Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác

a) $\alpha = 150^\circ \cdot \dfrac{\pi}{180^\circ} = \dfrac{5\pi}{6}\text{ rad}$.

b) $a^\circ = \dfrac{3\pi}{4} \cdot \dfrac{180^\circ}{\pi} = 135^\circ$.

Đổi số đo góc sang radian: $\alpha = 120^\circ \cdot \dfrac{\pi}{180^\circ} = \dfrac{2\pi}{3}\text{ rad}$.

Độ dài cung tròn vạch được là:

a) • $36^\circ = 36^\circ \cdot \dfrac{\pi}{180^\circ} = \dfrac{\pi}{5}\text{ rad}$.
• $-225^\circ = -225^\circ \cdot \dfrac{\pi}{180^\circ} = -\dfrac{5\pi}{4}\text{ rad}$.

b) • $\dfrac{5\pi}{4}\text{ rad} = \dfrac{5\pi}{4} \cdot \dfrac{180^\circ}{\pi} = 225^\circ$.
• $-\dfrac{\pi}{12}\text{ rad} = -\dfrac{\pi}{12} \cdot \dfrac{180^\circ}{\pi} = -15^\circ$.

Trong $60$ phút kim phút quay hết $1$ vòng tròn tương ứng góc $2\pi\text{ rad}$.

Do đó trong $20$ phút, kim phút quay được một góc lượng giác:

Độ dài cung tròn mũi kim phút đi được là:

• Với cung $\alpha = 1,5\text{ rad}$: $l_1 = R \cdot \alpha = 20 \cdot 1,5 = 30\text{ cm}$.

• Với cung $54^\circ$: Đổi sang rad $\alpha_2 = 54^\circ \cdot \dfrac{\pi}{180^\circ} = \dfrac{3\pi}{10}\text{ rad}$.
Độ dài cung $l_2 = 20 \cdot \dfrac{3\pi}{10} = 6\pi \approx 18{,}85\text{ cm}$.

Đổi vận tốc: $v = 40\text{ km/h} = \dfrac{40000}{3600}\text{ m/s} = \dfrac{100}{9}\text{ m/s}$.

Bán kính bánh xe $R = 25\text{ cm} = 0,25\text{ m}$.

Quãng đường xe đi được trong $5$ giây là độ dài cung tròn: $l = v \cdot t = \dfrac{100}{9} \cdot 5 = \dfrac{500}{9}\text{ m}$.

Số đo góc quay của bánh xe: $\alpha = \dfrac{l}{R} = \dfrac{500/9}{0,25} = \dfrac{2000}{9} \approx 222{,}22\text{ rad}$.

Ta có: $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(-\dfrac{3}{5}\right)^2 = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$.

Vì $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ (góc $\alpha$ thuộc góc phần tư II) nên $\sin\alpha > 0$.

Do đó: $\sin\alpha = \sqrt{\dfrac{16}{25}} = \dfrac{4}{5}$.

Từ đó tính được:

Vì $\tan\alpha = 2$ xác định nên $\cos\alpha \ne 0$. Chia cả tử và mẫu của biểu thức $P$ cho $\cos\alpha$, ta được:

Thay $\tan\alpha = 2$ vào ta có:

• Vì $0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$ (GPT I) nên $\cos\alpha > 0$.

Ta có: $\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - \dfrac{1}{9}} = \sqrt{\dfrac{8}{9}} = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$.

• Ta có $\tan\left(\alpha + \dfrac{\pi}{2}\right) = -\cot\alpha = -\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = -\dfrac{2\sqrt{2}/3}{1/3} = -2\sqrt{2}$.

Vì $\cot\alpha = -3$ xác định nên $\sin\alpha \ne 0$. Chia cả tử và mẫu của $Q$ cho $\sin^2\alpha$:

Thay $\cot\alpha = -3$ vào biểu thức:

Áp dụng các hệ thức cơ bản $1 + \tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x}$ và $1 + \cot^2 x = \dfrac{1}{\sin^2 x}$:

Xét tích chéo của vế trái và vế phải:

Ta có: $(1 + \sin x)(1 - \sin x) = 1 - \sin^2 x = \cos^2 x = \cos x \cdot \cos x$.

Chia hai vế cho $\cos x(1 - \sin x) \ne 0$, ta thu được đẳng thức cần chứng minh:

Ta có $B = (\sin^2 x)^2 + (\cos^2 x)^2 + 2\sin^2 x \cos^2 x$.

Dùng hằng đẳng thức $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ với $a = \sin^2 x, b = \cos^2 x$:

Vì $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ nên $B = 1^2 = 1$. Vậy $B$ hằng định không phụ thuộc $x$.

Biến đổi vế trái:

Mà $\dfrac{1}{\cos^2 x} - 1 = (1 + \tan^2 x) - 1 = \tan^2 x$. Do đó:

Áp dụng công thức góc liên quan đặc biệt:

• $\sin(\pi - x) = \sin x$
• $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$
• $\cos(\pi + x) = -\cos x$
• $\sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right) = \cos x$

Thay vào biểu thức $M$:

Gộp các cặp góc phụ nhau (có tổng bằng $90^\circ$):

Vì $80^\circ = 90^\circ - 10^\circ \Rightarrow \cos 80^\circ = \sin 10^\circ \Rightarrow \cos^2 80^\circ = \sin^2 10^\circ$.

Tương tự: $\cos^2 70^\circ = \sin^2 20^\circ$, $\cos^2 60^\circ = \sin^2 30^\circ$, $\cos^2 50^\circ = \sin^2 40^\circ$.

Do đó:

Ta có $160^\circ = 180^\circ - 20^\circ \Rightarrow \sin 160^\circ = \sin 20^\circ$.

$140^\circ = 180^\circ - 40^\circ \Rightarrow \sin 140^\circ = \sin 40^\circ$.

Thay vào biểu thức $K$:

Ta có $89^\circ = 90^\circ - 1^\circ \Rightarrow \tan 89^\circ = \cot 1^\circ$.

Nhóm các cặp có tổng bằng $90^\circ$ lại với nhau:

Vì $\tan x \cdot \cot x = 1$ và $\tan 45^\circ = 1$ nên: