; p_2 = m; p_3 = 2m; p_4 = 0,2$. Tìm $m$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Tổng các xác suất bằng 1: $0,2 + m + 2m + 0,2 = 1 \Leftrightarrow 3m + 0,4 = 1 \Rightarrow 3m = 0,6 \Rightarrow m = 0,2$.

Dạng 2: Tính kỳ vọng E(X)

📌 Phương pháp giải Dạng 2

Áp dụng công thức $E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n$. Nhân từng giá trị $x_i$ với xác suất $p_i$ tương ứng rồi cộng lại.

🔍 Ví dụ 2.1 (Tính kỳ vọng số bi đỏ ở Ví dụ 1.1)

Tính kỳ vọng số bi đỏ rút được ở Ví dụ 1.1 với bảng phân bố: $P(X=0)=0,1; P(X=1)=0,6; P(X=2)=0,3$.

💡Xem lời giải chi tiết

• $E(X) = 0 \times 0,1 + 1 \times 0,6 + 2 \times 0,3 = 0 + 0,6 + 0,6 = 1,2$ (viên bi).

🔍 Ví dụ 2.2 (Tính kỳ vọng số câu hỏi trả lời đúng)

Một học sinh làm bài thi trắc nghiệm gồm 4 câu độc lập, mỗi câu có xác suất chọn đúng là 0,25. Số câu đúng $X$ có bảng phân bố nhị thức $B(4; 0,25)$. Tính kỳ vọng $E(X)$.

💡Xem lời giải chi tiết

• $E(X) = n p = 4 \times 0,25 = 1,0$ câu đúng.

🔍 Ví dụ 2.3 (Tính kỳ vọng tuổi thọ thiết bị máy móc)

Tuổi thọ $X$ (năm) của một linh kiện điện tử có bảng phân bố: $P(X=1)=0,1; P(X=2)=0,3; P(X=3)=0,4; P(X=4)=0,2$. Tính tuổi thọ trung bình của linh kiện.

💡Xem lời giải chi tiết

• $E(X) = 1(0,1) + 2(0,3) + 3(0,4) + 4(0,2) = 0,1 + 0,6 + 1,2 + 0,8 = 2,7$ năm.

Dạng 3: Tính phương sai V(X) và độ lệch chuẩn σ(X)

📌 Phương pháp giải Dạng 3

Bước 1: Tính $E(X) = \mu$.
Bước 2: Tính $E(X^2) = \sum x_i^2 p_i = x_1^2 p_1 + x_2^2 p_2 + \dots + x_n^2 p_n$.
Bước 3: Tính phương sai $V(X) = E(X^2) - \mu^2$ và độ lệch chuẩn $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.

🔍 Ví dụ 3.1 (Tính V(X) và sigma(X) của số bi đỏ)

Tính phương sai và độ lệch chuẩn của số bi đỏ ở Ví dụ 1.1 (có $E(X) = 1,2$).

💡Xem lời giải chi tiết

• $E(X^2) = 0^2(0,1) + 1^2(0,6) + 2^2(0,3) = 0 + 0,6 + 1,2 = 1,8$.

• Phương sai $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 1,8 - (1,2)^2 = 1,8 - 1,44 = 0,36$.

• Độ lệch chuẩn $\sigma(X) = \sqrt{0,36} = 0,6$.

🔍 Ví dụ 3.2 (So sánh độ rủi ro giữa 2 phương án đầu tư)

Phương án A có lợi nhuận $X$ với $E(X) = 10$ triệu, $V(X) = 4$. Phương án B có lợi nhuận $Y$ với $E(Y) = 10$ triệu, $V(Y) = 9$. Hỏi phương án nào ít rủi ro hơn?

💡Xem lời giải chi tiết

• Cả hai phương án có cùng mức lợi nhuận kỳ vọng 10 triệu đồng.

• Vì $V(X) = 4 < V(Y) = 9$ nên phương án A có độ phân tán rủi ro ít hơn, do đó an toàn và ít rủi ro hơn phương án B.

🔍 Ví dụ 3.3 (Tính phương sai khi biết E(X) và E(X^2))

Cho biến ngẫu nhiên $X$ có $E(X) = 5$ và $E(X^2) = 34$. Tính phương sai $V(X)$ và độ lệch chuẩn $\sigma(X)$.

💡Xem lời giải chi tiết

• $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 34 - 5^2 = 34 - 25 = 9$.

• $\sigma(X) = \sqrt{9} = 3$.

Dạng 4: Tính chất kỳ vọng & phương sai của Y = aX + b

📌 Phương pháp giải Dạng 4

Kỳ vọng: $E(aX + b) = a E(X) + b$.
Phương sai: $V(aX + b) = a^2 V(X)$. (Lưu ý: Hằng số $b$ bị triệt tiêu khi tính phương sai).
Độ lệch chuẩn: $\sigma(aX + b) = |a| \sigma(X)$.

🔍 Ví dụ 4.1 (Biến đổi tuyến tính tiền lương thưởng)

Tiền thưởng $X$ của nhân viên có $E(X) = 5$ triệu và $V(X) = 2$. Công ty quyết định tăng lương thưởng năm mới theo công thức $Y = 1,2X + 1$. Tính $E(Y)$ và $V(Y)$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Kỳ vọng mới: $E(Y) = E(1,2X + 1) = 1,2 E(X) + 1 = 1,2(5) + 1 = 7,0$ triệu đồng.

• Phương sai mới: $V(Y) = V(1,2X + 1) = (1,2)^2 V(X) = 1,44 \times 2 = 2,88$.

🔍 Ví dụ 4.2 (Quy đổi đơn vị đo độ F sang độ C)

Nhiệt độ $T_F$ (độ F) tại một trạm quan trắc có kỳ vọng $E(T_F) = 68^\circ F$ và độ lệch chuẩn $\sigma(T_F) = 9^\circ F$. Biết công thức đổi sang độ C là $T_C = \frac{5}{9}(T_F - 32)$. Tính $E(T_C)$ và $\sigma(T_C)$.

💡Xem lời giải chi tiết

• $E(T_C) = \frac{5}{9}(E(T_F) - 32) = \frac{5}{9}(68 - 32) = \frac{5}{9}(36) = 20^\circ C$.

• $\sigma(T_C) = \frac{5}{9} \sigma(T_F) = \frac{5}{9} \times 9 = 5^\circ C$.

🔍 Ví dụ 4.3 (Trừ đi hằng số khấu trừ thuế)

Cho $V(X) = 16$. Tính phương sai của $Y = 3X - 100$.

💡Xem lời giải chi tiết

• $V(Y) = V(3X - 100) = 3^2 V(X) = 9 \times 16 = 144$.

Dạng 5: Bài toán kỳ vọng tiền thưởng / trò chơi may rủi

📌 Phương pháp giải Dạng 5

Trò chơi công bằng: Kỳ vọng số tiền nhận được bằng số tiền bỏ ra chơi ($E(X) = 0$).
Tối ưu kinh doanh: Chọn phương án có $E(X)$ lớn nhất.

🔍 Ví dụ 5.1 (Xét tính công bằng của vé số vui chơi)

Một vé số giá 10.000đ. Có 100 vé gồm: 1 giải nhất 500.000đ, 2 giải nhì 100.000đ, 5 giải ba 20.000đ, còn lại không trúng. Tính kỳ vọng tiền thưởng nhận được khi mua 1 vé và cho biết trò chơi có công bằng không.

💡Xem lời giải chi tiết

• $E(X) = 500.000 \times \frac{1}{100} + 100.000 \times \frac{2}{100} + 20.000 \times \frac{5}{100} + 0 \times \frac{92}{100} = 5.000 + 2.000 + 1.000 = 8.000$đ.

• Kỳ vọng trúng thưởng là 8.000đ, nhỏ hơn giá mua vé 10.000đ (trung bình người chơi lỗ 2.000đ/vé) nên trò chơi này không công bằng cho người chơi.

🔍 Ví dụ 5.2 (Kỳ vọng tiền bồi thường hợp đồng vận chuyển)

Một chuyến xe giao hàng trị giá 50 triệu. Nếu giao đúng hạn (xác suất 0,9), người vận chuyển nhận 5 triệu. Nếu giao trễ (xác suất 0,1), người vận chuyển phải bồi thường 10 triệu. Tính kỳ vọng tiền công người vận chuyển.

💡Xem lời giải chi tiết

• $E(X) = 5 \times 0,9 + (-10) \times 0,1 = 4,5 - 1,0 = 3,5$ triệu đồng.

🔍 Ví dụ 5.3 (Lựa chọn thầu công trình xây dựng)

Công ty dự thầu 2 dự án: Dự án 1 lời 100 triệu với xác suất 0,6 (thua lỗ 20 triệu với xác suất 0,4). Dự án 2 lời 150 triệu với xác suất 0,4 (thua lỗ 30 triệu với xác suất 0,6). Công ty nên chọn dự án nào theo kỳ vọng lợi nhuận?

💡Xem lời giải chi tiết

• $E(X_1) = 100(0,6) + (-20)(0,4) = 60 - 8 = 52$ triệu.

• $E(X_2) = 150(0,4) + (-30)(0,6) = 60 - 18 = 42$ triệu.

• Nên chọn Dự án 1 vì kỳ vọng lợi nhuận cao hơn (52 triệu > 42 triệu).

Dạng 6: Bài toán ứng dụng kiểm soát chất lượng & bảo hiểm

📌 Phương pháp giải Dạng 6

Tính kỳ vọng phí bảo hiểm $m$ cần thu từ khách hàng sao cho công ty bảo hiểm thu được lợi nhuận kỳ vọng dương lớn hơn 0.

🔍 Ví dụ 6.1 (Định giá hợp đồng bảo hiểm tai nạn)

Một công ty bảo hiểm bán hợp đồng bảo hiểm xe máy 1 năm với số tiền bồi thường 20 triệu khi xảy ra tai nạn. Tỷ lệ tai nạn trong năm là 0,5%. Hỏi công ty phải thu phí bảo hiểm tối thiểu bao nhiêu để hòa vốn kỳ vọng?

💡Xem lời giải chi tiết

• Kỳ vọng tiền bồi thường công ty phải trả cho 1 hợp đồng: $E(B) = 20.000.000 \times 0,005 = 100.000$đ.

• Công ty hòa vốn kỳ vọng khi phí thu vào bằng kỳ vọng bồi thường $m = 100.000$đ/năm.

🔍 Ví dụ 6.2 (Tính lợi nhuận kỳ vọng của công ty bảo hiểm)

Ở Ví dụ 6.1, nếu công ty thu phí 150.000đ/hợp đồng và quản lý 10.000 hợp đồng thì lợi nhuận kỳ vọng của công ty trong năm là bao nhiêu?

💡Xem lời giải chi tiết

• Lợi nhuận kỳ vọng trên 1 hợp đồng: $E(L) = 150.000 - 100.000 = 50.000$đ.

• Tổng lợi nhuận kỳ vọng từ 10.000 hợp đồng: $10.000 \times 50.000 = 500.000.000$đ (500 triệu đồng).

🔍 Ví dụ 6.3 (Bài toán bảo hành sản phẩm điện tử)

Một máy tính bán ra có xác suất hỏng phải bảo hành trong 1 năm đầu là 2%. Chi phí sửa chữa bảo hành mỗi máy hỏng là 3 triệu. Nhà sản xuất cần cộng thêm bao nhiêu tiền phí bảo hành vào giá bán mỗi sản phẩm để kỳ vọng lãi 40.000đ/máy từ tiền bảo hành?

💡Xem lời giải chi tiết

• Kỳ vọng chi phí bảo hành cho 1 máy: $E(C) = 3.000.000 \times 0,02 = 60.000$đ.

• Số tiền cần cộng vào giá bán: $m = E(C) + 40.000 = 60.000 + 40.000 = 100.000$đ.

🎯 IV. Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Dưới đây là 10 câu hỏi trắc nghiệm động (tự tạo số ngẫu nhiên & chấm điểm trực tiếp) giúp bạn củng cố toàn bộ kiến thức bài học.

Câu 1:🎲 Câu hỏi động

Cho biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ có bảng phân bố xác suất: $X = \{1, 2, 3\}$ với xác suất tương ứng $P(X=1) = 0.2, P(X=2) = 0.5, P(X=3) = p$. Giá trị của $p$ là:

Câu 2:🎲 Câu hỏi động

Cho biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ có bảng phân bố: $X = \{0, 1, 2\}$ với $P(X=0) = 0.3$, $P(X=1) = 0.3$, $P(X=2) = 0.4$. Kỳ vọng $E(X)$ bằng:

Câu 3:🎲 Câu hỏi động

Cho $E(X) = 4$. Giá trị kỳ vọng $E(4X + 2)$ bằng:

Câu 4:🎲 Câu hỏi động

Cho $V(X) = 2$. Phương sai $V(3X - 1)$ bằng:

Câu 5:🎲 Câu hỏi động

Cho phương sai $V(X) = 11$. Độ lệch chuẩn $\sigma(X)$ bằng:

Câu 6:🎲 Câu hỏi động

Một người bán hàng nhận được hoa hồng $X$ (triệu đồng) mỗi tháng với $E(X) = 20$ và $V(X) = 4$. Độ lệch chuẩn hoa hồng $\sigma(X)$ là:

Câu 7:🎲 Câu hỏi động

Cho $X$ là số mặt 6 chấm xuất hiện khi gieo 1 con súc sắc cân đối. Kỳ vọng $E(X)$ bằng:

Câu 8:🎲 Câu hỏi động

Công thức tính phương sai $V(X)$ theo kỳ vọng là:

Câu 9:🎲 Câu hỏi động

Cho biến ngẫu nhiên $X$ có $E(X) = 5$ và $E(X^2) = 37$. Phương sai $V(X)$ bằng:

Câu 10:🎲 Câu hỏi động

Nếu tất cả các giá trị của $X$ được nhân lên 4 lần thì phương sai mới $V(4X)$ gấp bao nhiêu lần phương sai cũ $V(X)$?

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Biến ngẫu nhiên rời rạc

Rèn luyện trắc nghiệm động với giải thích chi tiết — mở ngay giao diện thi thử trực tuyến!

🚀 Làm bài trắc nghiệm ngay →

Miễn phí · Giao diện mượt mà · Tự động chấm điểm

📝 Bài tập tự luận tổng hợp (Bài tập về nhà)

📝 Bài tập tự luận Biến ngẫu nhiên rời rạc (5 Bài lớn phân loại)

Bài 1 (Cơ bản). Cho biến ngẫu nhiên $X$ có bảng phân bố xác suất: $P(X=1)=0,2; P(X=2)=0,3; P(X=3)=0,4; P(X=4)=0,1$.

a) Tính kỳ vọng $E(X)$.

b) Tính phương sai $V(X)$ và độ lệch chuẩn $\sigma(X)$.

💡Xem lời giải Bài 1

a) $E(X) = 1(0,2) + 2(0,3) + 3(0,4) + 4(0,1) = 2,4$.

b) $E(X^2) = 1(0,2) + 4(0,3) + 9(0,4) + 16(0,1) = 6,6 \Rightarrow V(X) = 6,6 - 2,4^2 = 0,84 \Rightarrow \sigma(X) \approx 0,9165$.

Bài 2 (Thông hiểu — Lập bảng phân bố). Một túi có 4 bi xanh và 3 bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi. Gọi $X$ là số bi vàng chọn được.

a) Lập bảng phân bố xác suất của $X$.

b) Tính $E(X)$ và $V(X)$.

💡Xem lời giải Bài 2

a) $P(X=0) = 4/35; P(X=1) = 18/35; P(X=2) = 12/35; P(X=3) = 1/35$.

b) $E(X) = 9/7 \approx 1,286$; $V(X) = 36/49 \approx 0,7347$.

Bài 3 (Vận dụng — Biến đổi tuyến tính). Cho $E(X) = 4$ và $V(X) = 3$. Đặt $Y = -2X + 5$. Tính $E(Y), V(Y)$ và $\sigma(Y)$.

💡Xem lời giải Bài 3

• $E(Y) = -2(4) + 5 = -3$.

• $V(Y) = (-2)^2 V(X) = 4 \times 3 = 12 \Rightarrow \sigma(Y) = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

Bài 4 (Vận dụng cao — Định giá trò chơi quay số). Một vòng quay may mắn có 10 ô bằng nhau: 1 ô 100k, 2 ô 50k, 3 ô 20k và 4 ô mất lượt (0k). Mỗi lượt quay giá 30.000đ. Tính kỳ vọng tiền lãi thu được của ban tổ chức trên mỗi lượt quay.

💡Xem lời giải Bài 4

• Kỳ vọng tiền thưởng $E(X) = 100(0,1) + 50(0,2) + 20(0,3) + 0 = 10 + 10 + 6 = 26$k.

• Kỳ vọng lãi ban tổ chức: $30 - 26 = 4$k (tức 4.000đ/lượt quay).

Bài 5 (Thực tế Bảo hiểm). Công ty bảo hiểm bán hợp đồng 1 năm giá $m$ cho thiết bị trị giá 10 triệu. Tỷ lệ hỏng trong năm là 1%. Tìm $m$ để kỳ vọng tiền lãi của công ty là 50.000đ/hợp đồng.

💡Xem lời giải Bài 5

• $E(Bồi thường) = 10.000.000 \times 0,01 = 100.000$đ.

• Phí thu $m = 100.000 + 50.000 = 150.000$đ.