Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

I. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

1. Khái niệm đạo hàm

⚡ Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; b)$ và điểm $x_0 \in (a; b)$ . Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn): $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x_0$ .

Kí hiệu là: $f'(x_0)$ hoặc $y'(x_0)$ .

📋 Khái niệm số gia

Đại lượng $\Delta x = x - x_0$ được gọi là số gia của đối số tại $x_0$ .
Đại lượng $\Delta y = f(x) - f(x_0) = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ được gọi là số gia tương ứng của hàm số.
Khi đó, định nghĩa đạo hàm tại $x_0$ có thể viết gọn lại là: $f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$

⚠️ Chú ý

Hàm số có đạo hàm tại một điểm thì liên tục tại điểm đó. Tuy nhiên mệnh đề ngược lại không đúng: Nếu hàm số liên tục tại điểm $x_0$ thì chưa chắc đã có đạo hàm tại $x_0$ . Ví dụ: $y = |x|$ liên tục tại $x = 0$ nhưng không có đạo hàm tại $x = 0$ .

II. Các dạng toán tính đạo hàm cơ bản

📌 Dạng 1: Tính đạo hàm tại một điểm bằng định nghĩa

Phương pháp giải: Để tính đạo hàm $f'(x_0)$ bằng định nghĩa, ta thực hiện các bước:

Bước 1: Xét $\Delta x$ là số gia của đối số tại $x_0$ . Tính số gia tương ứng của hàm số: $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ .
Bước 2: Lập tỉ số $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ .
Bước 3: Tìm giới hạn $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ . Giới hạn này nếu tồn tại chính là $f'(x_0)$ .

🔍 Ví dụ 1 — (Mức độ 1) Tính đạo hàm hàm đa thức

Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của hàm số $f(x) = x^2$ tại điểm $x_0 = 2$ .

💡 Xem lời giải

Bước 1: Xét số gia $\Delta x$ của đối số tại $x_0 = 2$ . Tính $\Delta y = f(2 + \Delta x) - f(2) = (2 + \Delta x)^2 - 2^2 = 4 + 4\Delta x + (\Delta x)^2 - 4 = \Delta x(4 + \Delta x)$ . Bước 2: Lập tỉ số $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ : $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta x(4 + \Delta x)}{\Delta x} = 4 + \Delta x$ Bước 3: Tính giới hạn: $f'(2) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (4 + \Delta x) = 4.$ Vậy đạo hàm của hàm số tại $x_0 = 2$ là $f'(2) = 4$ .

🔍 Ví dụ 2 — (Mức độ 2) Tính đạo hàm hàm phân thức

Tính đạo hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{x}$ tại điểm $x_0 = 1$ bằng định nghĩa.

💡 Xem lời giải

Xét số gia $\Delta x$ tại $x_0 = 1$ . Ta có: $\Delta y = f(1 + \Delta x) - f(1) = \frac{1}{1 + \Delta x} - 1 = \frac{1 - (1 + \Delta x)}{1 + \Delta x} = \frac{-\Delta x}{1 + \Delta x}$ Tỉ số: $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\frac{-\Delta x}{1+\Delta x}}{\Delta x} = \frac{-1}{1+\Delta x}$ Tính giới hạn: $f'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-1}{1+\Delta x} = -1.$ Vậy $f'(1) = -1$ .

III. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

1. Khái niệm

⚡ Ý nghĩa hình học

Đạo hàm của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x_0$ chính là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị $(C)$ của hàm số tại điểm $M(x_0, f(x_0))$ . Ký hiệu hệ số góc tiếp tuyến là: $k = f'(x_0)$ .

2. Phương trình tiếp tuyến

⚡ Phương trình tiếp tuyến

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại tiếp điểm $M(x_0, y_0)$ là: $y = f'(x_0)(x - x_0) + y_0$ trong đó $y_0 = f(x_0)$ .

📌 Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Các dạng thường gặp:

Loại 1 (Biết tiếp điểm): Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị $(C)$ . Viết PTTT tại điểm $M_0(x_0, y_0)$ . Cách làm: Tính $f'(x_0)$ . Áp dụng phương trình $\implies y = f'(x_0)(x - x_0) + y_0$ .
Loại 2 (Biết hệ số góc): Viết PTTT của đồ thị $(C)$ $(C)$ biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng $k$ $k$ . Cách làm:
1. Gọi $(x_0, y_0)$ là tiếp điểm.
2. Giải phương trình $f'(x_0) = k$ để tìm $x_0 \implies y_0 = f(x_0)$ .
3. Viết PTTT với $x_0, y_0, k$ đã có.

🔍 Ví dụ 3 — (Mức độ 2) Viết PTTT tại mặt điểm

Cho hàm số $y = -x^2 + 3x - 1$ có đồ thị $(C)$ . Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm có hoành độ $x_0 = 2$ .

💡 Xem lời giải

Tính tung độ tiếp điểm: $y_0 = f(2) = -2^2 + 3\cdot 2 - 1 = 1$ . Vậy tiếp điểm là $M(2, 1)$ .
Tính đạo hàm (sử dụng quy tắc tính đạo hàm nếu đã học, hoặc định nghĩa): $y' = -2x + 3$ .
Hệ số góc tại $x_0 = 2$ là: $k = y'(2) = -2(2) + 3 = -1$ .
Phương trình tiếp tuyến tại $M(2, 1)$ hệ số góc $k = -1$ : $y = -1(x - 2) + 1 \iff y = -x + 3.$

🔍 Ví dụ 4 — (Mức độ 3) Viết PTTT biết hệ số góc

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^2 - 4x + 3$ biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng $d: y = 2x - 1$ .

💡 Xem lời giải

Tiếp tuyến song song với đường $\Delta: y = 2x - 1$ nên hệ số góc của tiếp tuyến cũng bằng hệ số góc của $\Delta \implies k = 2$ .
Gọi $(x_0, y_0)$ là toạ độ tiếp điểm. Phương trình đạo hàm: $f'(x) = 2x - 4 \implies f'(x_0) = 2x_0 - 4$ .
Xét điều kiện $f'(x_0) = k \iff 2x_0 - 4 = 2 \iff 2x_0 = 6 \iff x_0 = 3$ .
Với hoành độ $x_0 = 3$ , ứng với tung độ tiếp điểm: $y_0 = 3^2 - 4(3) + 3 = 0$ .
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: $y = 2(x - 3) + 0 \iff y = 2x - 6.$

IV. Ý nghĩa vật lí, thực tiễn của đạo hàm

📌 Dạng 3: Ứng dụng đạo hàm giải bài toán Vật lí

Vận tốc tức thời: Nếu một vật chuyển động có phương trình quỹ đạo $s = s(t)$ thì vận tốc tức thời tại thời điểm $t_0$ là đạo hàm của quãng đường theo thời gian: $v(t_0) = s'(t_0)$
Cường độ dòng điện tức thời: Điện lượng truyền trong dây dẫn là $Q = Q(t)$ thì cường độ dòng điện tức thời là đạo hàm của điện lượng theo thời gian: $I(t_0) = Q'(t_0)$

🔍 Ví dụ 5 — (Mức độ 1) Vật lí - Vận tốc tức thời

Một vật rơi tự do theo phương trình $s(t) = \frac{1}{2}gt^2$ , trong đó gia tốc trọng trường $g \approx 9,8 \, \text{m/s}^2$ và $t$ tính bằng giây (s). Tính vận tốc tức thời của vật tại thời điểm $t = 3$ (s).

💡 Xem lời giải

Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm $t$ là hàm số: $v(t) = s'(t)$ . Ta có $s(t) = 4,9 \cdot t^2$ . Đạo hàm: $v(t) = s'(t) = 4,9 \cdot 2t = 9,8t$ . Tại $t = 3$ giây, vận tốc vật là: $v(3) = 9,8 \cdot 3 = 29,4 \, \text{(m/s)}.$

V. Công cụ máy tính bổ trợ

Nhập hàm số f(x):

* Hỗ trợ các hàm: sin, cos, tan, log, exp, sqrt, và các phép toán cơ bản.

VI. Bài tập Trắc nghiệm

Câu 1:Theo định nghĩa, đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại điểm $x_0$ là giới hạn nào dưới đây?

Câu 2:Ý nghĩa hình học của đạo hàm $f'(x_0)$ là:

Câu 3:Cho hàm số $y = x^2 - x + 1$. Đạo hàm của hàm số tại $x_0 = 1$ là?

Câu 4:Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị $y = x^3 - 3x^2 + 2$ tại điểm $A(1; 0)$ bằng bao nhiêu?

Câu 5:Viên bi chuyển động theo phương trình $s(t) = t^2 + 2t$, với $t$ (giây), $s$ (mét). Vận tốc của hòn bi tại thời điểm $t=2$ s là?

Đúng / Sai

Câu 6Kiểm tra các nhận xét dưới đây về sự tồn tại tiếp tuyến và quy tắc đạo hàm:

a)Đạo hàm bậc nhất của quãng đường di chuyển theo quỹ đạo thời gian chính là gia tốc của vật thể.

b)Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục hoành một góc tù sẽ nhận hệ số góc là giá trị âm (f'(x) < 0).

c)Momen hàm số f(x) liên tục tại x=a thì chắc chắn tại f(x) đó sẽ có đạo hàm.

d)PTTT của đồ thị f(x) tại điểm hoành độ x_0 là: y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0).

Đúng / Sai

Câu 7Đánh giá việc tính toán PTTT và đạo hàm cơ bản sau đây:

a)Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm mặt cắt đồ thị y = 1/x mang góc quay x = 2 bằng -1/4.

b)Hai tiếp tuyến tại 2 điểm khác nhau của parabol y = x^2 song song với nhau khi hoành độ chúng là hai điểm đối nghịch.

c)Số gia của hàm số f(x) = 2x đối với số gia Delta x là đại lượng Delta y = 2Delta x.

d)Vận dụng đạo hàm mạch dòng điện xoay chiều, nếu ta biểu diễn năng điện Q(t) thì I'(t) = Q(t).

Câu 8:Vật chuyển động tự do một chiều thẳng với phương trình tham số $s(t) = 3t^2 - 4t + 1$. Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm $t=3$ mang giá trị bao nhiêu?

Câu 9:Tính giá trị đại số tuyệt đối của hệ số góc giới tuyến của đồ thị cong hàm số $y = -x^3 + 3x - 2$ tại chân tuyến điểm $x_0 = 0$ bằng con số nguyên nào?

VII. Bài tập tự luận tổng hợp

📝 Bài tập tự luận tổng hợp

Bài 1. Tính đạo hàm bằng định nghĩa: Sử dụng công thức định lý định nghĩa, hãy tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm tiếp $x_0$ ghi rõ: a) $y = x^2 - 3x$ tại điểm $x_0 = 1$ . b) $y = \dfrac{2}{x}$ tại điểm $x_0 = -1$ .

Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến giới qua gốc toạ độ: Cho hàm số phân chuỗi $y = x^3 - 3x^2 + 2$ có đồ thị (C). a) Viết phương trình đoạn tiếp tuyến của chu trình (C) tại điểm $A$ mang kích hoành độ $x_0 = 2$ . b) Viết phương trình cắt tiếp tuyến của dạng nằm trên (C) tại gốc có mức tung độ $y_0 = 2$ (Lấy nhánh $x > 0$ ).

Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến hệ số góc cho trước: Xét một đường cong $y = \dfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 5x - 1$ . Hãy tìm phương trình các tiếp tuyến của đồ thị biết: a) Biểu đồ tiếp tuyến này nằm song song với đường thẳng chuẩn $\Delta: y = 2x + 10$ . b) Đoạn tiếp tuyến bắt buộc phải vuông góc giao nhau cùng đoạn chắn vuông góc $d: x + 4y - 8 = 0$ .

Bài 4. Ứng dụng Vật lí (Chuyển động tuyến): Một xe không người lái trượt có phương trình đại diện đường băng là $s(t) = t^3 - 3t^2 + 9t$ (trong đó $s$ tính bằng mét, $t$ tính bằng hệ giây mốc $t > 0$ ). a) Tính tỷ suất đo vận tốc của phi xe tại mốc đo $t = 2$ giây. b) Tìm định mức thời điểm tham chiếu vận tốc cực tiểu. Khoảng cách đo tại điểm đó là mét?

Bài 5. Vận dụng vật lí (Truyền tải điện lượng): Nguồn điện trở điện lượng tải truyền qua dây dẫn tuân theo quy tắc toán học $Q(t) = t^2 + 4t + 3$ . Tính chỉ số tốc độ nguồn dẫn (cường độ dòng điện khép kín tức thời) tại điểm nối $t = 5s$ .

Bài 6. Khai thác hoành giao tiệm cận đồ thị: Xác định tọa độ trục giao điểm cắt ngang của mô hình hàm số $y = \dfrac{x-2}{x+1}$ gặp đụng chạm trục tung Oy. Hãy xác lập dạng phương trình chuẩn góc cắt tiếp tuyến hình học tại gốc giao này.

Bài 7. Đạo hàm và phương trình lượng giác dao động: Biểu đồ tọa độ sợi sóng điểm tuân hành phương dao ly độ $x(t) = 5\sin(2\pi t)$ . Được cho vận tốc vi phân tiếp diễn $v(t) = x'(t)$ tuân luật đạo hàm cơ sở hàm $\sin$ là $(\sin(kt))' = k\cos(kt)$ . Tính tỉ mốc vận tốc đo được $v(t)$ quy hồi khi tới nhịp $t = \dfrac{1}{4}$ giây.

Bài 8. Số gia vi phân Kinh tế (Thực hành định nghĩa) Công ty có hàm doanh thu biểu kiến $P(x) = 100x - 0.2x^2$ (x là mẫu). Xác định sự tăng cường đạo hàm doanh số gốc tại giao điểm sản lượng ngưỡng chặn $x=50$ chi tiết. Theo cách thực tiễn, diễn đạt thông điệp giá trị đó trong cấu tạo kinh tế.

Bài 9. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị chứa ẩn tham số Tìm dải nghiệm tham số $m$ để đồ thị $y = x^3 - 3mx^2 + m$ có đường chân tuyến tiếp xúc nhận kết quả hệ số góc k = $9$ vào thời điểm đo thử $x_0 = 1$ .

Bài 10. Tiếp điểm đồng trục kép đồ thị (Khó) Đưa ra hệ biểu thức tìm phương trình đường cát tiếp tuyến có giao chung của hai dải parabol $y = x^2$ và $y = -x^2 + 4x - 4$ .

💡 Đóng/Mở Đáp án chi tiết

Bài 1: a) Xét $f(x) = x^2 - 3x$ , với $x_0 = 1$ . Gán $\Delta y = f(1+\Delta x)-f(1) = (1+\Delta x)^2 - 3(1+\Delta x) - (-2) = -\Delta x + (\Delta x)^2$ . Tỉ số tính được $\frac{\Delta y}{\Delta x} = -1 + \Delta x$ . $\implies f'(1) = \lim_{\Delta x \to 0}(-1+\Delta x) = -1$ . b) Tại $x_0 = -1 \implies f'( -1) = -2$ (Quy trình tương tự trên).

Bài 2: a) Với $x_0=2$ , tính $y(2) = 2^3 - 3(2^2) + 2 = -2$ . Vi phân biểu thức $y' = 3x^2 - 6x \implies k = y'(2) = 0$ . Phương trình tiếp tuyến (PTTT): $y = 0(x-2) - 2 \iff y = -2$ . b) Tại $y_0 = 2 \implies x^3 - 3x^2 + 2 = 2 \implies x^3 - 3x^2 = 0 \implies x = 3$ (Điều kiện chọn $x > 0$ ). Định giá $y'(3) = 9$ . PTTT: $y = 9(x-3) + 2 \implies y = 9x - 25$ .

Bài 3: Đạo hàm biểu thị: $y' = x^2 - 4x + 5$ . a) Đường song song cho phép $k = 2 \implies x^2 - 4x + 5 = 2 \implies x^2 - 4x + 3 = 0 \implies x=1$ hoặc $x=3$ . Tại $x=1, y=5/3 \implies y = 2x - 1/3$ . Tại $x=3, y=5 \implies y=2x-1$ . b) Cho $d: y = -\frac{1}{4}x + 2 \implies$ tiếp tuyến vuông góc thỏa điều kiện $k_1 \cdot k_2 = -1 \implies k = 4$ . Tham phế $x^2 - 4x + 5 = 4 \implies (x-2)^2 = 0 \implies x=2 \implies y=-1$ . Ta giải tiếp tuyến PTTT: $y = 4(x-2) - 1 \implies y = 4x - 9$ .

Bài 4: a) Hàm vi phân $v(t) = s'(t) = 3t^2 - 6t + 9$ . Tại $v(2) = 12 - 12 + 9 = 9$ (m/s). b) Viết lại độ dốc $v(t) = 3(t-1)^2 + 6 \ge 6$ . Vậy giá trị thấp góc $v_{min} = 6$ đạt được ở $t = 1$ . Khoảng đường lưu chuyển tương giao: $s(1) = 1 - 3 + 9 = 7$ (m).

Bài 5: Công thức dao động dòng điện $I(t) = Q'(t) = 2t + 4$ . Thiết lập $t=5s \implies I(5) = 2(5) + 4 = 14$ A.

Bài 6: Thấy giao điểm trục cắt y là (Ox mang $x=0$ ), vậy tọa độ đó sinh $y=-2$ . Điểm rẽ nhánh giao tại $(0, -2)$ . Đạo hàm hệ phân bậc 1: $y' = \frac{3}{(x+1)^2}$ . Tại $x_0=0 \implies y'(0) = 3$ . PTTT đạt được: $y = 3(x-0) - 2 \implies y = 3x - 2$ .

Bài 7: Vi phân biểu đồ $v(t) = 5\cdot(2\pi)\cos(2\pi t) = 10\pi\cos(2\pi t)$ . Mốc quy thời $t=1/4 \implies v = 10\pi\cos(\pi/2) = 0$ cm/s.

Bài 8: Mức ranh giới $P'(x) = 100 - 0.4x$ . Biến nhận dải 50 $\implies P'(50) = 100 - 0.4 \times 50 = 80$ . Thông điệp: Việc sản xuất tăng đơn nhịp lượng thêm 1 sản phẩm phụ trợ tại mốc thứ 50 dẫn tăng lợi ích thặng dư biên quanh mức 80 đơn vị.

Bài 9: Biểu vi phân giá đồ thị $y' = 3x^2 - 6mx$ . Tại đo ở mốc $x_0=1$ , ta dồn phương trình hệ góc tiếp ứng $y'(1) = 3 - 6m = 9 \implies 6m = -6 \implies m = -1$ .

Bài 10: Đường tiếp tuyến nối chung phải được gọi mượn $y = kx + b$ . Gọi tọa độ tiếp diện parabol $P_1$ là $a$ , parabol $P_2$ là $c$ . Sử dụng đạo hàm 2 nhánh biểu đồ: $k = 2a$ . Viết PT thứ nhất $y = 2a(x-a)+a^2 = 2ax - a^2$ . Đối chiếu đối sang parabol 2, đường tiếp có $k = -2c + 4 \implies 2a = -2c+4$ và giao tung độ cấu thành cắt bằng nhau: $-a^2 = -c^2 + 4c - 4 - (-2c+4)c$ . Thay giải hệ phương trình được tập hợp nghiệm $a=1$ hoặc $a=3$ . Vậy hệ quy nhận 2 đường cắt chung là $y = 2x - 1$ và $y = 6x - 9$ .

💬 Tham gia Group Facebook thảo luận bài tập →

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Không giới hạn lần làm