🛠️ Công cụ

Bài 16: Góc trong không gian

Cách tính góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, và góc giữa hai mặt phẳng trong không gian Oxyz.

📖 Lý thuyết ✍️ Dạng toán & bài tập 🎯 Trắc nghiệm

I. Lý thuyết

1. Góc giữa hai đường thẳng

Cho d1d_1 có VCP u1⃗=(a1;b1;c1)\vec{u_1} = (a_1; b_1; c_1) và d2d_2 có VCP u2⃗=(a2;b2;c2)\vec{u_2} = (a_2; b_2; c_2). Góc ϕ\phi giữa d1,d2d_1, d_2 (0∘≤ϕ≤90∘0^\circ \le \phi \le 90^\circ): cos⁡ϕ=∣u1⃗⋅u2⃗∣∣u1⃗∣⋅∣u2⃗∣=∣a1a2+b1b2+c1c2∣a12+b12+c12⋅a22+b22+c22\cos \phi = \dfrac{|\vec{u_1} \cdot \vec{u_2}|}{|\vec{u_1}| \cdot |\vec{u_2}|} = \dfrac{|a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng dd có VCP u⃗=(a;b;c)\vec{u} = (a; b; c) và mặt phẳng (α)(\alpha) có VPT n⃗=(A;B;C)\vec{n} = (A; B; C). Góc ϕ\phi giữa dd và (α)(\alpha) (0∘≤ϕ≤90∘0^\circ \le \phi \le 90^\circ): sin⁡ϕ=∣u⃗⋅n⃗∣∣u⃗∣⋅∣n⃗∣=∣Aa+Bb+Cc∣a2+b2+c2⋅A2+B2+C2\sin \phi = \dfrac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|} = \dfrac{|Aa + Bb + Cc|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2} \cdot \sqrt{A^2+B^2+C^2}}

  • Lưu ý: Dùng sin thay vì cos vì góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc phụ của góc giữa u⃗\vec{u} và n⃗\vec{n}.

3. Góc giữa hai mặt phẳng

Cho (α)(\alpha) có VPT n1⃗\vec{n_1} và (β)(\beta) có VPT n2⃗\vec{n_2}. Góc ϕ\phi giữa (α),(β)(\alpha), (\beta) (0∘≤ϕ≤90∘0^\circ \le \phi \le 90^\circ): cos⁡ϕ=∣n1⃗⋅n2⃗∣∣n1⃗∣⋅∣n2⃗∣\cos \phi = \dfrac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}

🔷 Dạng 1: Góc giữa hai đường thẳng

📌 Phương pháp giải

Phương pháp:

  1. Tìm VCP của hai đường thẳng.
  2. Áp dụng công thức cos.
  3. Chú ý: Góc giữa hai đường thẳng luôn ∈[0∘,90∘]\in [0^\circ, 90^\circ].
🔍 Ví dụ 1 (Dễ)

Tính góc giữa hai đường thẳng d1:x−11=y2=z+12d_1: \dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z+1}{2} và d2:x+20=y−11=z1d_2: \dfrac{x+2}{0} = \dfrac{y-1}{1} = \dfrac{z}{1}.

💡 Xem lời giải
  • u1⃗=(1;2;2),u2⃗=(0;1;1)\vec{u_1} = (1; 2; 2), \vec{u_2} = (0; 1; 1).
  • cos⁡ϕ=∣1⋅0+2⋅1+2⋅1∣1+4+4⋅0+1+1=432=223\cos \phi = \dfrac{|1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 1|}{\sqrt{1+4+4} \cdot \sqrt{0+1+1}} = \dfrac{4}{3\sqrt{2}} = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}.
🔍 Ví dụ 2 (Dễ)

Tính góc giữa trục Ox và đường thẳng d:{x=2+ty=1−3tz=5d: \begin{cases} x = 2+t \\ y = 1-\sqrt{3}t \\ z = 5 \end{cases}.

💡 Xem lời giải
  • i⃗=(1;0;0),u⃗=(1;−3;0)\vec{i} = (1; 0; 0), \vec{u} = (1; -\sqrt{3}; 0).
  • cos⁡ϕ=∣1⋅1+0+0∣1⋅1+3=12⇒ϕ=60∘\cos \phi = \dfrac{|1 \cdot 1 + 0 + 0|}{1 \cdot \sqrt{1+3}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \phi = 60^\circ.
🔍 Ví dụ 3 (Trung bình)

Cho hai đường thẳng d1:{x=ty=0z=1+td_1: \begin{cases} x=t \\ y=0 \\ z=1+t \end{cases} và d2:{x=1y=kz=kd_2: \begin{cases} x=1 \\ y=k \\ z=k \end{cases}. Tính góc giữa chúng.

💡 Xem lời giải
  • u1⃗=(1;0;1),u2⃗=(0;1;1)\vec{u_1} = (1; 0; 1), \vec{u_2} = (0; 1; 1).
  • cos⁡ϕ=∣1∣2⋅2=1/2⇒ϕ=60∘\cos \phi = \dfrac{|1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = 1/2 \Rightarrow \phi = 60^\circ.

📝 Thực hành — Dạng 1

Góc giữa hai đường thẳng có VCP $(-1; 0; 1)$ and $(1; 1; 0)$ là:
Tính góc giữa trục Ox and trục Oy.
Hai đường thẳng song song thì góc giữa chúng bằng:
Đúng / SaiCho $d_1: x=t, y=t, z=t$ and $d_2: x=k, y=-k, z=2$:
a)VCP của $d_1$ là $(1; 1; 1)$
b)VCP của $d_2$ là $(1; -1; 0)$
c)Tích vô hướng hai VCP bằng 0
d)Góc giữa hai đường thẳng là $90^\\circ$
Tính góc (độ) giữa hai đường thẳng $d_1: x=t, y=0, z=0$ and $d_2: x=k, y=k, z=0$.

🔷 Dạng 2: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

📌 Phương pháp giải

Phương pháp:

  • Tìm VCP u⃗\vec{u} của đường thẳng.
  • Tìm VPT n⃗\vec{n} của mặt phẳng.
  • Áp dụng: sin⁡ϕ=∣u⃗⋅n⃗∣∣u⃗∣⋅∣n⃗∣\sin \phi = \dfrac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}.
🔍 Ví dụ 1 (Dễ)

Tính góc giữa đường thẳng d:x−11=y+21=z−32d: \dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y+2}{1} = \dfrac{z-3}{\sqrt{2}} và mặt phẳng (P):x+y+2z+5=0(P): x + y + \sqrt{2}z + 5 = 0.

💡 Xem lời giải
  • u⃗=(1;1;2),n⃗=(1;1;2)\vec{u} = (1; 1; \sqrt{2}), \vec{n} = (1; 1; \sqrt{2}).
  • sin⁡ϕ=∣1+1+2∣4⋅4=4/4=1⇒ϕ=90∘\sin \phi = \dfrac{|1+1+2|}{\sqrt{4} \cdot \sqrt{4}} = 4/4 = 1 \Rightarrow \phi = 90^\circ.
🔍 Ví dụ 2 (Trung bình)

Tính góc giữa đường thẳng d:{x=2−ty=5z=1+td: \begin{cases} x=2-t \\ y=5 \\ z=1+t \end{cases} và mặt phẳng (Oxy)(Oxy).

💡 Xem lời giải
  • u⃗=(−1;0;1)\vec{u} = (-1; 0; 1), VPT Oxy là k⃗=(0;0;1)\vec{k} = (0; 0; 1).
  • sin⁡ϕ=∣1∣2⋅1=1/2⇒ϕ=45∘\sin \phi = \dfrac{|1|}{\sqrt{2} \cdot 1} = 1/\sqrt{2} \Rightarrow \phi = 45^\circ.
🔍 Ví dụ 3 (Trung bình)

Tính góc giữa đường thẳng nối O,A(1;1;1)O, A(1;1;1) và mặt phẳng x+y−2z=0x+y-2z=0.

💡 Xem lời giải
  • OA⃗=(1,1,1),n⃗=(1,1,−2)\vec{OA} = (1, 1, 1), \vec{n} = (1, 1, -2).
  • sin⁡ϕ=∣1+1−2∣…=0⇒ϕ=0∘\sin \phi = \dfrac{|1+1-2|}{\dots} = 0 \Rightarrow \phi = 0^\circ. (Đường thẳng nằm trong hoặc song song mặt phẳng).

📝 Thực hành — Dạng 2

Để tính góc giữa đường thẳng and mặt phẳng, ta dùng hàm lượng giác nào?
Góc giữa trục Oz and mặt phẳng $z-5=0$ là:
Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng thì góc giữa chúng là:
Đúng / SaiCho $d: x=1+t, y=1-t, z=\\\\sqrt{2}t$ and $(P): z=0$:
a)VCP của d là $(1; -1; \\sqrt{2})$
b)VPT của (P) là $(0; 0; 1)$
c)$\\sin \\phi = \\frac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{4} \\cdot 1} = \\frac{\\sqrt{2}}{2}$
d)Góc giữa d and (P) là $30^\\circ$
Tính góc (độ) giữa đường thẳng $x=y=z$ and mặt phẳng Oxy.

🔷 Dạng 3: Góc giữa hai mặt phẳng

📌 Phương pháp giải

Phương pháp:

  • Xác định VPT n1⃗,n2⃗\vec{n_1}, \vec{n_2}.
  • Sử dụng cos⁡ϕ=∣n1⃗⋅n2⃗∣∣n1⃗∣⋅∣n2⃗∣\cos \phi = \dfrac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}.
🔍 Ví dụ 1 (Dễ)

Tính góc giữa hai mặt phẳng (P):x+y−1=0(P): x+y-1 = 0 và (Q):y+z+1=0(Q): y+z+1 = 0.

💡 Xem lời giải
  • nP⃗=(1,1,0),nQ⃗=(0,1,1)\vec{n_P} = (1, 1, 0), \vec{n_Q} = (0, 1, 1).
  • cos⁡ϕ=∣1∣2⋅2=1/2⇒ϕ=60∘\cos \phi = \dfrac{|1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = 1/2 \Rightarrow \phi = 60^\circ.
🔍 Ví dụ 2 (Dễ)

Tính góc giữa hai mặt phẳng (Oxy)(Oxy) và (Oyz)(Oyz).

💡 Xem lời giải

k⃗=(0,0,1)\vec{k}=(0,0,1) và i⃗=(1,0,0)⇒cos⁡=0⇒90∘\vec{i}=(1,0,0) \Rightarrow \cos = 0 \Rightarrow 90^\circ.

🔍 Ví dụ 3 (Trung bình)

Tìm hằng số mm để góc giữa (P):x+z−1=0(P): x+z-1=0 và (Q):y+mz+2=0(Q): y+mz+2=0 bằng 60∘60^\circ.

💡 Xem lời giải
  • n1⃗=(1,0,1),n2⃗=(0,1,m)\vec{n_1}=(1,0,1), \vec{n_2}=(0,1,m).
  • cos⁡60∘=1/2=∣m∣2⋅1+m2\cos 60^\circ = 1/2 = \dfrac{|m|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{1+m^2}}.
  • 2∣m∣=2(1+m2)⇒4m2=2+2m2⇒2m2=2⇒m=±12|m| = \sqrt{2(1+m^2)} \Rightarrow 4m^2 = 2+2m^2 \Rightarrow 2m^2=2 \Rightarrow m = \pm 1.

📝 Thực hành — Dạng 3

Hai mặt phẳng vuông góc thì góc giữa chúng là:
Tính góc giữa $x+y+z-1=0$ and $x+y-2=0$.
Góc giữa các mặt phẳng tọa độ song song/trùng nhau là:
Đúng / SaiXét hai mp $(P): x-y=0$ and $(Q): x-z=0$:
a)$\\vec{n_P} = (1; -1; 0)$
b)$\\vec{n_Q} = (1; 0; -1)$
c)$\\cos \\phi = 1/(\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{2}) = 1/2$
d)Góc giữa chúng là $30^\\circ$
Tính góc (độ) giữa $x+y+z-10=0$ and mặt phẳng Oxy.

🔷 Dạng 4: Ứng dụng góc trong bài toán thực tế

📌 Phương pháp giải

Phương pháp:

  • Tính độ dốc của mái nhà, đường hầm.
  • Tính góc thu nắng của pin năng lượng mặt trời.
  • Tính góc lệch trong cơ khí, xây dựng.
🔍 Ví dụ 1 (Trung bình)

Một dốc đường có bề mặt thuộc mặt phẳng x+y+10z=0x+y+10z=0. Một chiếc xe đi theo hướng trục Ox. Tính góc mà xe đang leo so với phương ngang.

💡 Xem lời giải
  • Hướng xe u⃗=(1,0,0)\vec{u}=(1,0,0). Mặt ngang Oxy có n⃗=(0,0,1)\vec{n}=(0,0,1).
  • Đây là góc giữa đường thẳng (hướng xe) và mặt phẳng (mặt dốc)? Sai.
  • Đề hỏi: Góc giữa hướng xe và phương ngang (Oxy). Xe nằm trên dốc.
  • sin⁡ϕ\sin \phi của hướng xe u⃗\vec{u} so với Oxy. u⃗\vec{u} phải thuộc mặt dốc ⇒\Rightarrow chưa đủ dữ kiện hướng cụ thể.
  • Giả sử xe đi thẳng theo “vách lôi” của dốc.
🔍 Ví dụ 2 (Khó)

Một rạp phim có màn hình phẳng x=0x=0, sàn nhà z=0z=0. Một chùm sáng chiếu từ máy chiếu S(10,0,5)S(10, 0, 5) đến tâm màn hình O(0,0,0)O(0, 0, 0). Tính góc giữa chùm sáng và màn hình.

💡 Xem lời giải
  • VCP chùm sáng SO⃗=(−10,0,−5)∥(2,0,1)\vec{SO} = (-10, 0, -5) \parallel (2, 0, 1).
  • VPT màn hình x=0x=0 là i⃗=(1,0,0)\vec{i}=(1, 0, 0).
  • sin⁡ϕ=∣2+0+0∣5⋅1=2/5≈0.89⇒ϕ≈63.43∘\sin \phi = \dfrac{|2+0+0|}{\sqrt{5} \cdot 1} = 2/\sqrt{5} \approx 0.89 \Rightarrow \phi \approx 63.43^\circ.

📝 Thực hành — Dạng 4

Độ dốc mái nhà là góc giữa mặt phẳng mái and:
Góc nghiêng của kim tự tháp là góc giữa:
Tia sáng mặt trời chiếu xuống đất tạo một góc. Nếu tia sáng $\\\\vec{u}=(-1, -1, -2)$, góc với đất Oxy là:
Đúng / SaiMột bức tường nghiêng $(P): x+y+z=0$. Một sợi dây dọi treo thẳng đứng (trục Oz):
a)VCP dây dọi là $(0,0,1)$
b)VPT tường là $(1,1,1)$
c)$\\sin$ góc giữa dây and tường là $1/\\sqrt{3}$
d)Dây dọi song song với tường
Tính góc (độ) giữa hai dốc kề nhau có PT $x+y=0$ and $x-y=0$.
📝 Bài tập tự luận — Tổng hợp

Câu 1. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau: a) d1:{x=1+ty=2−tz=3d_1: \begin{cases} x=1+t \\ y=2-t \\ z=3 \end{cases} và d2:{x=2y=tz=1+td_2: \begin{cases} x=2 \\ y=t \\ z=1+t \end{cases}. b) d1:x−12=y+11=z−2d_1: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y+1}{1} = \dfrac{z}{-2} và trục OyOy.

Câu 2. Cho mặt phẳng (P):2x−y+2z−1=0(P): 2x - y + 2z - 1 = 0 và đường thẳng d:x−11=y1=z+20d: \dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z+2}{0}. a) Tính góc giữa đường thẳng dd và mặt phẳng (P)(P). b) Viết phương trình mặt phẳng (Q)(Q) đi qua dd và tạo với (P)(P) một góc nhỏ nhất.

Câu 3. Tính góc giữa mặt phẳng (ABC)(ABC) cực qua A(1;0;0),B(0;2;0),C(0;0;3)A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3) và mặt phẳng (Oxy)(Oxy).

Câu 4. Tìm một vectơ pháp tuyến n⃗=(A;B;1)\vec{n} = (A; B; 1) của mặt phẳng (P)(P) biết (P)(P) đi qua trục OzOz và tạo với mặt phẳng (Q):x+y−2z=0(Q): x + y - \sqrt{2}z = 0 một góc 60∘60^\circ.

Câu 5. Một tấm pin năng lượng mặt trời phẳng có phương trình x+y+z−10=0x + y + z - 10 = 0. Tại một thời điểm, các tia sáng mặt trời chiếu theo phương s⃗=(1;2;−5)\vec{s} = (1; 2; -5). a) Tính góc giữa tia sáng mặt trời và tấm pin. b) Để thu được năng lượng tối đa, tấm pin cần vuông góc với tia sáng. Hãy tìm một vị trí mới (phương trình mặt phẳng) cho tấm pin sao cho nó đi qua tâm M(1;1;1)M(1; 1; 1) và vuông góc với phương s⃗\vec{s} của tia sáng.

✏️ Luyện tập trắc nghiệm →
🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →
Miễn phí · Không giới hạn lần làm
📑 Mục lục