Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

I. Đạo hàm tại một điểm

1. Định nghĩa

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; b)$ và $x_0 \in (a; b)$. Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn: $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số tại điểm $x_0$. Kí hiệu: $f'(x_0)$ hoặc $y'(x_0)$.

2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

• Bước 1: Xét số gia của biến số $\Delta x = x - x_0$.
• Bước 2: Tính số gia của hàm số $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.
• Bước 3: Tìm giới hạn $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$.

II. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

1. Hệ số góc của tiếp tuyến

Đạo hàm của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x_0$ là hệ số góc của tiếp tuyến $M_0T$ của đồ thị hàm số tại điểm $M_0(x_0; f(x_0))$. $k = f'(x_0)$

2. Phương trình tiếp tuyến

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M_0(x_0; y_0)$ là: $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$

III. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

1. Vận tốc tức thời: Nếu một chuyển động có phương trình $s = s(t)$ thì vận tốc tức thời tại thời điểm $t_0$ là: $v(t_0) = s'(t_0)$
2. Cường độ dòng điện tức thời: Nếu điện lượng truyền qua dây dẫn là $Q = Q(t)$ thì cường độ dòng điện tức thời tại thời điểm $t_0$ là: $I(t_0) = Q'(t_0)$

IV. Công cụ tính đạo hàm

🔷 Dạng toán: Viết phương trình tiếp tuyến

📝 Bài tập trắc nghiệm