Ôn tập Chương IV: Nguyên hàm và tích phân

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

⚡ 1. Nguyên hàm

Hàm số $F(x)$ được gọi là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ nếu $F'(x) = f(x)$ với mọi $x \in K$ .

Họ nguyên hàm: $\int f(x) dx = F(x) + C$ .
Các nguyên hàm cơ bản:
- $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ ( $n \neq -1$ ).
- $\int e^x dx = e^x + C$ .
- $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$ .
- $\int \cos x dx = \sin x + C$ ; $\int \sin x dx = -\cos x + C$ .

⚡ 2. Tích phân

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên đoạn $[a; b]$ .

Công thức Newton-Leibniz: $\int_a^b f(x) dx = F(x) \Big|_a^b = F(b) - F(a)$ .
Tính chất:
- $\int_a^b [f(x) \pm g(x)] dx = \int_a^b f(x) dx \pm \int_a^b g(x) dx$ .
- $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$ .

⚡ 3. Ứng dụng của tích phân

Diện tích hình phẳng ( $S$ ):
- Giới hạn bởi $y=f(x), y=0, x=a, x=b$ : $S = \int_a^b |f(x)| dx$ .
Thể tích vật thể tròn xoay ( $V$ ):
- Khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x), y=0, x=a, x=b$ quanh trục $Ox$ : $V = \pi \int_a^b f^2(x) dx$ .

II. Dạng toán tổng hợp

📌 Phương pháp giải

Kỹ năng giải toán Chương 4:

Phương pháp đổi biến số ( $u = \dots$ ): Dùng khi biểu thức có dạng $f(u(x))u'(x)$ .
Phương pháp từng phần ( $\int u dv = uv - \int v du$ ): Dùng khi tích phân có hỗn hợp đa thức, lượng giác, mũ, ln.
Ứng dụng hình học: Luôn vẽ phác hình hoặc xét dấu biểu thức trong dấu tuyệt đối.

🔍 Ví dụ 1: Tính tích phân bằng đổi biến

Tính tích phân $I = \int_0^1 \frac{2x}{x^2 + 1} dx$ .

💡 Xem lời giải

Đặt $u = x^2 + 1 \Rightarrow du = 2x dx$ .
Đổi cận: $x=0 \Rightarrow u=1$ ; $x=1 \Rightarrow u=2$ .
Khi đó $I = \int_1^2 \frac{1}{u} du = \ln|u| \Big|_1^2 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2$ .

🔍 Ví dụ 2: Tính tích phân từng phần

Tính tích phân $I = \int_0^\pi x \sin x dx$ .

💡 Xem lời giải

Đặt: $\begin{cases} u = x \\ dv = \sin x dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} du = dx \\ v = -\cos x \end{cases}$ .
Áp dụng công thức: $I = -x \cos x \Big|_0^\pi + \int_0^\pi \cos x dx$ .
$I = (-\pi \cos \pi + 0 \cos 0) + \sin x \Big|_0^\pi = \pi + 0 = \pi$ .

🔍 Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = x^2 - 4x$ and trục $Ox$ .

💡 Xem lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^2 - 4x = 0 \Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=4$ .
Diện tích $S = \int_0^4 |x^2 - 4x| dx$ .
Vì trên $(0; 4)$ , $x^2 - 4x < 0$ nên $S = \int_0^4 (4x - x^2) dx = (2x^2 - \frac{x^3}{3}) \Big|_0^4 = 32 - \frac{64}{3} = \frac{32}{3}$ (đvdt).

🔍 Ví dụ 4: Tính thể tích khổi tròn xoay

Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y = \sqrt{x}$ , $y = 0$ , $x = 4$ quanh trục $Ox$ .

💡 Xem lời giải

Cận từ $x=0$ (giao của $\sqrt{x}$ and 0) đến $x=4$ .
Công thức: $V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_0^4 x dx$ .
$V = \pi \frac{x^2}{2} \Big|_0^4 = \pi \frac{16}{2} = 8\pi$ (đvtt).

🔍 Ví dụ 5: Bài toán thực tế — Quãng đường và Vận tốc

Một vật chuyển động với vận tốc $v(t) = 3t^2 + 2t$ (m/s). Tính quãng đường vật đi được từ giây thứ 1 đến giây thứ 3.

💡 Xem lời giải

Quãng đường $s = \int_1^3 v(t) dt$ .
$s = \int_1^3 (3t^2 + 2t) dt = (t^3 + t^2) \Big|_1^3$ .
$s = (3^3 + 3^2) - (1^3 + 1^2) = (27 + 9) - 2 = 34$ mét.

III. Trắc nghiệm ôn tập

Câu 1:Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x) = \cos x$ là:

Câu 2:Cho $\int_1^2 f(x) dx = 3$ và $\int_1^2 g(x) dx = 4$. Tính $I = \int_1^2 [2f(x) - g(x)] dx$.

Câu 3:Tính tích phân $I = \int_0^1 e^x dx$.

Câu 4:Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2, y = 0, x = 1, x = 2$ là:

Câu 5:Một nguyên hàm $F(x)$ của $f(x) = \\frac{1}{x + 1}$ thỏa mãn $F(0) = 1$ là:

Câu 6:Thể tích vật thể tròn xoay khi quay $y = x$ quanh $Ox$ từ $x=0$ đến $x=1$ là:

Đúng / Sai

Câu 7Cho tích phân $I = \int_0^1 \\frac{x}{(x+1)^2} dx$. Đúng hay sai?

a)Đặt $u = x+1$ thì $du = dx$ and $x = u-1$.

b)Sau khi đổi biến, ta cần tính $int_1^2 \frac{u-1}{u^2} du$.

c)Kết quả của tích phân là $ln 2$.

d)Giá trị của $I = ln 2 - 1/2$.

Đúng / Sai

Câu 8Về ứng dụng tích phân. Đúng hay sai?

a)Diện tích hình phẳng luôn là một số dương nếu đồ thị nằm trên Ox.

b)Công thức tính thể tích có chứa số $pi$.

c)Tích phân của vận tốc là quãng đường.

d)Tích phân của gia tốc là vận tốc.

Câu 9:Tính giá trị $\int_1^e \\frac{\ln x}{x} dx$.

Câu 10:Cho $I = \int_0^m (3x^2 - 2x) dx = 0$ ($m > 0$). Tìm giá trị của m.

IV. Bài tập tự luận tổng hợp

📝 Danh sách bài tập tự luận

Câu 1. Tìm họ các nguyên hàm: a) $\int (2x^3 - 5x + \frac{1}{x^2}) dx$ b) $\int (e^x + 3\sin x) dx$ c) $\int \frac{1}{2x+3} dx$ d) $\int (x+1)^{10} dx$

💡 Đáp án

a) $0,5x^4 - 2,5x^2 - 1/x + C$ . b) $e^x - 3\cos x + C$ . c) $0,5\ln|2x+3| + C$ . d) $\frac{(x+1)^{11}}{11} + C$ .

Câu 2. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến: a) $\int_0^{\sqrt{3}} x \sqrt{x^2+1} dx$ b) $\int_1^e \frac{\sqrt{1+\ln x}}{x} dx$ c) $\int_0^{\pi/2} \sin^3 x \cos x dx$ d) $\int_0^1 \frac{e^x}{1+e^x} dx$

💡 Đáp án

a) $7/3$ . b) $2/3(2\sqrt{2}-1)$ . c) $1/4$ . d) $\ln(\frac{1+e}{2})$ .

Câu 3. Tính tích phân từng phần: a) $\int_0^1 x e^x dx$ b) $\int_1^e x \ln x dx$ c) $\int_0^{\pi/2} (x+1) \cos x dx$ d) $\int_1^2 \frac{\ln x}{x^2} dx$

💡 Đáp án

a) 1. b) $(e^2+1)/4$ . c) $\pi/2$ . d) $(1-\ln 2)/2$ .

Câu 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: a) $y = x^2$ and $y = x$ . b) $y = \sqrt{x}, y = 2 - x$ and trục $Ox$ . c) $y = x^3 - x$ and trục $Ox$ . d) $y = e^x, y = 1$ and $x = 1$ .

💡 Đáp án

a) $1/6$ . b) $7/6$ . c) $1/2$ . d) $e-2$ .

Câu 5. Tính thể tích vật thể tròn xoay (xoay quanh $Ox$ ): a) $y = x^2, y = 0, x = 0, x = 1$ . b) $y = \sin x, y = 0, x = 0, x = \pi$ . c) $y = \frac{1}{x}, y = 0, x = 1, x = 2$ . d) $y = e^{2x}, y = 0, x = 0, x = 1$ .

💡 Đáp án

a) $\pi/5$ . b) $\pi^2/2$ . c) $\pi/2$ . d) $\frac{\pi(e^4-1)}{4}$ .

Câu 6. (Thực tế - Vật lý) Một tên lửa được phóng đi với gia tốc $a(t) = 10t$ (m/s²). Ban đầu tên lửa đứng yên ( $v(0)=0$ ). a) Tìm công thức vận tốc $v(t)$ . b) Tính quãng đường tên lửa đi được sau 10 giây đầu tiên.

💡 Đáp án

a) $v(t) = 5t^2$ . b) $s = \int_0^{10} 5t^2 dt = 5000/3 \approx 1667$ m.

Câu 7. Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2 - 1$ và $y = m$ bằng một giá trị cho trước ( $m > -1$ ).

💡 Đáp án

Giải pt hoành độ giao điểm theo m, thiết lập tích phân diện tích, giải phương trình ẩn m.

Câu 8. (Thực tế - Kiến trúc) Mái vòm của một rạp hát có dạng là một diện tích hình phẳng quay quanh trục. Biết mặt cắt ngang là đường parabol $y = 4 - x^2$ . a) Tính diện tích mặt cắt này (giới hạn bởi parabol and trục hoành). b) Tính thể tích không gian dưới mái vòm đó.

💡 Đáp án

a) $\int_{-2}^2 (4-x^2) dx = 32/3$ . b) $V = \pi \int_0^2 (4-x^2)^2 dx = 512\pi/15$ .

Câu 9. Chứng minh các tính chất: a) Nếu $f(x)$ lẻ trên $[-a; a]$ thì $\int_{-a}^a f(x) dx = 0$ . b) Nếu $f(x)$ chẵn trên $[-a; a]$ thì $\int_{-a}^a f(x) dx = 2\int_0^a f(x) dx$ .

💡 Đáp án

Sử dụng phép đổi biến số $t = -x$ .

Câu 10. (Tổng hợp) Tính tích phân $I = \int_{-1}^1 \frac{1}{1 + e^x + x^2} dx$ . (Gợi ý: Sử dụng tính chất hàm chẵn/lẻ kết hợp đổi biến).

💡 Đáp án

Phức tạp, thường kết hợp đổi biến $x = -t$ để đưa về dạng tích phân cơ bản hơn.

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Không giới hạn lần làm

Ôn tập Chương 4 - Toán 12

Ôn tập Chương IV: Nguyên hàm và tích phân

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

II. Dạng toán tổng hợp

III. Trắc nghiệm ôn tập

IV. Bài tập tự luận tổng hợp

Luyện tập trắc nghiệm