Câu 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $SB, BC, SD$. a) Tìm giao tuyến của $(MNP)$ và $(ABCD)$. b) Tìm giao tuyến của $(MNP)$ và $(SAD)$. c) Tìm giao điểm của $SC$ và $(MNP)$. d) Chứng minh $MN // (SAC)$.

Câu 2. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $I, J$ là các điểm lần lượt thuộc các cạnh $AB, AD$ sao cho $IJ$ không song song với $BD$. a) Tìm giao điểm của đường thẳng $IJ$ với mặt phẳng $(BCD)$. b) Gọi $K$ là một điểm trong tam giác $BCD$. Tìm giao điểm của $IK$ with mặt phẳng $(ACD)$. c) Xác định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng $(IJK)$. d) Trong trường hợp $IJ // BD$, thiết diện là hình gì?

Câu 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang ($AD // BC$). Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SAD$. a) Tìm giao tuyến của $(GBC)$ và $(SAD)$. b) Chứng minh giao tuyến đó song song với $AD$. c) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $(GBC)$. d) Thiết diện là hình gì?

Câu 4. (Thực tế - Thiết kế đồ dùng) Một chiếc bàn xếp có 4 chân là 4 đoạn thẳng $AA', BB', CC', DD'$. Để bàn đứng vững và mặt bàn song song với sàn nhà: a) Các cặp chân bàn phải thỏa mãn điều kiện gì? b) Nếu $AA' // BB'$ và $AA' = BB'$, hãy chứng minh $AB // A'B'$. c) Tại sao các chân bàn thường được thiết kế bắt chéo nhau? (Liên quan đến giao tuyến và điểm cố định). d) Nếu một chân bàn bị ngắn đi, mặt bàn còn song song with sàn không? Tại sao?

Câu 5. Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$. Gọi $M, M'$ lần lượt là trọng tâm tam giác $ABC$ và $A'B'C$. a) Chứng minh $MM' // (ABB'A')$. b) Chứng minh $MM' // AA'$. c) Gọi $(P)$ là mặt phẳng qua $M$ và song song với $(ABC)$. $(P)$ sẽ trùng với mặt phẳng nào? d) Tìm giao tuyến của $(AMC')$ và $(A'B'M)$.

Câu 6. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$ là một điểm di động trên cạnh $SC$. $(P)$ là mặt phẳng qua $AM$ và song song with $BD$. a) Chứng minh $(P)$ luôn đi qua một đường thẳng cố định khi $M$ di động. b) Tìm giao điểm $E, F$ của $(P)$ with các cạnh $SB, SD$. c) Chứng minh $S, E, M, F$ là các đỉnh của một hình bình hành. d) Khi $M$ là trung điểm $SC$, tính tỉ số diện tích tam giác $SEF$ và diện tích tam giác $SBD$.

Câu 7. (Thực tế - Xây dựng) Để kiểm tra hai bức tường có song song hay không, người thợ mộc đo khoảng cách giữa chúng tại các điểm khác nhau. a) Dựa trên định lý nào để kết luận hai mặt tường song song? b) Nếu hai bức tường cùng vuông góc với sàn nhà, chúng có chắc chắn song song không? c) Các xà ngang trần nhà dựa trên hai bức tường tạo thành các giao tuyến. Các giao tuyến này có tính chất gì? d) Làm thế nào để dựng một vách ngăn song song with một bức tường cho trước?

Câu 8. Cho tứ diện $ABCD$. Một mặt phẳng $(P)$ cắt các cạnh $AB, BC, CD, DA$ lần lượt tại $M, N, P, Q$. a) Chứng minh rằng nếu $MN // PQ$ thì $MN // PQ // AC$. b) Chứng minh rằng nếu $MNPQ$ là hình bình hành thì $(P) // AC$ and $(P) // BD$. c) Ngược lại, nếu $(P) // AC$ và $(P) // BD$ thì $MNPQ$ là hình gì? d) Tìm điều kiện để $MNPQ$ là hình thoi.

Câu 9. (Thực tế - Địa lý) Các vĩ tuyến trên quả địa cầu được coi là các đường tròn nằm trong các mặt phẳng song song. a) Tại sao các vĩ tuyến không bao giờ giao nhau? b) Trục Trái Đất đóng vai trò gì đối với các mặt phẳng chứa vĩ tuyến? c) Nếu một vệ tinh bay trên một hũy đạo cực (qua hai cực), hũy đạo này cắt các vĩ tuyến như thế nào? d) Tính khoảng cách giữa hai vĩ tuyến nếu biết bán kính Trái Đất and góc vĩ độ.

Câu 10. (Tổng hợp) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $(P)$ là mặt phẳng qua điểm trung điểm $I$ của $AB$ và song song with $(SAD)$. a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi $(P)$. b) Chứng minh thiết diện là một hình thang cân nếu hình chóp là hình chóp đều. c) Tính diện tích thiết diện theo diện tích các mặt bên của hình chóp. d) Nếu thay điểm $I$ bằng một điểm $M$ bất kỳ trên đoạn $AC$, thiết diện có thay đổi không?