Ôn tập Chương I: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

⚡ 1. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Đơn vị đo: $180^\circ = \pi$ rad. Công thức chuyển đổi: $\alpha \text{ rad} = \left(\frac{180\alpha}{\pi}\right)^\circ$ và $a^\circ = \frac{a\pi}{180} \text{ rad}$ .
Công thức lượng giác cơ bản:
- $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
- $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ ( $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ )
- $1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$ ( $\alpha \neq k\pi$ )
- $\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$
Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt: Cos đối, Sin bù, Phụ chéo, Hơn kém $\pi$ Tan.

⚡ 2. Các công thức lượng giác

Công thức cộng:
- $\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b$
- $\cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b$
Công thức nhân đôi:
- $\sin 2a = 2\sin a \cos a$
- $\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$
Công thức biến đổi: Tích thành tổng và tổng thành tích.

⚡ 3. Hàm số lượng giác

Hàm số $y = \sin x$ và $y = \cos x$ : Tập xác định $D = \mathbb{R}$ , tập giá trị $[-1; 1]$ , tuần hoàn với chu kỳ $2\pi$ .
Hàm số $y = \tan x$ : $D = \mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi\}$ , tuần hoàn với chu kỳ $\pi$ .
Hàm số $y = \cot x$ : $D = \mathbb{R} \setminus \{k\pi\}$ , tuần hoàn với chu kỳ $\pi$ .

⚡ 4. Phương trình lượng giác cơ bản

$\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k2\pi$ hoặc $x = \pi - \alpha + k2\pi$ .
$\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi$ .
$\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi$ .
$\cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi$ .

II. Dạng toán tổng hợp

📌 Phương pháp giải

Kỹ năng giải toán:

Rút gọn biểu thức: Sử dụng linh hoạt công thức cộng, nhân đôi để đưa về dạng đơn giản.
Tìm tập xác định/giá trị: Chú ý điều kiện của mẫu số và tính chất $-1 \leq \sin, \cos \leq 1$ .
Giải phương trình: Đưa về phương trình cơ bản hoặc phương trình bậc hai đối với một giá trị lượng giác.

🔍 Ví dụ 1: Tính giá trị lượng giác

Cho $\cos \alpha = -\frac{2}{3}$ với $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ . Tính $\sin \alpha$ và $\tan 2\alpha$ .

💡 Xem lời giải

Vì $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ (góc phần tư thứ III) nên $\sin \alpha < 0$ .
$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{5}{9} \Rightarrow \sin \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3}$ .
$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ .
$\tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2}}{1 - \frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{-\frac{1}{4}} = -4\sqrt{5}$ .

🔍 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức

Rút gọn biểu thức $A = \frac{\sin 2a + \sin a}{1 + \cos 2a + \cos a}$ .

💡 Xem lời giải

$A = \frac{2\sin a \cos a + \sin a}{1 + (2\cos^2 a - 1) + \cos a} = \frac{\sin a (2\cos a + 1)}{2\cos^2 a + \cos a} = \frac{\sin a (2\cos a + 1)}{\cos a (2\cos a + 1)} = \tan a$ .

🔍 Ví dụ 3: Giải phương trình lượng giác

Giải phương trình: $\cos 2x - 3\cos x + 2 = 0$ .

💡 Xem lời giải

Thay $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ : $2\cos^2 x - 1 - 3\cos x + 2 = 0 \Leftrightarrow 2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0$ . Đặt $t = \cos x$ ( $-1 \leq t \leq 1$ ), ta có: $2t^2 - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1$ hoặc $t = \frac{1}{2}$ .

Với $\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi$ .
Với $\cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi$ .

🔍 Ví dụ 4: Bài toán thực tế — Dao động điều hòa

Một vật dao động điều hòa theo phương trình $x = 5\cos(2\pi t + \frac{\pi}{6})$ (cm). a) Tìm biên độ và chu kỳ dao động. b) Tìm thời điểm đầu tiên vật đi qua vị trí cân bằng ( $x = 0$ ).

💡 Xem lời giải

a) Biên độ $A = 5$ cm. Tần số góc $\omega = 2\pi \Rightarrow T = \frac{2\pi}{\omega} = 1$ giây. b) $x = 0 \Leftrightarrow 5\cos(2\pi t + \frac{\pi}{6}) = 0 \Leftrightarrow 2\pi t + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k\pi$ $2\pi t = \frac{\pi}{3} + k\pi \Leftrightarrow t = \frac{1}{6} + \frac{k}{2}$ . Thời điểm đầu tiên $(t > 0)$ ứng với $k = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{6}$ giây.

🔍 Ví dụ 5: Ứng dụng thực tế — Thủy triều

Độ cao mực nước (m) tại một cảng biển được tính theo công thức $h(t) = 4\sin(\frac{\pi t}{6} - \frac{\pi}{2}) + 10$ ( $t$ là số giờ tính từ nửa đêm). a) Mực nước cao nhất và thấp nhất là bao nhiêu? b) Tìm thời điểm trong ngày (từ 0h đến 24h) mực nước đạt mức 12m.

💡 Xem lời giải

a) Vì $-1 \leq \sin \leq 1$ nên:

$h_{max} = 4(1) + 10 = 14$ m.
$h_{min} = 4(-1) + 10 = 6$ m. b) $h(t) = 12 \Leftrightarrow 4\sin(\frac{\pi t}{6} - \frac{\pi}{2}) + 10 = 12 \Leftrightarrow \sin(\frac{\pi t}{6} - \frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}$ .
$\frac{\pi t}{6} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6} + k2\pi \Rightarrow \frac{t}{6} = \frac{2}{3} + 2k \Rightarrow t = 4 + 12k \rightarrow t \in \{4, 16\}$ .
$\frac{\pi t}{6} - \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \Rightarrow \frac{t}{6} = \frac{4}{3} + 2k \Rightarrow t = 8 + 20k \rightarrow t \in \{8, 20\}$ . Vậy lúc 4h, 8h, 16h, 20h mực nước đạt 12m.

III. Trắc nghiệm ôn tập

Câu 1:Đổi góc $a = \\frac{2\pi}{5}$ sang đơn vị độ ta được:

Câu 2:Cho $\sin \alpha = \\frac{3}{5}$. Tính $\cos 2\alpha$.

Câu 3:Tập giá trị của hàm số $y = \\cos x$ là:

Câu 4:Công thức nào sau đây đúng?

Câu 5:Nghiệm của phương trình $\sin x = 1$ là:

Câu 6:Giá trị lớn nhất của hàm số $y = 3\sin(x - \\frac{\pi}{4}) + 2$ là:

Đúng / Sai

Câu 7Cho hàm số $f(x) = \sin x$ và $g(x) = \cos x$. Xét tính đúng sai của các nhận định:

a)Hàm số $f(x)$ là hàm số lẻ.

b)Đồ thị hàm số $g(x)$ đối xứng qua gốc tọa độ O.

c)Cả hai hàm số đều tuần hoàn với chu kỳ $2pi$.

d)Trên khoảng $(0; pi)$, hàm số $g(x)$ luôn đồng biến.

Đúng / Sai

Câu 8Cho phương trình $\sqrt{3}\sin x + \cos x = 1$. Đúng hay sai?

a)Phương trình tương đương với $sin(x + \frac{pi}{6}) = 1/2$.

b)Một nghiệm của phương trình là $x = 0$.

c)Phương trình có vô số nghiệm.

d)Tổng các nghiệm của phương trình trong $(0; 2pi)$ là $pi$.

Câu 9:Tìm số nghiệm của phương trình $\sin x = 0$ thuộc đoạn $[0; 2\pi]$.

Câu 10:Tính giá trị biểu thức $A = \sin^2 15^\circ + \cos^2 15^\circ$.

IV. Bài tập tự luận tổng hợp

📝 Danh sách bài tập tự luận

Câu 1. Tính giá trị của biểu thức: a) $A = \cos \frac{\pi}{3} + \sin \frac{5\pi}{6} - \tan^2 \frac{\pi}{4}$ b) $B = \frac{\sin 15^\circ + \cos 15^\circ}{\cos 15^\circ - \sin 15^\circ}$ c) $C = \sin^2 \frac{\pi}{8} + \sin^2 \frac{3\pi}{8}$ d) $D = \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ$

💡 Đáp án

a) $1/2 + 1/2 - 1 = 0$ . b) $\tan(15+45) = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$ . c) $\sin^2 \frac{\pi}{8} + \cos^2 \frac{\pi}{8} = 1$ . d) $\frac{1}{8\sin 20^\circ} \cdot \sin 160^\circ = 1/8$ .

Câu 2. Cho $\sin \alpha = 0,6$ và $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ . a) Tính $\cos \alpha$ và $\tan \alpha$ . b) Tính $\sin( \alpha + \frac{\pi}{3} )$ . c) Tính $\cos 2\alpha$ và $\sin 2\alpha$ . d) Chứng minh rằng $\frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} = \tan \alpha$ .

💡 Đáp án

a) $\cos \alpha = -0,8, \tan \alpha = -0,75$ . b) $0,6 \cdot 0,5 + (-0,8) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 0,3 - 0,4\sqrt{3}$ . c) $\cos 2\alpha = 1 - 2(0,36) = 0,28, \sin 2\alpha = -0,96$ . d) Vế trái $= \frac{2\sin \alpha \cos \alpha}{2\cos^2 \alpha} = \tan \alpha$ .

Câu 3. Rút gọn các biểu thức sau: a) $M = \sin(x + y) \cos(x - y) + \cos(x + y) \sin(x - y)$ b) $N = \frac{1 - \cos 2x}{\sin 2x}$ c) $P = 4\sin x \sin( \frac{\pi}{3} - x ) \sin( \frac{\pi}{3} + x )$ d) $Q = \cos a + \cos 2a + \cos 3a$

💡 Đáp án

a) $\sin(x+y+x-y) = \sin 2x$ . b) $\frac{2\sin^2 x}{2\sin x \cos x} = \tan x$ . c) $\sin 3x$ . d) $\cos 2a(2\cos a + 1)$ .

Câu 4. (Thực tế - Vòng quay mặt trời) Một vòng quay có đường kính 100m. Điểm thấp nhất cách mặt đất 10m. Vòng quay quay 1 vòng hết 20 phút theo chiều kim đồng hồ. Nam bắt đầu ngồi lên cabin tại điểm thấp nhất. a) Thiết lập hàm số $h(t)$ biểu diễn độ cao của Nam sau $t$ phút. b) Tính độ cao của Nam sau 5 phút và 10 phút. c) Sau bao lâu thì Nam ở độ cao 85m lần đầu tiên? d) Trong một vòng quay, Nam ở độ cao trên 60m trong bao nhiêu phút?

💡 Đáp án

a) $h(t) = 60 - 50\cos(\frac{\pi}{10}t)$ . b) $h(5) = 60$ m, $h(10) = 110$ m. c) $60-50\cos(\pi t/10) = 85 \Rightarrow \cos(\pi t/10) = -0,5 \Rightarrow t = 20/3 = 6,67$ phút. d) $60-50\cos(...) > 60 \Rightarrow \cos(...) < 0 \Rightarrow 5 < t < 15$ . Độ dài 10 phút.

Câu 5. Tìm tập giá trị của các hàm số: a) $y = 2\sin 3x + 1$ b) $y = \sqrt{3 - 2\cos^2 x}$ c) $y = \frac{1}{\sin x + 2}$ d) $y = \sin x + \cos x$

💡 Đáp án

a) $[-1; 3]$ . b) $[1; \sqrt{3}]$ . c) $[1/3; 1]$ . d) $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$ .

Câu 6. Giải các phương trình lượng giác: a) $2\sin(x - 30^\circ) - \sqrt{3} = 0$ b) $\tan^2 x - 3 = 0$ c) $\cos^2 x + 2\cos x - 3 = 0$ d) $\sin x = \cos 2x$

💡 Đáp án

a) $x = 90^\circ + k360^\circ$ hoặc $150^\circ + k360^\circ$ . b) $x = \pm \frac{\pi}{3} + k\pi$ . c) $\cos x = 1 \Rightarrow x = k2\pi$ . d) $\sin x = 1-2\sin^2 x \Rightarrow \sin x = 1/2$ hoặc $\sin x = -1$ .

Câu 7. (Thực tế - Âm thanh) Một sóng âm được mô tả bởi phương trình $P(t) = P_{max} \cdot \sin(2\pi f t)$ , trong đó $f$ là tần số. a) Nếu $f = 440$ Hz (nốt La giữa), tìm thời gian ngắn nhất giữa hai lần áp suất âm thanh bằng 0. b) Nếu hai sóng $P_1 = \sin(100\pi t)$ và $P_2 = \sin(100\pi t + \frac{\pi}{2})$ giao thoa, viết phương trình sóng tổng hợp. c) Biên độ của sóng tổng hợp ở câu b là bao nhiêu? d) Tại sao đồ thị của âm thanh hài hòa thường là các đường hình sin đẹp mắt?

💡 Đáp án

a) Nửa chu kỳ: $1/(2f) = 1/880$ giây. b) $\sqrt{2}\sin(100\pi t + \pi/4)$ . c) $\sqrt{2}$ . d) Do tính tuần hoàn và trơn tru của hàm sin, tạo ra các rung động ổn định tai người có thể nhận biết.

Câu 8. Tìm m để phương trình: a) $\sin x = m$ có nghiệm. b) $(m+1)\cos x = 2$ vô nghiệm. c) $\sin^2 x - (m+1)\sin x + m = 0$ có đúng 2 nghiệm trong $(0; \pi)$ . d) $|\sin x| = m^2 - m$ có nghiệm.

💡 Đáp án

a) $|m| \leq 1$ . b) $|\frac{2}{m+1}| > 1 \Leftrightarrow m \in (-3, 1) \setminus \{-1\}$ . c) $(s-1)(s-m)=0$ . $s=1 \Rightarrow x=\pi/2$ (1 nghiệm). Cần $s=m$ có đúng 1 nghiệm khác $\pi/2$ trong $(0, \pi) \Rightarrow 0 < m < 1$ . d) $0 \leq m^2 - m \leq 1$ .

Câu 9. (Thực tế - Cơ học) Một pít-tông trong động cơ ô tô chuyển động tịnh tiến theo công thức $y = 10\sin(50t + \frac{\pi}{3})$ (cm). a) Vận tốc $v = y'$ . Tìm công thức vận tốc. b) Tìm vị trí xa nhất của pít-tông so với vị trí cân bằng. c) Pít-tông thực hiện bao nhiêu chu kỳ trong 1 giây? d) Tại thời điểm $t = 0,1$ s, pít-tông đang chuyển động theo hướng nào?

💡 Đáp án

a) $v = 500\cos(50t + \pi/3)$ . b) 10 cm. c) $f = 50/(2\pi) \approx 7,96$ Hz. d) Chuyển động theo chiều âm của trục tọa độ.

Câu 10. Chứng minh rằng: a) $\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x$ b) $\frac{\tan 2x}{\tan x} = \frac{2}{2 - \sec^2 x}$ c) $\sin x + \sin 3x + \sin 5x + \dots + \sin(2n-1)x = \frac{\sin^2 nx}{\sin x}$ d) Chu kỳ của hàm số $y = \sin x + \cos \frac{x}{2}$ là $4\pi$ .

💡 Đáp án

a) $(\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 0,5\sin^2 2x$ . b, c, d) Học sinh sử dụng các biến đổi tương đương hoặc phương pháp quy nạp/tổng Telescoping.

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Không giới hạn lần làm

Ôn tập Chương 1 - Toán 11

Ôn tập Chương I: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

II. Dạng toán tổng hợp

III. Trắc nghiệm ôn tập

IV. Bài tập tự luận tổng hợp

Luyện tập trắc nghiệm