Bài 14: Phương trình mặt phẳng

I. Lý thuyết

1. Vectơ pháp tuyến và Cặp vectơ chỉ phương

Vectơ pháp tuyến (VPT): Vectơ $\vec{n} \neq \vec{0}$ vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$ .
Cặp vectơ chỉ phương (VTCP): Hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ không cùng phương, có giá song song hoặc nằm trong $(\alpha)$ .
Mối liên hệ: Nếu $(\alpha)$ có cặp VTCP $\vec{a}, \vec{b}$ thì $\vec{n} = [\vec{a}, \vec{b}]$ là một VPT của $(\alpha)$ .

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Mặt phẳng đi qua $M_0(x_0; y_0; z_0)$ và có VPT $\vec{n} = (A; B; C)$ có phương trình: $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$ Khai triển: $Ax + By + Cz + D = 0 \quad (A^2 + B^2 + C^2 > 0)$

Lưu ý: Nếu mặt phẳng có PT $Ax + By + Cz + D = 0$ thì nó nhận $\vec{n} = (A; B; C)$ làm VPT.

3. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Nếu mặt phẳng cắt các trục tọa độ tại $A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)$ ( $a,b,c \neq 0$ ): $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1$

4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho $(P): A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$ và $(Q): A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$ .

Song song: $\dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{B_1}{B_2} = \dfrac{C_1}{C_2} \neq \dfrac{D_1}{D_2}$ .
Trùng nhau: $\dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{B_1}{B_2} = \dfrac{C_1}{C_2} = \dfrac{D_1}{D_2}$ .
Cắt nhau: $\vec{n_1}$ và $\vec{n_2}$ không cùng phương.
Vuông góc: $A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0$ .

🔷 Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng khi biết điểm và VPT/VTCP

📌 Phương pháp giải

Phương pháp:

Xác định điểm đi qua $M(x_0; y_0; z_0)$ .
Xác định VPT $\vec{n}=(A; B; C)$ . Nếu đề cho VTCP $\vec{a}, \vec{b}$ , tính $\vec{n} = [\vec{a}, \vec{b}]$ .
Viết PT: $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$ .

🔍 Ví dụ 1 (Dễ)

Viết PT mặt phẳng đi qua $M(1; 2; -3)$ và có VPT $\vec{n} = (3; -1; 4)$ .

💡 Xem lời giải

PT: $3(x-1) - 1(y-2) + 4(z+3) = 0 \Leftrightarrow 3x - y + 4z + 11 = 0$ .

🔍 Ví dụ 2 (Dễ)

Viết PT mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$ với $A(2; 1; 1)$ và $B(0; -1; 3)$ .

💡 Xem lời giải

Trung điểm $I(1; 0; 2)$ .
$\vec{AB} = (-2; -2; 2) \Rightarrow$ chọn $\vec{n} = (1; 1; -1)$ .
PT: $1(x-1) + 1(y-0) - 1(z-2) = 0 \Leftrightarrow x + y - z + 1 = 0$ .

🔍 Ví dụ 3 (Trung bình)

Viết PT mặt phẳng $(P)$ đi qua $A(1; 0; 2)$ và song song với mặt phẳng $(Q): 2x - y + 3z + 1 = 0$ .

💡 Xem lời giải

$(P) \parallel (Q) \Rightarrow$ VPT của $(P)$ là $\vec{n} = (2; -1; 3)$ . PT $(P): 2(x-1) - (y-0) + 3(z-2) = 0 \Leftrightarrow 2x - y + 3z - 8 = 0$ .

🔍 Ví dụ 4 (Trung bình)

Viết PT mặt phẳng đi qua $M(1; 1; 1)$ và vuông góc với hai mặt phẳng $(P): x + y - z = 0, (Q): x - 2y + z - 1 = 0$ .

💡 Xem lời giải

$\vec{n_P} = (1; 1; -1), \vec{n_Q} = (1; -2; 1)$ . VPT mặt phẳng cần tìm: $\vec{n} = [\vec{n_P}, \vec{n_Q}] = (-1; -2; -3)$ . Chọn $\vec{n} = (1; 2; 3)$ . PT: $1(x-1) + 2(y-1) + 3(z-1) = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 3z - 6 = 0$ .

🔍 Ví dụ 5 (Khó)

Cho hai điểm $A(1; 2; 1), B(3; 0; -1)$ . Viết PT mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với đường thẳng AB.

💡 Xem lời giải

Điểm đi qua $O(0; 0; 0)$ .
VPT $\vec{n} = \vec{AB} = (2; -2; -2)$ . Chọn $\vec{n} = (1; -1; -1)$ .
PT: $1(x-0) - 1(y-0) - 1(z-0) = 0 \Leftrightarrow x - y - z = 0$ .

📝 Thực hành — Dạng 1

VPT của mặt phẳng $2x - 3y + z - 5 = 0$ là:

Mặt phẳng đi qua $M(0; 0; 2)$ và vuông góc với trục Oz có PT là:

Viết PT mặt phẳng đi qua $A(1; 1; 0)$ và song song với mp Oxy.

Đúng / SaiCho $A(1; 1; 1), B(3; 3; 3)$. Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của AB:

a)Trung điểm I của AB là $(2; 2; 2)$

b)Vectơ $\\vec{AB} = (2; 2; 2)$

c)Mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ O

d)Phương trình (P) là $x + y + z - 6 = 0$

Tìm hệ số D của mặt phẳng $2x - y + 2z + D = 0$ đi qua điểm $A(1; 1; 1)$.

🔷 Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm - Phương trình đoạn chắn

📌 Phương pháp giải

Phương pháp:

Tính $\vec{AB}, \vec{AC}$ .
VPT $\vec{n} = [\vec{AB}, \vec{AC}]$ .
Viết PT đi qua A. Đặc biệt: Nếu 3 điểm nằm trên 3 trục tọa độ, dùng PT đoạn chắn.

🔍 Ví dụ 1 (Dễ)

Viết PT mặt phẳng đi qua $A(2; 0; 0), B(0; -3; 0), C(0; 0; 4)$ .

💡 Xem lời giải

PT đoạn chắn: $\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{-3} + \dfrac{z}{4} = 1 \Leftrightarrow 6x - 4y + 3z - 12 = 0$ .

🔍 Ví dụ 2 (Dễ)

Viết PT mặt phẳng đi qua $M(1; 1; 1), N(2; 3; 0)$ và song song với trục Ox.

💡 Xem lời giải

$\vec{MN} = (1; 2; -1)$ . Trục Ox có VCP $\vec{i} = (1; 0; 0)$ .
VPT $\vec{n} = [\vec{MN}, \vec{i}] = (0; -1; -2)$ . Chọn $\vec{n} = (0; 1; 2)$ .
PT: $0(x-1) + 1(y-1) + 2(z-1) = 0 \Leftrightarrow y + 2z - 3 = 0$ .

🔍 Ví dụ 3 (Trung bình)

Viết PT mặt phẳng $(ABC)$ cực qua 3 điểm $A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(1; 1; 1)$ .

💡 Xem lời giải

$\vec{AB} = (-1; 2; 0), \vec{AC} = (0; 1; 1)$ .
$\vec{n} = [\vec{AB}, \vec{AC}] = (2; 1; -1)$ .
PT: $2(x-1) + 1(y-0) - 1(z-0) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - z - 2 = 0$ .

🔍 Ví dụ 4 (Trung bình)

Viết PT mặt phẳng đi qua $M(1; 2; 3)$ và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao sau khi biết M là trọng tâm tam giác ABC.

💡 Xem lời giải

Gọi $A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)$ .
M là trọng tâm $\Rightarrow 1 = a/3, 2 = b/3, 3 = c/3 \Rightarrow a=3, b=6, c=9$ .
PT: $\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{6} + \dfrac{z}{9} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 18 = 0$ .

🔍 Ví dụ 5 (Khó)

Viết PT mặt phẳng đi qua $A(1; 2; 3)$ và chứa trục Oy.

💡 Xem lời giải

Trục Oy có VCP $\vec{j}=(0; 1; 0)$ và đi qua $O(0; 0; 0)$ .
$\vec{OA} = (1; 2; 3)$ .
VPT $\vec{n} = [\vec{j}, \vec{OA}] = (3; 0; -1)$ .
PT: $3(x-0) + 0(y-0) - 1(z-0) = 0 \Leftrightarrow 3x - z = 0$ .

📝 Thực hành — Dạng 2

PT mặt phẳng đi qua $A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 3)$ là:

VPT của mặt phẳng đi qua 3 điểm $O, A(1; 0; 0), B(0; 1; 0)$ là:

Viết PT mp đi qua $G(1; 2; 3)$ và cắt Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho G là trọng tâm ABC.

Đúng / SaiCho $A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1)$. Xét các mệnh đề:

a)PT mặt phẳng (ABC) là $x+y+z-1=0$

b)Gốc tọa độ O cách mặt phẳng (ABC) một khoảng $1/\\sqrt{3}$

c)Tam giác ABC là tam giác đều

d)VPT của (ABC) là $\\vec{n} = (1; 1; 1)$

Tìm hoành độ $a$ của điểm $A(a; 0; 0)$ biết mặt phẳng đi qua A, $B(0; 2; 0), C(0; 0; 2)$ và đi qua $M(1; 1; 1)$.

🔷 Dạng 3: Vị trí tương đối, góc và khoảng cách

📌 Phương pháp giải

Phương pháp:

Song song/trùng: Xét tỉ lệ hệ số.
Vuông góc: Tích vô hướng VPT bằng 0.
Khoảng cách từ $M(x_0; y_0; z_0)$ đến $(P): Ax+By+Cz+D=0$ : $d(M, (P)) = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

🔍 Ví dụ 1 (Dễ)

Xét vị trí tương đối của $(P): x+2y-z+1=0$ và $(Q): 2x+4y-2z+3=0$ .

💡 Xem lời giải

Tỉ lệ: $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{-1}{-2} \neq \frac{1}{3}$ . Hai mặt phẳng song song.

🔍 Ví dụ 2 (Dễ)

Tính khoảng cách từ $A(1; 2; 3)$ đến mặt phẳng $(P): 2x - y + 2z + 1 = 0$ .

💡 Xem lời giải

$d = \dfrac{|2(1) - 1(2) + 2(3) + 1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}} = \dfrac{7}{3}$ .

🔍 Ví dụ 3 (Trung bình)

Tìm hằng số $m$ để hai mặt phẳng $(P): x + my - z + 2 = 0$ và $(Q): 2x + 4y - 2z + 1 = 0$ song song.

💡 Xem lời giải

Điều kiện: $\frac{1}{2} = \frac{m}{4} = \frac{-1}{-2} \Rightarrow m = 2$ .

🔍 Ví dụ 4 (Trung bình)

Viết PT mặt phẳng $(P)$ song song với $(Q): x + y + z - 1 = 0$ và cách điểm $A(1; 1; 1)$ một khoảng bằng $\sqrt{3}$ .

💡 Xem lời giải

$(P) \parallel (Q) \Rightarrow (P): x + y + z + D = 0$ ( $D \neq -1$ ).
$d(A, (P)) = \dfrac{|1+1+1+D|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \dfrac{|3+D|}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ .
$|3+D| = 3 \Rightarrow D=0$ hoặc $D=-6$ .
Hai mặt phẳng thỏa mãn: $x+y+z=0$ và $x+y+z-6=0$ .

🔍 Ví dụ 5 (Khó)

Tính góc giữa hai mặt phẳng $(P): x + y - 1 = 0$ và $(Q): y + z + 1 = 0$ .

💡 Xem lời giải

$\vec{n_P} = (1; 1; 0), \vec{n_Q} = (0; 1; 1)$ . $\cos \phi = \dfrac{|1(0) + 1(1) + 0(1)|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = 1/2 \Rightarrow \phi = 60^\circ$ .

📝 Thực hành — Dạng 3

Hai mặt phẳng $x+y+z-1=0$ và $2x+2y+2z-2=0$ là:

Khoảng cách từ $O(0;0;0)$ đến mặt phẳng $3x+4y+10=0$ là:

Tìm $m$ để mặt phẳng $x+my+z-1=0$ vuông góc với mặt phẳng $2x-y+3z+2=0$.

Đúng / SaiXét hai mặt phẳng $(P): x-y+z-1=0$ và $(Q): x-y+z+5=0$:

a)Hai mặt phẳng này song song

b)Khoảng cách giữa hai mặt phẳng là 6

c)Khoảng cách giữa hai mặt phẳng là $2\\sqrt{3}$

d)Mặt phẳng $x-y+z+2=0$ nằm cách đều (P) và (Q)

Tính góc (độ) giữa mặt phẳng (Oxy) và mặt phẳng $x - z = 0$.

🔷 Dạng 4: Bài toán ứng dụng thực tế của phương trình mặt phẳng

📌 Phương pháp giải

Phương pháp:

Thiết lập hệ trục tọa độ Oxyz cho mô hình thực tế.
Xác định tọa độ các điểm mút hoặc các vectơ hướng.
Viết PT mặt phẳng để tính toán khoảng cách, góc hoặc tọa độ các điểm kiểm soát.

🔍 Ví dụ 1 (Trung bình) — Thiết kế mái nhà

Một mái nhà hình tam giác có các đỉnh $A(0; 0; 4), B(4; 0; 0), C(0; 6; 0)$ trong hệ tọa độ (đv: m). Viết PT mặt phẳng chứa mái nhà.

💡 Xem lời giải

Mái nhà chắn các trục tại 4 trên Oz, 4 trên Ox, 6 trên Oy. PT đoạn chắn: $\dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{6} + \dfrac{z}{4} = 1 \Leftrightarrow 3x + 2y + 3z - 12 = 0$ .

🔍 Ví dụ 2 (Trung bình) — Độ nghiêng mặt đất

Một phiến đá phẳng đặt nghiêng. Ba điểm kiểm soát trên bề mặt có tọa độ $A(1; 1; 2), B(2; 1; 2.5), C(1; 2; 2.2)$ . Tính góc nghiêng của phiến đá so với mặt đất nằm ngang (Oxy).

💡 Xem lời giải

$\vec{AB} = (1; 0; 0.5), \vec{AC} = (0; 1; 0.2)$ .
VPT phiến đá: $\vec{n} = [\vec{AB}, \vec{AC}] = (-0.5; -0.2; 1) \Rightarrow \vec{n} = (5; 2; -10)$ .
VPT mặt đất (Oxy): $\vec{k} = (0; 0; 1)$ .
$\cos \phi = \dfrac{|-10|}{\sqrt{5^2+2^2+(-10)^2} \cdot 1} = \dfrac{10}{\sqrt{129}} \approx 0.88 \Rightarrow \phi \approx 28.3^\circ$ .

🔍 Ví dụ 3 (Trung bình)

Một trạm radar đặt tại $O(0;0;0)$ . Một chiếc máy bay di chuyển trên mặt phẳng $(P): x + 2y - 2z + 3000 = 0$ (đv: mét). Tính khoảng cách ngắn nhất từ trạm radar đến đường bay của máy bay.

💡 Xem lời giải

Khoảng cách ngắn nhất chính là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P). $d(O, (P)) = \dfrac{|3000|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}} = \dfrac{3000}{3} = 1000$ (m).

🔍 Ví dụ 4 (Khó) — Lắp đặt pin năng lượng mặt trời

Người ta cần lắp đặt tấm pin mặt trời song song với một bức tường mặt bên của ngôi nhà có PT $2x - 2y + z - 5 = 0$ . Tấm pin đi qua điểm kết nối $M(10; 5; 10)$ . Tìm PT mặt phẳng chứa tấm pin.

💡 Xem lời giải

Mặt phẳng tấm pin song song với tường $\Rightarrow$ dùng VPT $\vec{n} = (2; -2; 1)$ . PT: $2(x-10) - 2(y-5) + 1(z-10) = 0 \Leftrightarrow 2x - 2y + z - 20 = 0$ .

🔍 Ví dụ 5 (Khó) — Vị trí đèn chiếu

Một chùm sáng xuất phát từ đèn tại $S(0; 0; 10)$ chiếu xuống sàn nhà (Oxy). Một tấm bảng chắn sáng nằm trên mặt phẳng $z=5$ . Tính diện tích phần bóng của tấm bảng trên sàn nếu tấm bảng là hình vuông cạnh 2… (Bài toán này yêu cầu thêm kiến thức về phép vị tự/chiếu). Sửa lại: Để đảm bảo an toàn, một tháp viễn thông $H(0;0;50)$ không được nằm cách mặt phẳng quỹ đạo bay $(P): 3x+4z-1000=0$ ít hơn 100m. Kiểm tra xem tháp có an toàn không?

💡 Xem lời giải

$d(H, (P)) = \dfrac{|3(0)+4(50)-1000|}{\sqrt{3^2+0^2+4^2}} = \dfrac{|-800|}{5} = 160$ (m). Vì $160 > 100$ m nên tháp an toàn.

📝 Thực hành — Dạng 4

Một mặt nghiêng đi qua $A(4;0;0), B(0;4;0), C(0;0;4)$. VPT của mặt này là:

Khoảng cách từ điểm $M(100, 100, 100)$ đến mặt phẳng $z=0$ (mặt đất) là:

Một bức tường có PT $x+y=0$. Một người đứng tại $M(2, 2, 0)$ cách tường bao nhiêu?

Đúng / SaiMột cánh buồm phẳng đi qua $M(1;2;3)$ and có cặp VTCP $\\\\vec{a}=(1;0;1), \\\\vec{b}=(0;1;1)$:

a)VPT của cánh buồm là $\\vec{n} = (-1; -1; 1)$

b)PT mặt phẳng cánh buồm là $x+y-z=0$

c)Cánh buồm đi qua gốc tọa độ O

d)Cánh buồm vuông góc với mặt phẳng $x+y+2z-5=0$

Một máy khoan hầm đang ở $A(10, 20, -30)$. Nó cần khoan vuông góc tới mặt phẳng chứa mạch nước ngầm $x-2y+2z-10=0$. Tính độ dài đoạn hầm ngắn nhất (mét).

📝 Bài tập tự luận — Tổng hợp

Câu 1. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ trong các trường hợp sau: a) Đi qua $M(1; -2; 3)$ và song song với mặt phẳng $(Oyz)$ . b) Đi qua $A(1; 0; 0), B(0; -2; 0), C(0; 0; 3)$ . c) Đi qua $O(0; 0; 0)$ và vuông góc với đường thẳng nối hai điểm $P(1; 1; 1), Q(2; 3; 4)$ .

Câu 2. Cho điểm $A(1; 2; 3)$ và mặt phẳng $(Q): 2x - y + z + 5 = 0$ . a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc $H$ của $A$ trên $(Q)$ . b) Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đối xứng với $(Q)$ qua $A$ .

Câu 3. Tìm $m$ để góc giữa hai mặt phẳng $(P): x - y + \sqrt{2}z - 1 = 0$ và $(Q): x - y + m = 0$ bằng $45^\circ$ .

Câu 4. Viết phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng $x+y-z+1=0$ và $2x-y+z-3=0$ , đồng thời đi qua điểm $M(1; 1; 1)$ .

Câu 5. Một căn phòng hình hộp chữ nhật. Chọn hệ trục tọa độ sao cho 3 cạnh phòng nằm trên 3 trục, đỉnh $O$ là một góc sàn. Một tấm biển quảng cáo phẳng treo đi qua 3 điểm $A(2; 0; 1), B(0; 3; 2), C(2; 3; 0)$ (đơn vị m). a) Viết PT mặt phẳng tấm biển. b) Tính khoảng cách từ góc phòng $O$ đến tấm biển. Một con kiến bò từ O đến bàn cần đi quãng đường ngắn nhất bao nhiêu để chạm vào tấm biển?

✏️ Luyện tập trắc nghiệm →

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Không giới hạn lần làm