Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$.

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$.

Bảng biến thiên:

Kết luận:

• $f$ đồng biến trên $(-\infty;\,-1)$ và $(1;\,+\infty)$.
• $f$ nghịch biến trên $(-1;\,1)$.

$f'(x) = 4x^3 - 16x = 4x(x-2)(x+2)$.

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x \in \{-2;\, 0;\, 2\}$.

Đồng biến trên $(-2;\,0)$ và $(2;\,+\infty)$; nghịch biến trên $(-\infty;\,-2)$ và $(0;\,2)$.

$f'(x) = \dfrac{2(x+2) - (2x-1)}{(x+2)^2} = \dfrac{5}{(x+2)^2} > 0$ với mọi $x \neq -2$.

$f$ đồng biến trên $(-\infty;\,-2)$ và trên $(-2;\,+\infty)$.

Lưu ý: Không nói đồng biến trên $\mathbb{R} \setminus \{-2\}$ vì đây không phải một khoảng.

$f'(x) = 1 - \dfrac{1}{\sqrt{x-1}}$ (xác định với $x > 1$).

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \sqrt{x-1} = 1 \Leftrightarrow x = 2$.

• $f'(x) < 0$ khi $1 < x < 2$ → nghịch biến trên $(1;\,2)$.
• $f'(x) > 0$ khi $x > 2$ → đồng biến trên $(2;\,+\infty)$.

$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x-3)(x+1)$.

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = 3$.

• $x = -1$: $f'$ đổi $+$ → $-$ → cực đại, $f_{C\!Đ} = f(-1) = 7$.
• $x = 3$: $f'$ đổi $-$ → $+$ → cực tiểu, $f_{CT} = f(3) = -25$.

$f'(x) = 4x^3 - 8x = 4x(x^2 - 2) = 0 \Rightarrow x = 0$ hoặc $x = \pm\sqrt{2}$.

$f''(x) = 12x^2 - 8$.

• $f''(0) = -8 < 0$ → cực đại, $f_{C\!Đ} = f(0) = 1$.
• $f''(\pm\sqrt{2}) = 24 - 8 = 16 > 0$ → cực tiểu, $f_{CT} = f(\pm\sqrt{2}) = -3$.

$f'(x) = \dfrac{(2x+1)(x-3) - (x^2+x+4)}{(x-3)^2} = \dfrac{x^2 - 6x - 7}{(x-3)^2} = \dfrac{(x-7)(x+1)}{(x-3)^2}$.

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 7$ hoặc $x = -1$.

• $x = -1$: đổi $+$ → $-$ → cực đại, $f_{C\!Đ} = f(-1) = -1$.
• $x = 7$: đổi $-$ → $+$ → cực tiểu, $f_{CT} = f(7) = \dfrac{29}{2}$.

$f'(x) = 3(x^2-1)^2 \cdot 2x = 6x(x-1)^2(x+1)^2$.

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \pm 1$.

Vì $(x-1)^2 \geq 0$ và $(x+1)^2 \geq 0$, dấu $f'$ phụ thuộc vào $6x$:

• $x < 0$: $f'(x) < 0$; $x > 0$: $f'(x) > 0$ (trừ $x = \pm 1$).

→ $f'$ đổi $-$ → $+$ qua $x = 0$ → cực tiểu tại $x = 0$, $f_{CT} = -1$.

Tại $x = \pm 1$: $f'$ không đổi dấu → không phải cực trị.

• Cực đại: $f(-2) = 5$.
• Cực tiểu: $f(1) = -3$.
• Đồng biến: $(-\infty;\,-2)$ và $(1;\,+\infty)$.
• Nghịch biến: $(-2;\,1)$.

Parabol mở lên: $f'(x) > 0$ khi $x < -1$ hoặc $x > 3$; $f'(x) < 0$ khi $-1 < x < 3$.

• $f$ đồng biến trên $(-\infty;\,-1)$ và $(3;\,+\infty)$.
• $f$ nghịch biến trên $(-1;\,3)$.
• Cực đại tại $x = -1$; cực tiểu tại $x = 3$.

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -1;\; 2;\; 4$.

• $x = -1$: $(x+1)$ bậc lẻ, $(x-2)^2 > 0$, $(x-4) < 0$ tại lân cận $x=-1$. Kết hợp: $f'$ đổi $+$ → $-$ → cực đại.
• $x = 2$: $(x-2)^2$ luôn $\geq 0$ → $f'$ không đổi dấu → không phải cực trị.
• $x = 4$: $f'$ đổi $-$ → $+$ → cực tiểu.

Thể tích: $V(x) = x(12 - 2x)^2$, điều kiện $0 < x < 6$.

$V'(x) = (12-2x)^2 + x \cdot 2(12-2x)(-2) = (12-2x)\big[(12-2x) - 4x\big] = (12-2x)(12-6x)$.

$V'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 6$ (loại) hoặc $x = 2$ (nhận).

$V'$ đổi $+$ → $-$ tại $x = 2$ → cực đại.

$V_{max} = V(2) = 2 \cdot 8^2 = \mathbf{128} \text{ cm}^3.$

Gọi chiều dài là $x$ ($0 < x < 20$), chiều rộng là $20 - x$.

$S(x) = x(20 - x)$. $S'(x) = 20 - 2x = 0 \Rightarrow x = 10$.

$S'' = -2 < 0$ → cực đại. Diện tích lớn nhất $S = 10 \times 10 = \mathbf{100}$ m² — hình vuông cạnh $10$ m.

Chiều cao: $h = \dfrac{32}{x^2}$.

Chi phí đáy: $300x^2$; Chi phí $4$ thành: $4 \cdot x \cdot h \cdot 100 = \dfrac{12800}{x}$.

Tổng chi phí: $C(x) = 300x^2 + \dfrac{12800}{x}$, $x > 0$.

$C'(x) = 600x - \dfrac{12800}{x^2} = 0 \Rightarrow x^3 = \dfrac{64}{3} \Rightarrow x = \dfrac{4}{\sqrt[3]{3}} \approx 2{,}88$ m.

$C'' > 0$ → cực tiểu. Chi phí nhỏ nhất đạt tại $x \approx 2{,}88$ m.

Doanh thu: $R(p) = p \cdot (200 - 2p) = 200p - 2p^2$.

$R'(p) = 200 - 4p = 0 \Rightarrow p = 50$ nghìn đồng.

$R'' = -4 < 0$ → cực đại. Doanh thu lớn nhất: $R(50) = 5000$ nghìn đồng.