Bài 5: Ứng dụng đạo hàm giải quyết một số vấn đề thực tiễn

I. Lý thuyết

Để giải quyết một vấn đề thực tiễn bằng ứng dụng đạo hàm (bài toán tối ưu hóa), ta thường thực hiện theo 3 bước sau:

1. Thiết lập mô hình toán học

Xác định đại lượng cần tối ưu (GTLN hoặc GTNN).
Chọn một biến độc lập (ẩn số $x$ ) và tìm điều kiện của biến đó dựa trên thực tế.
Biểu diễn đại lượng cần tối ưu dưới dạng một hàm số $f(x)$ theo biến $x$ .

2. Giải toán bằng đạo hàm

Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên tập xác định đã tìm được bằng cách sử dụng đạo hàm và bảng biến thiên.

3. Kết luận thực tiễn

Giải thích kết quả toán học thu được dưới ngôn ngữ của bài toán thực tế ban đầu.

🔷 Dạng 1: Bài toán thực tế trong kinh tế và xã hội

📌 Phương pháp giải

Các công thức cần nhớ:

Lợi nhuận $P(x) = R(x) - C(x)$ (Doanh thu - Chi phí).
Doanh thu $R(x) = p(x) \cdot x$ (Giá bán $\times$ Số lượng).
Để lợi nhuận tối đa, ta tìm giá trị $x$ làm cho $P(x)$ đạt cực đại.

🔍 Ví dụ 1 (Trung bình) — Tối ưu hóa lợi nhuận

Một xưởng sản xuất giày tính toán rằng chi phí để sản xuất $x$ đôi giày là $C(x) = x^2 + 40x + 1000$ (nghìn đồng). Mỗi đôi giày bán ra với giá 120 nghìn đồng. Xưởng cần sản xuất bao nhiêu đôi để lợi nhuận cao nhất?

💡 Xem lời giải

Doanh thu: $R(x) = 120x$ .
Lợi nhuận: $P(x) = R(x) - C(x) = 120x - (x^2 + 40x + 1000) = -x^2 + 80x - 1000$ .
Xét trên $x > 0$ : $P'(x) = -2x + 80$ .
$P'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 40$ . Vậy xưởng cần sản xuất 40 đôi giày để lợi nhuận đạt tối đa.

📝 Thực hành — Dạng 1

Một công ty dự định tăng giá bán từ 50k lên $x$ k. Số lượng bán giảm theo công thức $q(x) = 100 - x$. Doanh thu $R(x) = x(100-x)$ đạt cực đại tại giá bán bao nhiêu?

Đúng / SaiHàm chi phí trung bình để sản xuất $x$ sản phẩm là $f(x) = \dfrac{x^2 + 100}{x}$ ($x > 0$). Khẳng định sau đúng hay sai?

a)Chi phí trung bình nhỏ nhất khi sản xuất 10 sản phẩm

b)Giá trị chi phí trung bình nhỏ nhất là 20

c)Sản xuất càng nhiều thì chi phí trung bình luôn giảm

d)Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm cực tiểu của nó

🔷 Dạng 2: Bài toán thực tế trong vật lý và kỹ thuật

📌 Phương pháp giải

Phương pháp:

Vận tốc $v(t) = s'(t)$ .
Gia tốc $a(t) = v'(t) = s''(t)$ .
Để tìm vận tốc lớn nhất, ta tìm giá trị $t$ làm cho $v(t)$ đạt cực đại (thường là khi $a(t) = 0$ ).

🔍 Ví dụ 1 (Trung bình) — Vận tốc lớn nhất

Một vật chuyển động theo quy luật $s(t) = -t^3 + 9t^2 + 2$ ( $t$ tính bằng giây, $s$ tính bằng mét). Tính thời điểm vật đạt vận tốc lớn nhất.

💡 Xem lời giải

Vận tốc tại thời điểm $t$ : $v(t) = s'(t) = -3t^2 + 18t$ .
Xét hàm $v(t)$ trên $t \ge 0$ : $v'(t) = -6t + 18$ .
$v'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 3$ (s).
Tại $t=3$ , $v'(t)$ đổi dấu từ dương sang âm nên $t=3$ là điểm cực đại của vận tốc. Vậy sau 3 giây vật đạt vận tốc lớn nhất.

📝 Thực hành — Dạng 2

Một quả bóng được ném lên cao theo độ cao $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$. Độ cao lớn nhất quả bóng đạt được là bao nhiêu mét?

🔷 Dạng 3: Bài toán tối ưu hóa hình học

📌 Phương pháp giải

Phương pháp: Thiết lập biểu thức diện tích, thể tích hoặc chiều dài theo một ẩn số rồi tìm cực trị trên khoảng xác định của ẩn đó.

🔍 Ví dụ 1 (Khó) — Mương nước tối ưu

Một mương nước mặt cắt hình chữ nhật diện tích $2 m^2$ . Tìm kích thước đáy $x$ để diện tích xây dựng (đáy + 2 thành bên) là nhỏ nhất.

💡 Xem lời giải

$x \cdot h = 2 \Rightarrow h = 2/x$ .
Diện tích $S = x + 2h = x + 4/x$ ( $x > 0$ ).
$S'(x) = 1 - 4/x^2 = 0 \Leftrightarrow x = 2$ .
Vậy đáy rộng 2m và chiều cao 1m sẽ tốn ít vật liệu xây dựng nhất.

📝 Bài tập tự luận — Tổng hợp

Câu 1. Một hộ nông dân trồng cam tính toán rằng nếu vườn cam có $x$ cây cam thì doanh thu mỗi cây tính trung bình là $150 - x$ (nghìn đồng). Hỏi vườn nên có bao nhiêu cây để tổng doanh thu là lớn nhất?

Câu 2. Một mạch điện có cường độ dòng điện thay đổi theo thời gian $I(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 2$ ( $t \in [0; 4]$ ). Tìm cường độ dòng điện lớn nhất trong khoảng thời gian này.

Câu 3. Người ta muốn rào mảnh vườn hình chữ nhật diện tích $600 m^2$ bằng cách dựa vào một bức tường nhà có sẵn (chỉ rào 3 cạnh). Tìm kích thước để chiều dài hàng rào ngắn nhất.

Câu 4. Một chiếc tàu tiêu tốn lượng nhiên liệu tỷ lệ với $v^3$ ( $v$ là vận tốc). Biết tại 10 km/h tàu tốn 20 lít/giờ. Tìm vận tốc để tàu tốn ít nhiên liệu nhất khi đi quãng đường 100km.

Câu 5. Một tấm bìa hình tròn bán kính $R$ . Cắt ra một hình quạt rồi cuộn lại thành hình nón. Tính góc ở tâm của hình quạt bị cắt để thể tích khối nón là lớn nhất.

✏️ Luyện tập trắc nghiệm →

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Không giới hạn lần làm