Bài 18: Xác suất có điều kiện

I. Lý thuyết

1. Khái niệm xác suất có điều kiện

Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $P(B) > 0$ . Xác suất của biến cố $A$ với điều kiện biến cố $B$ đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện của $A$ đối với $B$ .

Kí hiệu: $P(A|B)$ .
Công thức: $P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$

2. Ý nghĩa

Xác suất có điều kiện đánh giá lại khả năng xảy ra của $A$ khi ta đã có thêm thông tin rằng $B$ chắc chắn xảy ra.

3. Quy tắc nhân xác suất

Từ công thức trên, ta có: $P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$ $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$

Mở rộng: Nếu $A, B$ độc lập thì $P(A|B) = P(A)$ và $P(B|A) = P(B)$ , dẫn đến công thức quen thuộc $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ .

🔷 Dạng 1: Tính xác suất có điều kiện bằng công thức định nghĩa

📌 Phương pháp giải

Phương pháp:

Xác định không gian mẫu mới chính là tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố điều kiện $B$ .
Tìm số kết quả thuận lợi cho cả $A$ và $B$ ( $A \cap B$ ).
Hoặc tính trực tiếp $P(B)$ và $P(A \cap B)$ rồi lập thương số.

🔍 Ví dụ 1 (Dễ)

Gieo một con xúc xắc cân đối. Biết rằng mặt xuất hiện là số chẵn. Tính xác suất để mặt đó là số 2.

💡 Xem lời giải

$B = \{2, 4, 6\} \Rightarrow n(B) = 3$ .
$A \cap B = \{2\} \Rightarrow n(A \cap B) = 1$ .
$P(A|B) = 1/3$ .

🔍 Ví dụ 2 (Dễ)

Trong một hộp có 10 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 10. Rút ngẫu nhiên 1 thẻ. Biết thẻ rút được mang số lớn hơn 5. Tính xác suất thẻ đó mang số nguyên tố.

💡 Xem lời giải

Số lớn hơn 5: $B = \{6, 7, 8, 9, 10\} \Rightarrow n(B) = 5$ .
Thẻ là số nguyên tố trong B: $A \cap B = \{7\} \Rightarrow n(A \cap B) = 1$ .
$P(A|B) = 1/5 = 0.2$ .

🔍 Ví dụ 3 (Trung bình)

Ở một lớp học, 60% học sinh thích học Toán, 40% thích học Lý và 30% thích học cả hai môn. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh. Biết em đó thích học Toán, tính xác suất em đó thích học Lý.

💡 Xem lời giải

$P(T) = 0.6, P(L \cap T) = 0.3$ .
$P(L|T) = \dfrac{P(L \cap T)}{P(T)} = \dfrac{0.3}{0.6} = 0.5$ (50%).

🔍 Ví dụ 4 (Trung bình)

Gieo hai con xúc xắc xanh và đỏ. Tính xác suất tổng số chấm bằng 8 biết rằng con xanh xuất hiện mặt 5 chấm.

💡 Xem lời giải

$B = \{(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)\} \Rightarrow n(B) = 6$ .
$A \cap B = \{(5,3)\}$ (vì $5+3=8$ ) $\Rightarrow n(A \cap B) = 1$ .
$P(A|B) = 1/6$ .

🔍 Ví dụ 5 (Khó)

Một gia đình có 2 người con. Biết rằng có ít nhất một người con là trai. Tính xác suất người con còn lại cũng là trai.

💡 Xem lời giải

Không gian mẫu: $\Omega = \{TT, TG, GT, GG\}$ .
$B$ (ít nhất 1 trai): $\{TT, TG, GT\} \Rightarrow n(B) = 3$ .
$A \cap B$ (cả hai trai): $\{TT\} \Rightarrow n(A \cap B) = 1$ .
$P(A|B) = 1/3$ .

📝 Thực hành — Dạng 1

Công thức nào sau đây đúng với $P(A|B)$?

Gieo xúc xắc, biết ra số lẻ. Xác suất ra mặt 1 chấm là:

Nếu A và B xung khắc ($A \\\\cap B = \\\\emptyset$) và $P(B)>0$ thì $P(A|B)$ bằng:

Đúng / SaiXét một hộp 5 bi đỏ, 5 bi xanh. Lấy lần lượt 2 bi không hoàn lại:

a)Xác suất bi 1 đỏ là 0.5

b)Nếu bi 1 đỏ, xác suất bi 2 đỏ là 4/9

c)Nếu bi 1 đỏ, xác suất bi 2 xanh là 5/9

d)Xác suất cả 2 bi cùng màu đỏ là 1/4

Biết $P(A)=0.4, P(B)=0.5$ and $P(A \\\\cap B)=0.2$. Tính $P(A|B)$.

🔷 Dạng 2: Quy tắc nhân xác suất cho các biến cố phụ thuộc

📌 Phương pháp giải

Phương pháp: Sử dụng $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$ . Thường dùng trong các bài toán bốc thăm, lấy đồ vật “không hoàn lại” hoặc các quá trình xảy ra theo giai đoạn.

🔍 Ví dụ 1 (Dễ)

Lấy lần lượt 2 thẻ từ xấp 10 thẻ (1-10) không hoàn lại. Tính xác suất cả hai thẻ đều là số lẻ.

💡 Xem lời giải

$A$ : Thẻ 1 lẻ ( $P = 5/10 = 1/2$ ).
$B$ : Thẻ 2 lẻ ( $P(B|A) = 4/9$ ).
$P(A \cap B) = 1/2 \cdot 4/9 = 2/9$ .

🔍 Ví dụ 2 (Dễ)

Một túi có 4 bi đỏ và 6 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 bi (lấy từng viên, không hoàn lại). Tính xác suất bi thứ nhất đỏ và bi thứ hai xanh.

💡 Xem lời giải

$P = (4/10) \cdot (6/9) = 2/5 \cdot 2/3 = 4/15$ .

🔍 Ví dụ 3 (Trung bình)

Xác suất một xạ thủ bắn trúng bia là 0.8. Nếu bắn trúng, ông ta được bắn tiếp viên thứ hai. Tính xác suất xạ thủ bắn trúng cả 2 viên.

💡 Xem lời giải

$P = 0.8 \cdot 0.8 = 0.64$ . (Giả sử các lần bắn độc lập về kỹ năng nhưng phụ thuộc về điều kiện được bắn).

🔷 Dạng 3: Bài toán thực tế về xác suất điều kiện

🔍 Ví dụ 1 (Trung bình) — Y khoa

Tỉ lệ người mắc bệnh X trong cộng đồng là 1%. Một xét nghiệm cho kết quả dương tính đối với người có bệnh là 99% và dương tính giả (không bệnh nhưng vẫn dương tính) là 2%. Tính xác suất một người mắc bệnh X biết rằng người đó có kết quả dương tính.

💡 Xem lời giải

Gọi $B$ : Có bệnh, $D$ : Dương tính.
$P(B) = 0.01, P(D|B) = 0.99$ .
$P(D \cap B) = 0.01 \cdot 0.99 = 0.0099$ .
$P(D)$ (Tổng dương tính) $= P(D \cap B) + P(D \cap \bar{B}) = 0.0099 + 0.99 \cdot 0.02 = 0.0099 + 0.0198 = 0.0297$ .
$P(B|D) = 0.0099 / 0.0297 = 1/3 \approx 33.3\%$ .

🔍 Ví dụ 2 (Khó) — Kiểm tra sản phẩm

Một lô hàng có 100 sản phẩm, trong đó có 5 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên ra 5 sản phẩm để kiểm tra. Nếu thấy có ít nhất 1 phế phẩm thì trả lại cả lô hàng. Tính xác suất lô hàng được chấp nhận.

💡 Xem lời giải

Đây là bài toán tính $P(\bar{A})$ .
$P = \dfrac{C_{95}^5}{C_{100}^5} \approx 0.77$ .

📝 Thực hành — Dạng 3

Xác suất có điều kiện giúp ta cập nhật lại niềm tin dựa trên:

Nếu $P(A|B) > P(A)$, ta nói B tác động như thế nào đến A?

Trong xét nghiệm y tế, kết quả dương tính giả gây ra:

Đúng / SaiSố liệu: 80% người dùng mạng X thích video ngắn, 50% thích livestream, 40% thích cả hai:

a)Xác suất người thích video ngắn là 0.8

b)Nếu biết người đó thích video ngắn, xác suất họ thích livestream là 0.5

c)Nếu biết người đó thích livestream, xác suất họ thích video ngắn là 0.8

d)Thích video ngắn and livestream là hai biến cố độc lập

Cho $P(A)=0.6, P(B|A)=0.7$. Tính $P(A \\\\cap B)$.

📝 Bài tập tự luận — Tổng hợp

Câu 1. Gieo một con xúc xắc. Gọi $A$ là biến cố “xuất hiện mặt có số chấm là số nguyên tố”, $B$ là biến cố “xuất hiện mặt có số chấm là số lẻ”. Tính $P(A|B)$ và $P(B|A)$ .

Câu 2. Một hộp chứa 3 bi đỏ và 7 bi xanh. Lấy lần lượt 2 viên bi không hoàn lại. a) Tính xác suất viên bi thứ hai là màu đỏ biết viên bi thứ nhất là màu xanh. b) Tính xác suất cả hai viên bi đều màu xanh.

Câu 3. Cho $P(A) = 0.7, P(B) = 0.4$ và $P(A \cup B) = 0.8$ . a) Tính $P(A \cap B)$ . b) Tính $P(A|B)$ và $P(B|A)$ . c) Hai biến cố $A$ và $B$ có độc lập không?

Câu 4. Tại một thành phố, tỉ lệ người thích xem bóng đá là 65%, tỉ lệ người thích xem phim là 45%. Biết rằng tỉ lệ người thích xem bóng đá khi đã biết họ thích xem phim là 80%. Tính tỉ lệ người thích xem cả bóng đá và phim.

Câu 5. Một máy sản xuất linh kiện với tỉ lệ lỗi là 5%. Có một thiết bị kiểm tra tự động có độ chính xác 90% (tức là linh kiện lỗi thì báo ‘Lỗi’ 90%, linh kiện tốt thì báo ‘Tốt’ 90%). Lấy ngẫu nhiên một linh kiện và máy báo nó bị ‘Lỗi’. Tính xác suất thực tế linh kiện đó là phế phẩm.

✏️ Luyện tập trắc nghiệm →

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Không giới hạn lần làm