Bài 18: Lũy thừa với số mũ thực

I. Khái niệm lũy thừa

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

• Với $n \in \mathbb{Z}^+$: $a^n = a \cdot a \cdot \dots \cdot a$ ($n$ thừa số $a$).
• Với $a \neq 0$: $a^0 = 1$ và $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

2. Căn bậc $n$

Cho số thực $a$ và số nguyên dương $n \geq 2$. Số $x$ được gọi là căn bậc $n$ của số $a$ nếu $x^n = a$.

3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực $a > 0$ và số hữu tỉ $r = \frac{m}{n}$ ($m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{Z}, n \geq 2$). $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$

4. Lũy thừa với số mũ thực

Cho $a > 0$ và số thực $\alpha$. Lũy thừa $a^\alpha$ được xác định thông qua giới hạn của dãy số các lũy thừa với số mũ hữu tỉ.

II. Tính chất của lũy thừa với số mũ thực

Cho $a, b > 0$ và các số thực $\alpha, \beta$. Ta có:

1. $a^\alpha \cdot a^\beta = a^{\alpha + \beta}$
2. $\frac{a^\alpha}{a^\beta} = a^{\alpha - \beta}$
3. $(a^\alpha)^\beta = a^{\alpha \cdot \beta}$
4. $(ab)^\alpha = a^\alpha \cdot b^\alpha$
5. $\left(\frac{a}{b}\right)^\alpha = \frac{a^\alpha}{b^\alpha}$

III. So sánh các lũy thừa

• Nếu $a > 1$ thì $a^\alpha > a^\beta \iff \alpha > \beta$.
• Nếu $0 < a < 1$ thì $a^\alpha > a^\beta \iff \alpha < \beta$.

🔷 Dạng toán: Rút gọn biểu thức chứa lũy thừa

📝 Bài tập trắc nghiệm