Bài 5: Giá trị lượng giác từ 0° đến 180°
Lý thuyết chi tiết và bài tập có lời giải Bài 5: Giá trị lượng giác từ 0° đến 180° — SGK Toán 10 Kết nối tri thức.
I. Lý thuyết trọng tâm
1. Giá trị lượng giác góc 0° đến 180°
Trên mặt phẳng $Oxy$, nửa đường tròn đơn vị là nửa đường tròn tâm $O$, bán kính $R = 1$ nằm phía trên trục hoành $Ox$.
Với mỗi góc $\alpha$ ($0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$), ứng với một điểm $M(x_0; y_0)$ duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM} = \alpha$. Khái niệm các giá trị lượng giác:
- Tung độ $y_0$ gọi là $\sin$ của góc $\alpha$, kí hiệu $\sin \alpha = y_0$.
- Hoành độ $x_0$ gọi là $\cos$ của góc $\alpha$, kí hiệu $\cos \alpha = x_0$.
- Tỉ số $\frac{y_0}{x_0}$ ($x_0 \ne 0$) gọi là $\tan$ của góc $\alpha$, kí hiệu $\tan \alpha = \frac{y_0}{x_0} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
- Tỉ số $\frac{x_0}{y_0}$ ($y_0 \ne 0$) gọi là $\cot$ của góc $\alpha$, kí hiệu $\cot \alpha = \frac{x_0}{y_0} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.
- Với $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ (góc nhọn): $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha > 0$, $\tan \alpha > 0$, $\cot \alpha > 0$.
- Với $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ (góc tù): $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha < 0$, $\tan \alpha < 0$, $\cot \alpha < 0$.
2. GTLG của hai góc bù nhau
$\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$
$\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$
$\tan(180^\circ - \alpha) = -\tan \alpha \quad (\alpha \ne 90^\circ)$
$\cot(180^\circ - \alpha) = -\cot \alpha \quad (0^\circ < \alpha < 180^\circ)$
3. Bảng GTLG của các góc đặc biệt
| Góc $\alpha$ | $0^\circ$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ | $90^\circ$ | $120^\circ$ | $135^\circ$ | $150^\circ$ | $180^\circ$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $sin alpha$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ |
| $cos alpha$ | $1$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ | $-\frac{1}{2}$ | $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $-1$ |
| $ an alpha$ | $0$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | || | $-\sqrt{3}$ | $-1$ | $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $0$ |
4. Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản
- $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
- $\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1 \quad (0^\circ < \alpha < 180^\circ, \alpha \ne 90^\circ)$
- $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \quad (\alpha \ne 90^\circ)$
- $1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \quad (0^\circ < \alpha < 180^\circ)$
🔷 Dạng 1: Tính GTLN dựa vào góc bù & góc đặc biệt
Tính giá trị của biểu thức: $A = \sin 30^\circ + \cos 120^\circ - \tan 135^\circ$.
Xem lời giải
• $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$
• $\cos 120^\circ = -\cos(180^\circ - 120^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$
• $\tan 135^\circ = -\tan(180^\circ - 135^\circ) = -\tan 45^\circ = -1$
Thay vào biểu thức: $A = \frac{1}{2} + \left(-\frac{1}{2}\right) - (-1) = 1$.
📝 Thực hành — Dạng 1
Tính giá trị biểu thức $B = \cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \cos 140^\circ + \cos 160^\circ$.
Xem lời giải
Áp dụng $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$:
• $\cos 160^\circ = -\cos 20^\circ$
• $\cos 140^\circ = -\cos 40^\circ$
Do đó $B = \cos 20^\circ + \cos 40^\circ - \cos 40^\circ - \cos 20^\circ = 0$.
🔷 Dạng 2: Tính GTLG còn lại khi biết 1 GTLG
Cho $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ với $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Tính $\cos \alpha$ và $\tan \alpha$.
Xem lời giải
• Sử dụng công thức $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25}$.
• Vì $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ nên $\cos \alpha < 0$. Do đó $\cos \alpha = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$.
• $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}$.
📝 Thực hành — Dạng 2
Cho $\cos \alpha = -\frac{1}{3}$. Tính giá trị của biểu thức $P = \sin^2 \alpha + 3\cos^2 \alpha$.
Xem lời giải
• Ta có $\cos^2 \alpha = \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$.
• $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.
• $P = \frac{8}{9} + 3\left(\frac{1}{9}\right) = \frac{11}{9}$.
🔷 Dạng 3: Rút gọn & Chứng minh đẳng thức lượng giác
Rút gọn biểu thức $A = (1 - \sin^2 \alpha)\cot^2 \alpha + 1 - \cot^2 \alpha$.
Xem lời giải
• Thấy $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$.
• $A = \cos^2 \alpha \cdot \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + 1 - \cot^2 \alpha$
Cách ngắn hơn: $A = \cot^2 \alpha - \sin^2 \alpha \cot^2 \alpha + 1 - \cot^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \cdot \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$.
📝 Thực hành — Dạng 3
Chứng minh rằng: $\frac{1 + \sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha}$ (với $\alpha \ne 90^\circ$).
Xem lời giải
Xét tích chéo: $(1 + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha) = 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha = \cos \alpha \cdot \cos \alpha$.
Vì đẳng thức tích chéo đúng nên đẳng thức ban đầu được chứng minh.
📝 Bài tập tự luận — Tổng hợp
Bài 1. Tính giá trị các biểu thức lượng giác sau:
a) $M = \sin^2 15^\circ + \sin^2 35^\circ + \sin^2 55^\circ + \sin^2 75^\circ$.
b) $N = \cos 0^\circ + \cos 20^\circ + \cos 40^\circ + ... + \cos 160^\circ + \cos 180^\circ$.
Xem lời giải
a) Nhóm góc phụ nhau: $\sin 75^\circ = \cos 15^\circ, \sin 55^\circ = \cos 35^\circ$. Do đó $M = (\sin^2 15^\circ + \cos^2 15^\circ) + (\sin^2 35^\circ + \cos^2 35^\circ) = 1 + 1 = 2$.
b) Nhóm góc bù nhau: $\cos(180^\circ - x) = -\cos x$. Các cặp triệt tiêu nhau, còn lại $\cos 90^\circ = 0$. Vậy $N = 0$.
🎯 Bài tập trắc nghiệm tự luyện
Làm các câu hỏi sau để củng cố toàn bộ kiến thức về Giá trị lượng giác từ 0° đến 180°. Hệ thống sẽ hiển thị kết quả và lời giải chi tiết ngay khi bạn trả lời.
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Giá trị lượng giác từ 0° đến 180°
Hàng trăm câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra và tự đánh giá năng lực ngay!
🚀 Làm bài trắc nghiệm →