Bài 7: Hệ tọa độ trong không gian

I. Lý thuyết

1. Hệ trục tọa độ Oxyz

Định nghĩa: Gồm ba trục số $Ox, Oy, Oz$ đôi một vuông góc tại gốc $O$ . Các vectơ đơn vị trên các trục lần lượt là $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ với $|\vec{i}| = |\vec{j}| = |\vec{k}| = 1$ .
Các mặt phẳng tọa độ: $(Oxy), (Oyz), (Ozx)$ .

2. Tọa độ của một điểm

Đối với mỗi điểm $M$ trong không gian, tồn tại duy nhất bộ số $(x; y; z)$ sao cho: $\vec{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$
Bộ $(x; y; z)$ gọi là tọa độ của điểm $M$ , kí hiệu $M(x; y; z)$ .
Lưu ý:
- $M \in Ox \Leftrightarrow M(x; 0; 0)$ .
- $M \in (Oxy) \Leftrightarrow M(x; y; 0)$ .

3. Tọa độ của vectơ

Cho vectơ $\vec{u}$ . Nếu $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$ thì $(x; y; z)$ là tọa độ của $\vec{u}$ , kí hiệu $\vec{u} = (x; y; z)$ .
Mối liên hệ: Tọa độ điểm $M$ chính là tọa độ của vectơ $\vec{OM}$ .

4. Các công thức tọa độ cơ bản

Cho $A(x_A; y_A; z_A)$ và $B(x_B; y_B; z_B)$ :

Vectơ $\vec{AB}$ : $\vec{AB} = (x_B-x_A; y_B-y_A; z_B-z_A)$ .
Độ dài đoạn thẳng AB: $AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}$ .
Trung điểm $M$ của $AB$ : $M\left(\frac{x_A+x_B}{2}; \frac{y_A+y_B}{2}; \frac{z_A+z_B}{2}\right)$ .
Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ : $G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3}; \dots; \dots\right)$ .
Trọng tâm $G$ của tứ diện $ABCD$ : $G\left(\frac{x_A+x_B+x_C+x_D}{4}; \dots; \dots\right)$ .

🔷 Dạng 1: Xác định tọa độ điểm và vectơ cơ bản

📌 Phương pháp giải

Phương pháp:

Dựa vào định nghĩa $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$ .
Nếu điểm nằm trên các trục hoặc mặt phẳng tọa độ thì các thành phần tương ứng bằng 0.

🔍 Ví dụ 1 (Dễ)

Trong không gian $Oxyz$ , cho $\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{k} + \vec{j}$ . Tìm tọa độ của $\vec{u}$ .

💡 Xem lời giải

Sắp xếp lại theo thứ tự $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ : $\vec{u} = 2\vec{i} + 1\vec{j} - 3\vec{k}$ . Vậy tọa độ của $\vec{u}$ là $(2; 1; -3)$ .

🔍 Ví dụ 2 (Dễ)

Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm $A(1; 2; 3)$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ .

💡 Xem lời giải

Hình chiếu của $A(x; y; z)$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ có tọa độ $(x; y; 0)$ . Vậy hình chiếu của $A(1; 2; 3)$ lên $(Oxy)$ là $H(1; 2; 0)$ .

🔍 Ví dụ 3 (Trung bình)

Cho điểm $M(a; b; c)$ . Tìm tọa độ điểm $M'$ đối xứng với $M$ qua trục $Oz$ .

💡 Xem lời giải

Khi đối xứng qua trục $Oz$ , cao độ $z$ giữ nguyên, các tọa độ $x, y$ đổi dấu. Vậy $M'(-a; -b; c)$ .

🔍 Ví dụ 4 (Trung bình)

Tìm tọa độ của vectơ $\vec{AB}$ biết $A(2; -1; 5)$ và $B(0; 3; -4)$ .

💡 Xem lời giải

$\vec{AB} = (x_B-x_A; y_B-y_A; z_B-z_A) = (0-2; 3-(-1); -4-5) = (-2; 4; -9)$ .

🔍 Ví dụ 5 (Khó)

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $A$ trùng với gốc tọa độ $O(0;0;0)$ , các đỉnh $B(2;0;0), D(0;3;0), A'(0;0;4)$ . Tìm tọa độ đỉnh $C'$ .

💡 Xem lời giải

Từ giả thiết ta có độ dài các cạnh: $AB=2, AD=3, AA'=4$ . Đỉnh $C$ nằm trong mặt phẳng $(Oxy)$ có tọa độ $(2; 3; 0)$ . Đỉnh $C'$ có cùng hoành độ và tung độ với $C$ , nhưng có cao độ bằng cao độ của $A'$ là 4. Vậy $C'(2; 3; 4)$ .

📝 Thực hành — Dạng 1

Trong không gian $Oxyz$, cho vectơ $\vec{a} = -\vec{i} + 2\vec{j}$. Tọa độ của $\vec{a}$ là:

Điểm $M(1; -2; 0)$ nằm trên:

Cho $A(1; 1; 1)$ và $B(2; 3; 4)$. Vectơ $\vec{BA}$ có tọa độ là:

Đúng / SaiCho điểm $A(3; -4; 5)$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a)Hình chiếu của $A$ lên trục $Ox$ là $(3; 0; 0)$

b)Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(Oxy)$ bằng 5

c)Đối xứng của $A$ qua gốc tọa độ $O$ là $(-3; 4; -5)$

d)Điểm $A$ nằm trong mặt phẳng $(Oyz)$

Tìm cao độ $z$ của điểm $M$ sao cho $\vec{OM} = \vec{j} - 2\vec{k} + 3\vec{i}$.

🔷 Dạng 2: Tìm tọa độ điểm thỏa mãn tính chất hình học

📌 Phương pháp giải

Phương pháp:

Trung điểm $M$ của $AB$ : $x_M = (x_A+x_B)/2, \dots$
Trọng tâm $G$ của tam giác: $x_G = (x_A+x_B+x_C)/3, \dots$
Hình bình hành $ABCD \Leftrightarrow \vec{AB} = \vec{DC}$ .

🔍 Ví dụ 1 (Dễ)

Cho $A(1; 2; 3)$ và $B(3; 0; 1)$ . Tìm tọa độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ .

💡 Xem lời giải

$x_M = (1+3)/2 = 2$ ; $y_M = (2+0)/2 = 1$ ; $z_M = (3+1)/2 = 2$ . Vậy $M(2; 1; 2)$ .

🔍 Ví dụ 2 (Trung bình)

Cho tam giác $ABC$ có $A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 3)$ . Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác.

💡 Xem lời giải

$x_G = (1+0+0)/3 = 1/3$ ; $y_G = (0+2+0)/3 = 2/3$ ; $z_G = (0+0+3)/3 = 1$ . Vậy $G(1/3; 2/3; 1)$ .

🔍 Ví dụ 3 (Trung bình)

Cho ba điểm $A(1; 1; 1), B(2; 3; 4), C(7; 7; 5)$ . Tìm tọa độ điểm $D$ để $ABCD$ là hình bình hành.

💡 Xem lời giải

$ABCD$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \vec{AB} = \vec{DC}$ (Lưu ý thứ tự đỉnh). $\vec{AB} = (1; 2; 3)$ . Gọi $D(x; y; z) \Rightarrow \vec{DC} = (7-x; 7-y; 5-z)$ . $\begin{cases} 7-x = 1 \\ 7-y = 2 \\ 5-z = 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 6 \\ y = 5 \\ z = 2 \end{cases}$ . Vậy $D(6; 5; 2)$ .

🔍 Ví dụ 4 (Khó)

Cho tam giác $ABC$ có $A(1; 2; -1), B(2; -1; 3)$ . Tìm tọa độ điểm $C$ nằm trên trục $Oz$ sao cho tam giác $ABC$ có trọng tâm nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ .

💡 Xem lời giải

$C \in Oz \Rightarrow C(0; 0; z)$ . Trọng tâm $G$ của $\Delta ABC$ có cao độ $z_G = \frac{z_A+z_B+z_C}{3} = \frac{-1+3+z}{3} = \frac{2+z}{3}$ . $G \in (Oxy) \Leftrightarrow z_G = 0 \Leftrightarrow \frac{2+z}{3} = 0 \Leftrightarrow z = -2$ . Vậy $C(0; 0; -2)$ .

📝 Thực hành — Dạng 2

Cho $A(2; -3; 5)$ và $B(4; 7; -1)$. Trung điểm $I$ của $AB$ có tọa độ:

Đúng / SaiCho $\Delta ABC$ với $A(1; 2; 0), B(2; -1; 3), C(0; 2; 3)$. Xét tính đúng sai:

a)Tọa độ vectơ $ec{AB} = (1; -3; 3)$

b)Trung điểm của $AC$ là $M(0.5; 2; 1.5)$

c)Trọng tâm tam giác $ABC$ là $G(1; 1; 2)$

d)Để $ABCE$ là hình bình hành thì $E(-1; 5; 0)$

Cho tam giác $ABC$ có $A(1; 1; 1), B(2; 3; 4)$ và trọng tâm $G(0; 0; 0)$. Tìm hoành độ $x$ của đỉnh $C$.

🔷 Dạng 3: Độ dài và khoảng cách trong không gian

📌 Phương pháp giải

Phương pháp:

$|\vec{u}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ .
$d(A, B) = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}$ .

🔍 Ví dụ 1 (Dễ)

Tính độ dài của vectơ $\vec{u} = (3; -4; 0)$ .

💡 Xem lời giải

$|\vec{u}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 0^2} = \sqrt{9+16} = 5$ .

🔍 Ví dụ 2 (Dễ)

Tính khoảng cách giữa hai điểm $A(1; 2; 3)$ và $B(2; 4; 5)$ .

💡 Xem lời giải

$AB = \sqrt{(2-1)^2 + (4-2)^2 + (5-3)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1+4+4} = 3$ .

🔍 Ví dụ 3 (Trung bình)

Tìm điểm $M$ trên trục $Ox$ sao cho $M$ cách đều hai điểm $A(1; 2; 3)$ và $B(-3; 0; 1)$ .

💡 Xem lời giải

$M \in Ox \Rightarrow M(x; 0; 0)$ . $MA^2 = (1-x)^2 + 2^2 + 3^2 = x^2 - 2x + 14$ $MB^2 = (-3-x)^2 + 0^2 + 1^2 = x^2 + 6x + 10$ $MA = MB \Leftrightarrow MA^2 = MB^2 \Leftrightarrow x^2 - 2x + 14 = x^2 + 6x + 10 \Leftrightarrow 8x = 4 \Rightarrow x = 0.5$ . Vậy $M(0.5; 0; 0)$ .

📝 Thực hành — Dạng 3

Độ dài của vectơ $\vec{a} = \vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$ là:

Tính khoảng cách từ điểm $A(3; 4; 12)$ đến gốc tọa độ $O$.

🔷 Dạng 4: Ứng dụng thực tế của hệ tọa độ Oxyz

📌 Phương pháp giải

Phương pháp: Gắn hệ trục tọa độ vào vật thể thực (chọn một góc nhà, chân cột làm gốc tọa độ), chuyển bài toán thực tế thành bài toán tọa độ.

🔍 Ví dụ 1 (Trung bình) — Vị trí bóng đèn

Trong một căn phòng hình hộp chữ nhật, người ta treo một bóng đèn tại vị trí cách sàn nhà 2m, cách hai bức tường vuông góc lần lượt là 1m và 1,5m. Hãy xác định tọa độ của bóng đèn nếu chọn gốc $O$ là một góc tường sát sàn nhà.

💡 Xem lời giải

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho:

Gốc $O$ là góc phòng.
Trục $Ox, Oy$ thuộc hai cạnh tường dưới sàn.
Trục $Oz$ là cạnh tường thẳng đứng. Khoảng cách đến trần (cao độ) là $z = 2$ . Khoảng cách đến tường $Oyz$ là $x = 1$ . Khoảng cách đến tường $Oxz$ là $y = 1.5$ . Vậy tọa độ bóng đèn là $(1; 1.5; 2)$ .

🔍 Ví dụ 2 (Khó) — Khoảng cách giàn khoan

Một giàn khoan trên biển được đặt tại gốc $O(0;0;0)$ . Một tàu thám hiểm đang ở vị trí có tọa độ $M(3; 4; -0.5)$ (đơn vị km). Hỏi tàu đang sâu bao nhiêu so với mặt nước biển (mặt phẳng $Oxy$ ) và cách giàn khoan bao xa?

💡 Xem lời giải

Độ sâu: Chính là trị tuyệt đối cao độ $z$ : $|-0.5| = 0.5$ km = 500 m.
Khoảng cách đến giàn khoan: $OM = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{25 + 0.25} = \sqrt{25.25} \approx 5.025$ km.

📝 Bài tập tự luận — Tổng hợp

Câu 1. Trong không gian $Oxyz$ , cho $A(1; 2; -1), B(2; -1; 3), C(-3; 5; 1)$ . a) Tìm tọa độ các vectơ $\vec{AB}, \vec{BC}, \vec{CA}$ . b) Tìm tọa độ trung điểm $M, N, P$ của các cạnh $AB, BC, CA$ . c) Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ .

Câu 2. Cho ba điểm $A(0; 1; 2), B(2; -2; 1), C(-2; 0; 1)$ . a) Chứng minh ba điểm $A, B, C$ tạo thành một tam giác. (Gợi ý: Kiểm tra $\vec{AB}, \vec{AC}$ không cùng phương). b) Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành.

Câu 3. Cho tứ diện $ABCD$ có $A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1)$ và $D(1; 1; 1)$ . a) Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tứ diện. b) Tính độ dài các cạnh của tứ diện. Đây có phải tứ diện đều không?

Câu 4. Tìm điểm $M$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $M$ cách đều ba điểm $A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1)$ .

Câu 5. Một thiết bị phát sóng đặt tại vị trí $S(1; 2; 3)$ trong một nhà kho. Người ta muốn đặt một bộ thu sóng tại điểm $M$ trên sàn nhà (mặt phẳng $Oxy$ ) sao cho khoảng cách $SM$ là ngắn nhất. Hãy tìm tọa độ điểm $M$ và tính khoảng cách đó.

✏️ Luyện tập trắc nghiệm →

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Không giới hạn lần làm