Bài 7: Parabol

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Trong chương trình chuẩn, ta đã học về parabol với phương trình chính tắc: $y^2 = 2px \quad (p > 0)$ có tiêu điểm $F\left(\frac{p}{2}; 0\right)$ và đường chuẩn $\Delta: x = -\frac{p}{2}$ . Chuyên đề này sẽ thống nhất tính chất của parabol với hai đường conic còn lại (elip và hypebol) thông qua tâm sai, đồng thời đề cập đến tính chất quang học đặc trưng của nó.

⚡ 1. Bán kính qua tiêu và tâm sai

Cho parabol $(P)$ có phương trình chính tắc $y^2 = 2px$ . Với mỗi điểm $M(x; y)$ thuộc $(P)$ , đoạn thẳng $MF$ được gọi là bán kính qua tiêu của điểm $M$ .

Trong ba đường conic, parabol được quy ước có tâm sai là $e = 1$ .
Công thức độ dài bán kính qua tiêu của điểm $M(x; y) \in (P)$ : $MF = x + \frac{p}{2}$

⚡ 2. Tỉ số khoảng cách từ một điểm đến tiêu điểm và đường chuẩn

Giống như elip ( $e < 1$ ) và hypebol ( $e > 1$ ), parabol ( $e = 1$ ) cũng thỏa mãn tính chất đặc trưng chung của các đường conic:
Tỉ số giữa khoảng cách từ một điểm $M$ bất kì thuộc parabol đến tiêu điểm $F$ và khoảng cách từ $M$ đến đường chuẩn $\Delta$ tương ứng luôn bằng tâm sai $e = 1$ . $\frac{MF}{d(M, \Delta)} = 1 \iff MF = d(M, \Delta)$ (Điều này chính là định nghĩa ban đầu của parabol).

Hình minh họa Parabol và các yếu tố

📋 3. Tính chất quang học của parabol (Ứng dụng)

Nếu một nguồn sáng được đặt tại tiêu điểm $F$ của mặt gương paraboloid thì mọi tia sáng từ $F$ tới mặt gương mạ phản xạ sẽ cho tia phản xạ song song với trục đối xứng. Ngược lại, mọi tia sáng tới song song với trục đối xứng khi chiếu vào gương paraboloid sẽ hội tụ tại tiêu điểm $F$ . Tính chất này áp dụng làm đèn pin, đèn pha ô tô (chiếu sáng xa) hoặc chảo anten thu sóng, bếp năng lượng mặt trời (thu gom năng lượng).

II. Các dạng toán và ví dụ minh họa

📌 Phương pháp giải

Từ phương trình tìm các yếu tố: Dựa vào $y^2 = 2px$ , ta tìm được tham số tiêu $p$ . Đường chuẩn là $x = -p/2$ , tiêu điểm $F(p/2; 0)$ . Tâm sai luôn là $e=1$ .
Tính bán kính qua tiêu và xét các vị trí: Áp dụng $MF = x + p/2$ . Dây cung đi qua $F$ và vuông góc với $Ox$ sẽ cắt parabol tại hai điểm có hoành độ bằng $p/2$ , độ dài đoạn này gọi là bán trục qua tiêu (có giá trị là $2p$ ).
Bài toán ứng dụng: Xác định vị trí đỉnh $O$ và đặt hệ trục phù hợp để mô hình hóa hình dạng vật thể.

🔍 Ví dụ 1: Tính bán kính qua tiêu

Cho parabol $(P): y^2 = 8x$ . Tìm tiêu điểm, đường chuẩn, tâm sai của $(P)$ . Cho điểm $M$ thuộc $(P)$ có tung độ $y = 4$ . Tính bán kính qua tiêu của điểm $M$ .

💡 Xem lời giải

Từ dạng $y^2 = 2px \Rightarrow 2p = 8 \Rightarrow p = 4$ .
Tiêu điểm: $F\left(\frac{p}{2}; 0\right) = F(2; 0)$ .
Đường chuẩn: $\Delta: x = -\frac{p}{2} \Rightarrow x = -2$ .
Theo lý thuyết chung của conics, parabol luôn có tâm sai $e = 1$ .
Điểm $M \in (P)$ có $y_M = 4 \Rightarrow 4^2 = 8x_M \Rightarrow 16 = 8x_M \Rightarrow x_M = 2$ .
Bán kính qua tiêu của điểm $M$ là: $MF = x_M + \frac{p}{2} = 2 + 2 = 4$ .

🔍 Ví dụ 2: Lập phương trình parabol từ đường chuẩn

Viết phương trình chính tắc của parabol $(P)$ biết rằng khoảng cách từ đỉnh parabol đến đường chuẩn bằng 5.

💡 Xem lời giải

Parabol có dạng chính tắc $y^2 = 2px \quad (p > 0)$ .
Khoảng cách từ đỉnh parabol (gốc tọa độ $O$ ) đến đường chuẩn $x = -\frac{p}{2}$ chính là $d(O, \Delta) = \frac{p}{2}$ .
Theo đề bài: $\frac{p}{2} = 5 \Rightarrow p = 10$ .
Do đó $2p = 20$ .
Phương trình chính tắc của parabol là: $y^2 = 20x$ .

🔍 Ví dụ 3: Ứng dụng chảo vệ tinh

Một chảo vệ tinh có dạng hình paraboloid (tạo thành khi quay parabol xung quanh trục đối xứng). Biết miệng chảo rộng 120 cm và chảo sâu 15 cm. Để thu tín hiệu tốt nhất, ta phải đặt bộ thu sóng ở vị trí tiêu điểm. Hãy xác định khoảng cách từ đáy chảo đến điểm đặt bộ thu sóng.

💡 Xem lời giải

Gắn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho đỉnh chảo là mặt cắt trùng với $O$ , trục của chảo là trục hoành $Ox$ .
Phương trình parabol mô phỏng mặt cắt của chảo có dạng: $y^2 = 2px \quad (p > 0)$ .
Độ sâu của chảo là hoành độ của điểm ở miệng chảo, $x = 15$ cm.
Miệng chảo rộng 120 cm, nên tung độ điểm trên mép miệng chảo là $y = \frac{120}{2} = 60$ cm.
Điểm $M(15; 60)$ phải thỏa mãn phương trình $(P)$ : $60^2 = 2p \cdot 15 \Rightarrow 3600 = 30p \Rightarrow p = 120$ .
Tiêu điểm của parabol có hoành độ là $\frac{p}{2} = \frac{120}{2} = 60$ .
Vậy bộ thu sóng phải đặt cách đáy chảo (đỉnh O) một khoảng là 60 cm. (Tức là nằm ngoài khỏi miệng chảo một khoảng so với mặt cắt ngang).

III. Trắc nghiệm ôn tập

Câu 1:Tâm sai của mọi parabol có đặc điểm là:

Câu 2:Cho đường parabol $y^2 = 12x$. Bán kính qua tiêu của điểm $M$ trên parabol có hoành độ $x=4$ là:

Đúng / Sai

Câu 3Xét tính đúng sai của các khẳng định về parabol $(P): y^2 = 5x$:

a)Tiêu điểm của parabol là F(5; 0).

b)Đường chuẩn của parabol có phương trình x = -1.25.

c)Mọi điểm M trên (P) đều có MF = 1.25 + d(M, Ox).

d)Đỉnh của parabol là gốc tọa độ.

Câu 4:Parabol có đường chuẩn $x = -7$. Tính giá trị bán kính qua tiêu của điểm M nằm trên parabol này khi x = 3.

IV. Bài tập tự luận

📝 Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho parabol $(P): y^2 = 4x$ . Tìm các điểm $M$ nằm trên parabol sao cho khoảng cách từ $M$ đến tiêu điểm bằng 5.

💡 Lời giải

Từ $y^2 = 4x$ suy ra $2p = 4 \Rightarrow p = 2 \Rightarrow \frac{p}{2} = 1$ .
Công thức bán kính qua tiêu là $MF = x + \frac{p}{2} = x + 1$ .
Theo bài ra $MF = 5 \Rightarrow x + 1 = 5 \Rightarrow x = 4$ .
Thay $x = 4$ vào phương trình $(P)$ ta được: $y^2 = 4 \cdot 4 = 16 \Rightarrow y = \pm 4$ .
Vậy có hai điểm thỏa mãn là $M_1(4; 4)$ và $M_2(4; -4)$ .

Câu 2. Một dây cung $AB$ của parabol $(P): y^2 = 2px$ đi qua tiêu điểm $F$ và vuông góc với trục đối xứng. Hãy tính độ dài của dây cung $AB$ theo $p$ và chứng minh khoảng cách từ cả $A$ và $B$ đến đường chuẩn đều bằng độ dài khoảng cách giữa $A$ và $B$ chia đôi.

💡 Lời giải

Vì $AB$ đi qua tiêu điểm $F(p/2; 0)$ và vuông góc với trục Ox (trục đối xứng) nên hoành độ của điểm $A$ và $B$ đều bằng $p/2$ .
Thay $x = p/2$ vào $y^2 = 2px$ , ta được $y^2 = 2p \cdot (p/2) = p^2$ . Do đó $y = \pm p$ .
Vậy tọa độ của hai đầu mút là $A(p/2; p)$ và $B(p/2; -p)$ .
Độ dài dây cung $AB = y_A - y_B = p - (-p) = 2p$ .
Tính khoảng cách từ $A$ đến đường chuẩn ( $x = -p/2$ ): $d(A, \Delta) = x_A - (-p/2) = p/2 + p/2 = p$ .
Dễ thấy $p = \frac{2p}{2} = \frac{AB}{2}$ . (Đây là dây cung ngắn nhất đi qua tiêu điểm của parabol).

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Không giới hạn lần làm