Bài 23: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

I. Định nghĩa

Đường thẳng $d$ được gọi là vuông góc với mặt phẳng $(P)$ nếu $d$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$ . Kí hiệu: $d \perp (P)$ .

II. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

⚡ Định lí

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó. $\left.\begin{aligned} d \perp a \\ d \perp b \\ a, b \subset (P) \\ a \cap b = \{O\} \end{aligned}\right\} \implies d \perp (P)$

III. Tính chất

1. Tính chất 1

Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

2. Tính chất 2

Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

3. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

🔷 Dạng toán: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

📌 Phương pháp

Để chứng minh đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ , ta chứng minh $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong $(P)$ .

🔍 Ví dụ

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, $SA \perp (ABCD)$ . Chứng minh $BC \perp (SAB)$ .

💡 Xem lời giải

Vì $SA \perp (ABCD)$ và $BC \subset (ABCD)$ nên $SA \perp BC$ hay $BC \perp SA$ .
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $BC \perp AB$ . Ta có $BC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $SA$ và $AB$ cùng nằm trong mặt phẳng $(SAB)$ . Vậy $BC \perp (SAB)$ .

📝 Bài tập trắc nghiệm

Điều kiện để đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ là $d$ vuông góc với:

Nếu $d \perp (P)$ và đường thẳng $a \subset (P)$ thì góc giữa $d$ và $a$ bằng bao nhiêu?

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Không giới hạn lần làm