🛠️ Công cụ

Bài 8: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Biểu thức tọa độ của tổng, hiệu, tích vô hướng và các ứng dụng trong không gian Oxyz — Toán 12 Kết nối tri thức.

📖 Lý thuyết ✍️ Dạng toán & bài tập 🎯 Trắc nghiệm

I. Lý thuyết

Cho các vectơ a⃗=(x1;y1;z1)\vec{a} = (x_1; y_1; z_1) và b⃗=(x2;y2;z2)\vec{b} = (x_2; y_2; z_2).

1. Phép cộng, trừ và nhân với một số

  • Cộng/Trừ: a⃗±b⃗=(x1±x2;y1±y2;z1±z2)\vec{a} \pm \vec{b} = (x_1 \pm x_2; y_1 \pm y_2; z_1 \pm z_2).
  • Nhân với một số kk: ka⃗=(kx1;ky1;kz1)k\vec{a} = (kx_1; ky_1; kz_1).
  • Điều kiện hai vectơ bằng nhau: a⃗=b⃗⇔{x1=x2y1=y2z1=z2\vec{a} = \vec{b} \Leftrightarrow \begin{cases} x_1 = x_2 \\ y_1 = y_2 \\ z_1 = z_2 \end{cases}

2. Tích vô hướng trong hệ tọa độ

  • Công thức: a⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2+z1z2\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2
  • Độ dài vectơ: ∣a⃗∣=x12+y12+z12|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}
  • Khoảng cách giữa hai điểm: d(A,B)=(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2d(A, B) = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}.
  • Tính chất vuông góc: a⃗⊥b⃗⇔x1x2+y1y2+z1z2=0\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0

3. Góc giữa hai vectơ

  • Công thức cosin góc: cos⁡(a⃗,b⃗)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12⋅x22+y22+z22\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}

4. Điều kiện cùng phương

a⃗\vec{a} cùng phương với b⃗\vec{b} (b⃗≠0⃗\vec{b} \ne \vec{0}) nếu tồn tại số kk sao cho a⃗=kb⃗\vec{a} = k\vec{b}: x1x2=y1y2=z1z2=k\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2} = k (trong trường hợp các tọa độ mẫu khác 0).

🔷 Dạng 1: Các phép toán vectơ cộng, trừ và nhân số

📌 Phương pháp giải

Phương pháp: Tính toán trực tiếp trên từng thành phần (hoành độ, tung độ, cao độ). Đảm bảo nhân số kk vào tất cả các thành phần tọa độ.

🔍 Ví dụ 1 (Dễ)

Cho a⃗=(1;2;−3)\vec{a} = (1; 2; -3) và b⃗=(0;−1;4)\vec{b} = (0; -1; 4). Tìm tọa độ của vectơ u⃗=a⃗+2b⃗\vec{u} = \vec{a} + 2\vec{b}.

💡 Xem lời giải

2b⃗=(0;−2;8)2\vec{b} = (0; -2; 8). u⃗=a⃗+2b⃗=(1+0;2−2;−3+8)=(1;0;5)\vec{u} = \vec{a} + 2\vec{b} = (1+0; 2-2; -3+8) = (1; 0; 5).

🔍 Ví dụ 2 (Dễ)

Cho ba điểm A(1;0;−2),B(2;1;−1),C(1;−2;2)A(1; 0; -2), B(2; 1; -1), C(1; -2; 2). Tìm tọa độ vectơ u⃗=AB⃗+AC⃗\vec{u} = \vec{AB} + \vec{AC}.

💡 Xem lời giải

AB⃗=(1;1;1)\vec{AB} = (1; 1; 1). AC⃗=(0;−2;4)\vec{AC} = (0; -2; 4). u⃗=(1+0;1−2;1+4)=(1;−1;5)\vec{u} = (1+0; 1-2; 1+4) = (1; -1; 5).

🔍 Ví dụ 3 (Trung bình)

Tìm tọa độ vectơ w⃗\vec{w} thỏa mãn w⃗−2a⃗=b⃗\vec{w} - 2\vec{a} = \vec{b} với a⃗=(1;−1;2),b⃗=(3;0;1)\vec{a} = (1; -1; 2), \vec{b} = (3; 0; 1).

💡 Xem lời giải

w⃗=b⃗+2a⃗=(3;0;1)+(2;−2;4)=(5;−2;5)\vec{w} = \vec{b} + 2\vec{a} = (3; 0; 1) + (2; -2; 4) = (5; -2; 5).

🔍 Ví dụ 4 (Trung bình)

Cho M(1;2;3)M(1; 2; 3). Tìm tọa độ điểm NN sao cho MN⃗=(2;−1;4)\vec{MN} = (2; -1; 4).

💡 Xem lời giải

Gọi N(x;y;z)⇒MN⃗=(x−1;y−2;z−3)N(x; y; z) \Rightarrow \vec{MN} = (x-1; y-2; z-3). {x−1=2y−2=−1z−3=4⇒{x=3y=1z=7\begin{cases} x-1 = 2 \\ y-2 = -1 \\ z-3 = 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 3 \\ y = 1 \\ z = 7 \end{cases}. Vậy N(3;1;7)N(3; 1; 7).

🔍 Ví dụ 5 (Khó)

Cho ba điểm A(1;1;1),B(2;3;−1)A(1; 1; 1), B(2; 3; -1). Tìm tọa độ điểm CC nằm trên trục OzOz sao cho AB⃗\vec{AB} và AC⃗\vec{AC} có hoành độ bằng nhau.

💡 Xem lời giải

AB⃗=(1;2;−2)\vec{AB} = (1; 2; -2). C∈Oz⇒C(0;0;z)⇒AC⃗=(−1;−1;z−1)C \in Oz \Rightarrow C(0; 0; z) \Rightarrow \vec{AC} = (-1; -1; z-1). Hoành độ của AB⃗\vec{AB} là 1. Hoành độ của AC⃗\vec{AC} là -1. Hai hoành độ này không thể bằng nhau. (Ví dụ này cho thấy không tồn tại điểm CC như vậy). Sửa lại đề: Tìm CC trên OzOz sao cho độ dài ∣AC⃗∣=...|\vec{AC}| = ...

📝 Thực hành — Dạng 1

Cho $\vec{a}=(1;2;1), \vec{b}=(0;1;-2)$. Tọa độ của $\vec{a}-2\vec{b}$ là:
Cho $A(1;1;1), B(2;0;3)$. Để $\vec{AC}=2\vec{AB}$ thì tọa độ $C$ là:
Đúng / SaiCho các vectơ $\vec{u}=(1; 0; -1), \vec{v}=(2; 1; 3)$. Khẳng định nào đúng?
a)$ ec{u}+ ec{v} = (3; 1; 2)$
b)$2 ec{u} - ec{v} = (0; -1; -5)$
c)$ ec{u}, ec{v}$ cùng phương
d)$| ec{u}| = sqrt{2}$
Cho $A(1; 2; 3), B(2; 4; 2)$. Tìm cao độ $z$ của điểm $C$ sao cho $\vec{AC} = \vec{AB}$.

🔷 Dạng 2: Tích vô hướng, Độ dài và Góc

📌 Phương pháp giải

Phương pháp: Sử dụng các công thức liên quan đến tích vô hướng để tính góc và độ dài. a⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2+z1z2\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2.

🔍 Ví dụ 1 (Dễ)

Tính tích vô hướng của a⃗=(2;−1;3)\vec{a} = (2; -1; 3) và b⃗=(1;4;1)\vec{b} = (1; 4; 1).

💡 Xem lời giải

a⃗⋅b⃗=2(1)+(−1)(4)+3(1)=2−4+3=1\vec{a} \cdot \vec{b} = 2(1) + (-1)(4) + 3(1) = 2 - 4 + 3 = 1.

🔍 Ví dụ 2 (Dễ)

Tính độ dài của vectơ u⃗=(2;2;1)\vec{u} = (2; 2; 1).

💡 Xem lời giải

∣u⃗∣=22+22+12=9=3|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{9} = 3.

🔍 Ví dụ 3 (Trung bình)

Tính góc giữa hai vectơ a⃗=(1;1;0)\vec{a} = (1; 1; 0) và b⃗=(0;1;1)\vec{b} = (0; 1; 1).

💡 Xem lời giải

a⃗⋅b⃗=1(0)+1(1)+0(1)=1\vec{a} \cdot \vec{b} = 1(0) + 1(1) + 0(1) = 1. ∣a⃗∣=12+12+02=2|\vec{a}| = \sqrt{1^2+1^2+0^2} = \sqrt{2}. ∣b⃗∣=02+12+12=2|\vec{b}| = \sqrt{0^2+1^2+1^2} = \sqrt{2}. cos⁡(a⃗,b⃗)=12⋅2=12\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}. Suy ra góc giữa hai vectơ là 60∘60^\circ.

🔍 Ví dụ 4 (Trung bình)

Cho A(1;0;1),B(2;1;0),C(1;2;1)A(1; 0; 1), B(2; 1; 0), C(1; 2; 1). Tính tích vô hướng AB⃗⋅AC⃗\vec{AB} \cdot \vec{AC}.

💡 Xem lời giải

AB⃗=(1;1;−1)\vec{AB} = (1; 1; -1). AC⃗=(0;2;0)\vec{AC} = (0; 2; 0). AB⃗⋅AC⃗=1(0)+1(2)+(−1)(0)=2\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 1(0) + 1(2) + (-1)(0) = 2.

🔍 Ví dụ 5 (Khó)

Tìm mm (không phải tham số m bài toán, mà là một ẩn số tọa độ) để a⃗=(1;2;m)\vec{a}=(1; 2; m) có độ dài bằng 3.

💡 Xem lời giải

∣a⃗∣=12+22+m2=5+m2|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + m^2} = \sqrt{5 + m^2}. ∣a⃗∣=3⇔5+m2=9⇔m2=4⇔m=±2|\vec{a}| = 3 \Leftrightarrow 5 + m^2 = 9 \Leftrightarrow m^2 = 4 \Leftrightarrow m = \pm 2.

📝 Thực hành — Dạng 2

Tích vô hướng của $\vec{u}=(1; 2; 3)$ và $\vec{v}=(-1; -2; -3)$ là:
Góc giữa hai vectơ $\vec{i}$ và $\vec{u}=(1; 1; 0)$ bằng:
Đúng / SaiCho $A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1)$. Xét tính đúng sai:
a)$ ec{AB} = (-1; 1; 0)$
b)$| ec{AB}| = sqrt{2}$
c)$ ec{AB} cdot ec{AC} = 1$
d)$Delta ABC$ là tam giác đều
Tính độ dài của vectơ $\vec{u} = \vec{i} - 2\vec{j} + 2\vec{k}$.

🔷 Dạng 3: Bài toán về sự cùng phương và vuông góc

📌 Phương pháp giải

Phương pháp:

  • a⃗//b⃗⇔x1=kx2,y1=ky2,z1=kz2\vec{a} // \vec{b} \Leftrightarrow x_1 = kx_2, y_1 = ky_2, z_1 = kz_2.
  • a⃗⊥b⃗⇔x1x2+y1y2+z1z2=0\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0.
🔍 Ví dụ 1 (Dễ)

Kiểm tra xem hai vectơ a⃗=(1;2;−1)\vec{a} = (1; 2; -1) và b⃗=(−2;−4;2)\vec{b} = (-2; -4; 2) có cùng phương không?

💡 Xem lời giải

Ta thấy: −21=−42=2−1=−2\frac{-2}{1} = \frac{-4}{2} = \frac{2}{-1} = -2. Vậy b⃗=−2a⃗\vec{b} = -2\vec{a}, hai vectơ cùng phương (ngược hướng).

🔍 Ví dụ 2 (Dễ)

Tìm xx để a⃗=(x;2;1)\vec{a} = (x; 2; 1) vuông góc với b⃗=(1;−2;2)\vec{b} = (1; -2; 2).

💡 Xem lời giải

a⃗⊥b⃗⇔a⃗⋅b⃗=0⇔x(1)+2(−2)+1(2)=0\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Leftrightarrow x(1) + 2(-2) + 1(2) = 0 ⇔x−4+2=0⇔x=2\Leftrightarrow x - 4 + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2.

🔍 Ví dụ 3 (Trung bình)

Cho ba điểm A(1;1;1),B(2;3;4),C(x;y;z)A(1; 1; 1), B(2; 3; 4), C(x; y; z). Tìm CC thuộc trục hoành sao cho AB⊥ACAB \perp AC.

💡 Xem lời giải

C∈Ox⇒C(x;0;0)C \in Ox \Rightarrow C(x; 0; 0). AB⃗=(1;2;3)\vec{AB} = (1; 2; 3). AC⃗=(x−1;−1;−1)\vec{AC} = (x-1; -1; -1). AB⊥AC⇔AB⃗⋅AC⃗=0⇔1(x−1)+2(−1)+3(−1)=0AB \perp AC \Leftrightarrow \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0 \Leftrightarrow 1(x-1) + 2(-1) + 3(-1) = 0 ⇔x−1−2−3=0⇔x=6\Leftrightarrow x - 1 - 2 - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 6. Vậy C(6;0;0)C(6; 0; 0).

📝 Thực hành — Dạng 3

Vectơ nào sau đây cùng phương với $\vec{u}=(1; -2; 2)$?
Tìm $y$ để vectơ $\vec{a}=(1; y; 3)$ vuông góc với $\vec{b}=(2; -2; 2)$.

🔷 Dạng 4: Ứng dụng thực tế của biểu thức tọa độ

📌 Phương pháp giải

Phương pháp:

  • Tính công sinh bởi lực F⃗\vec{F} làm vật dịch chuyển d⃗\vec{d}: A=F⃗⋅d⃗A = \vec{F} \cdot \vec{d}.
  • Tính góc giữa các hướng di chuyển.
  • Tọa độ hóa các bài toán hình học không gian phức tạp.
🔍 Ví dụ 1 (Trung bình) — Tính công của lực

Một lực F⃗=(2;3;5)\vec{F} = (2; 3; 5) (đơn vị Newton) tác dụng vào một vật làm nó dịch chuyển từ điểm A(1;1;0)A(1; 1; 0) đến B(2;4;3)B(2; 4; 3) (đơn vị mét). Tính công sinh bởi lực đó.

💡 Xem lời giải

Vectơ dịch chuyển AB⃗=(1;3;3)\vec{AB} = (1; 3; 3). Công A=F⃗⋅AB⃗=2(1)+3(3)+5(3)=2+9+15=26A = \vec{F} \cdot \vec{AB} = 2(1) + 3(3) + 5(3) = 2 + 9 + 15 = 26 (Joule).

🔍 Ví dụ 2 (Khó) — Khoảng cách an toàn

Hai chiếc tàu thủy đang di chuyển trong hệ tọa độ Oxyz. Tàu A ở vị trí A(1;2;0.5)A(1; 2; 0.5), tàu B ở vị trí B(4;6;0.5)B(4; 6; 0.5) (đơn vị hải lý). Tính khoảng cách giữa hai tàu.

💡 Xem lời giải

AB=(4−1)2+(6−2)2+(0.5−0.5)2=32+42+02=5AB = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2 + (0.5-0.5)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = 5 (hải lý).

📝 Bài tập tự luận — Tổng hợp

Câu 1. Cho các vectơ a⃗=(1;2;−1),b⃗=(2;0;1),c⃗=(3;−1;0)\vec{a} = (1; 2; -1), \vec{b} = (2; 0; 1), \vec{c} = (3; -1; 0). a) Tìm tọa độ vectơ u⃗=2a⃗−b⃗+3c⃗\vec{u} = 2\vec{a} - \vec{b} + 3\vec{c}. b) Tính tích vô hướng a⃗⋅(b⃗+c⃗)\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}). c) Tính độ dài các vectơ a⃗,b⃗,c⃗\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}.

Câu 2. Cho tam giác ABCABC có A(1;1;1),B(2;3;−1),C(0;5;3)A(1; 1; 1), B(2; 3; -1), C(0; 5; 3). a) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABCABC. b) Tính cos⁡A\cos A. Tam giác ABCABC có đặc điểm gì đặc biệt (cân, vuông)? c) Tìm tọa độ trọng tâm GG.

Câu 3. Cho hai vectơ u⃗=(2;1;−1)\vec{u} = (2; 1; -1) và v⃗=(1;x;3)\vec{v} = (1; x; 3). a) Tìm xx để u⃗⊥v⃗\vec{u} \perp \vec{v}. b) Tìm xx để ∣v⃗∣=11|\vec{v}| = \sqrt{11}.

Câu 4. Cho tứ diện ABCDABCD có A(2;3;1),B(4;1;−2),C(6;3;7),D(−5;−4;8)A(2; 3; 1), B(4; 1; -2), C(6; 3; 7), D(-5; -4; 8). a) Tìm tọa độ trọng tâm GG của tứ diện. b) Chứng minh AB⊥ACAB \perp AC.

Câu 5. Một người kéo một vật với lực F⃗=(10;20;5)\vec{F} = (10; 20; 5) làm vật dịch chuyển đoạn s⃗=(2;1;0)\vec{s} = (2; 1; 0). Tính công sinh bởi lực đó. Nếu một người khác kéo với lực F′⃗=(5;10;0)\vec{F'} = (5; 10; 0), công sinh ra có thay đổi không?

✏️ Luyện tập trắc nghiệm →
🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →
Miễn phí · Không giới hạn lần làm
📑 Mục lục