Bài 9: Tích của một số với một vectơ

I. Lý thuyết trọng tâm

1. Khái niệm tích một số với một vectơ

📌 Định nghĩa Tích của số $k$ với vectơ $ec{a}$

• Tích của số thực $k \ne 0$ với vectơ $\vec{a} \ne \vec{0}$ là một vectơ, kí hiệu $k\vec{a}$, được xác định như sau:

Cùng hướng với $\vec{a}$ nếu $k > 0$; ngược hướng với $\vec{a}$ nếu $k < 0$.
Có độ dài bằng $|k| \cdot |\vec{a}|$.

• Quy ước: $0 \cdot \vec{a} = \vec{0}$ và $k \cdot \vec{0} = \vec{0}$.

2. Tính chất phép nhân số với vectơ

📋 Các tính chất đại số

$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$
$(k + m)\vec{a} = k\vec{a} + m\vec{a}$
$k(m\vec{a}) = (km)\vec{a}$
$1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$; $(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$

3. Điều kiện cùng phương & thẳng hàng

⚡ Điều kiện song song / cùng phương / thẳng hàng

• Hai vectơ cùng phương: Điều kiện cần và đủ để hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ (với $\vec{a} \ne \vec{0}$) cùng phương là có một số thực $k$ sao cho $\vec{b} = k\vec{a}$.

• Ba điểm thẳng hàng: Ba điểm phân biệt $A, B, C$ thẳng hàng khi và chỉ khi có số thực $k \ne 0$ sao cho $\vec{AB} = k\vec{AC}$.

4. Phân tích một vectơ theo hai vectơ

⚡ Định lý Biểu diễn vectơ

Cho hai vectơ không cùng phương $\vec{a}$ và $\vec{b}$. Với mọi vectơ $\vec{x}$, luôn tồn tại duy nhất một cặp số thực $(m; n)$ sao cho:

$\vec{x} = m\vec{a} + n\vec{b}$

🔷 Dạng 1: Thực hiện phép toán nhân số với vectơ

🔍 Ví dụ minh họa (Dạng 1)

Rút gọn biểu thức vectơ $u = 2(\vec{a} + 3\vec{b}) - 3(2\vec{a} - \vec{b})$.

💡 Xem lời giải

• Khai triển theo tính chất phân phối:

$u = 2\vec{a} + 6\vec{b} - 6\vec{a} + 3\vec{b} = (2-6)\vec{a} + (6+3)\vec{b} = -4\vec{a} + 9\vec{b}$.

📝 Thực hành — Dạng 1

✏️ Bài tập 1.1

Cho đoạn thẳng $AB$ có trung điểm $I$. Biểu diễn vectơ $\vec{AB}$ theo $\vec{AI}$ và $\vec{IA}$.

💡 Xem lời giải

• Vì $I$ là trung điểm $AB$ nên $\vec{AB} = 2\vec{AI}$.

• Do $\vec{AI} = -\vec{IA}$ nên $\vec{AB} = -2\vec{IA}$.

🔷 Dạng 2: Phân tích một vectơ theo hai vectơ cho trước

🔍 Ví dụ minh họa (Dạng 2)

Cho tam giác $ABC$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Biểu diễn $\vec{AM}$ theo hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$.

💡 Xem lời giải

• Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên với mọi điểm $A$, ta có quy tắc trung điểm:

$\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}$.

📝 Thực hành — Dạng 2

✏️ Bài tập 2.1

Cho tam giác $ABC$. Gọi $N$ là điểm trên cạnh $AC$ sao cho $AN = 2NC$. Biểu diễn $\vec{BN}$ theo $\vec{BA}$ và $\vec{BC}$.

💡 Xem lời giải

• Ta có $\vec{AN} = \frac{2}{3}\vec{AC}$.

• $\vec{BN} = \vec{BA} + \vec{AN} = \vec{BA} + \frac{2}{3}\vec{AC} = \vec{BA} + \frac{2}{3}(\vec{BC} - \vec{BA}) = \frac{1}{3}\vec{BA} + \frac{2}{3}\vec{BC}$.

🔷 Dạng 3: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng

🔍 Ví dụ minh họa (Dạng 3)

Cho tam giác $ABC$. Lấy điểm $I$ sao cho $\vec{IA} + 2\vec{IB} = \vec{0}$ và điểm $K$ sao cho $\vec{KA} + 2\vec{KB} + 3\vec{KC} = \vec{0}$. Chứng minh 3 điểm $C, I, K$ thẳng hàng.

💡 Xem lời giải

• Chèn điểm $I$ vào đẳng thức của $K$:

$(\vec{KI} + \vec{IA}) + 2(\vec{KI} + \vec{IB}) + 3\vec{KC} = \vec{0} \iff 3\vec{KI} + (\vec{IA} + 2\vec{IB}) + 3\vec{KC} = \vec{0}$.

• Vì $\vec{IA} + 2\vec{IB} = \vec{0}$ nên $3\vec{KI} + 3\vec{KC} = \vec{0} \iff \vec{KC} = -\vec{KI} = \vec{IK}$.

• Do $\vec{KC} = \vec{IK}$ nên $K$ là trung điểm của $IC$, suy ra 3 điểm $C, I, K$ thẳng hàng.

📝 Thực hành — Dạng 3

✏️ Bài tập 3.1

Cho tam giác $ABC$. Gọi $M$ thỏa $\vec{MA} = -2\vec{MB}$ và $N$ thỏa $\vec{NB} = 2\vec{NC}$. Biểu diễn $\vec{MN}$ theo $\vec{AB}, \vec{AC}$ để xét sự thẳng hàng.

💡 Xem lời giải

• $\vec{AM} = \frac{2}{3}\vec{AB}$.

• $\vec{BN} = 2\vec{BC} = 2(\vec{AC} - \vec{AB}) \Rightarrow \vec{AN} = \vec{AB} + \vec{BN} = -\vec{AB} + 2\vec{AC}$.

• $\vec{MN} = \vec{AN} - \vec{AM} = -\frac{5}{3}\vec{AB} + 2\vec{AC}$.

📝 Bài tập tự luận — Tổng hợp

📝 Bài tập tự luận Tích của một số với một vectơ

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Gọi $I$ là trung điểm của $AG$. Biểu diễn vectơ $\vec{BI}$ theo hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$.

💡 Xem lời giải

• Vì $G$ là trọng tâm nên $\vec{AG} = \frac{1}{3}(\vec{AB} + \vec{AC})$.

• $I$ là trung điểm $AG$ nên $\vec{AI} = \frac{1}{2}\vec{AG} = \frac{1}{6}\vec{AB} + \frac{1}{6}\vec{AC}$.

• $\vec{BI} = \vec{AI} - \vec{AB} = \left(\frac{1}{6}\vec{AB} + \frac{1}{6}\vec{AC}\right) - \vec{AB} = -\frac{5}{6}\vec{AB} + \frac{1}{6}\vec{AC}$.

🎯 Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Làm các câu hỏi sau để củng cố toàn bộ kiến thức về Tích của một số với một vectơ. Hệ thống sẽ hiển thị kết quả và lời giải chi tiết ngay khi bạn trả lời.

🎯

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Tích của một số với một vectơ

Hàng trăm câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra và tự đánh giá năng lực ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Mở trong tab mới