Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác

I. Góc lượng giác và đơn vị đo góc

1. Đơn vị Radian

Bên cạnh đơn vị ĐỘ ( $^\circ$ ) quen thuộc, trong Toán học ta sử dụng một đơn vị đo góc tự nhiên hơn gọi là radian (viết tắt là rad).

⚡ Định nghĩa

Cung có độ dài bằng bán kính của một đường tròn được gọi là cung có số đo 1 radian. Góc ở tâm chắn cung có số đo 1 radian được gọi là góc có số đo 1 radian.

Quan hệ giữa độ và radian: Góc bẹt $180^\circ$ tương ứng với $\pi$ radian. Do đó:

Đổi từ độ sang radian: $\alpha \text{ rad} = a^\circ \cdot \dfrac{\pi}{180}$
Đổi từ radian sang độ: $a^\circ = \alpha \text{ rad} \cdot \dfrac{180}{\pi}$

2. Độ dài cung tròn

Một cung của đường tròn bán kính $R$ có số đo $\alpha$ (đơn vị radian) thì có độ dài $l$ : $l = R \cdot \alpha$ (Lưu ý bắt buộc $\alpha$ phải đổi sang radian mới được dùng công thức này).

II. Đường tròn lượng giác

⚡ Định nghĩa

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , đường tròn lượng giác là đường tròn có tâm là gốc tọa độ $O(0; 0)$ và bán kính $R = 1$ , trên đó chọn điểm $A(1; 0)$ làm điểm gốc và định hướng:

Chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ.
Chiều âm là chiều cùng chiều kim đồng hồ.

Góc lượng giác $(OA, OM)$ có số đo $\alpha$ (kí hiệu là $\text{sđ}(OA, OM) = \alpha$ ). Do quay nhiều vòng quỹ đạo có thể lặp lại, nên số đo góc lượng giác có dạng quét vòng tròn: $\alpha + k2\pi$ (rad) hoặc $\alpha + k360^\circ$ (với $k \in \mathbb{Z}$ ).

III. Giá trị lượng giác của một góc lượng giác

Cho góc lượng giác $\alpha$ có điểm biểu diễn $M(x; y)$ trên đường tròn lượng giác.

📋 Định nghĩa 4 giá trị lượng giác

Hoành độ $x_{M}$ của điểm $M$ gọi là côsin của góc $\alpha$ , kí hiệu $\cos \alpha = x_{M}$ . (Trục $Ox$ là trục $\cos$ ).
Tung độ $y_{M}$ của điểm $M$ gọi là sin của góc $\alpha$ , kí hiệu $\sin \alpha = y_{M}$ . (Trục $Oy$ là trục $\sin$ ).
Tỉ số $\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ ( $x_M \neq 0$ ) gọi là tang của góc $\alpha$ , kí hiệu $\tan \alpha$ .
Tỉ số $\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ ( $y_M \neq 0$ ) gọi là côtang của góc $\alpha$ , kí hiệu $\cot \alpha$ .

Bảng dấu của các giá trị lượng giác theo góc phần tư (GPT): (Thường nhớ theo quy tắc: “Nhất Cả, Nhì Sin, Tam Tang, Tứ Cos”).

GPT I ( $0 \to \pi/2$ ): $\sin+, \cos+, \tan+, \cot+$ .
GPT II ( $\pi/2 \to \pi$ ): $\sin+, \cos-, \tan-, \cot-$ .
GPT III ( $\pi \to 3\pi/2$ ): $\sin-, \cos-, \tan+, \cot+$ .
GPT IV ( $3\pi/2 \to 2\pi$ ): $\sin-, \cos+, \tan-, \cot-$ .

IV. Các hệ thức lượng giác cơ bản

Đây là 4 chiếc “chìa khóa vàng” dùng để biến đổi mọi biểu thức lượng giác:

📋 4 Hệ thức cơ bản

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
$\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1 \quad (\sin \alpha \neq 0, \cos \alpha \neq 0)$
$1 + \tan^2 \alpha = \dfrac{1}{\cos^2 \alpha} \quad (\cos \alpha \neq 0)$
$1 + \cot^2 \alpha = \dfrac{1}{\sin^2 \alpha} \quad (\sin \alpha \neq 0)$

🔷 Dạng 1: Đổi số đo góc và tính độ dài cung tròn

📌 Phương pháp giải

Sử dụng 2 mũi nhọn: tỉ lệ chuyển đổi đơn vị (quy tắc tam suất) và công thức cung tròn $l=R\alpha$ . $\dfrac{a^\circ}{180^\circ} = \dfrac{\alpha \text{ rad}}{\pi}$

🔍 Ví dụ 1

a) Đổi góc $108^\circ$ sang đơn vị radian. b) Một đồng hồ treo tường có kim phút dài 15 cm. Hỏi trong 20 phút, mũi kim phút vạch nên một cung tròn có độ dài bằng bao nhiêu?

💡 Xem lời giải

Câu a: Số đo radian của góc $108^\circ$ là: $\alpha = 108^\circ \cdot \dfrac{\pi}{180^\circ} = \mathbf{\dfrac{3\pi}{5}} \text{ (rad)}$ .

Câu b: Trong 60 phút, kim phút quay được 1 vòng tròn tương ứng $2\pi$ rad. Trong 20 phút (tức là $1/3$ giờ), kim phút quay được một góc: $\alpha = \dfrac{1}{3} \cdot 2\pi = \dfrac{2\pi}{3}$ (rad).

Độ dài cung tròn kim phút vạch nên là: $l = R \cdot \alpha = 15 \cdot \dfrac{2\pi}{3} = 10\pi \approx \mathbf{31.42} \text{ (cm)}$ .

🔷 Dạng 2: Tính các giá trị lượng giác khi biết một giá trị

📌 Phương pháp giải

Các bước giải quyết:

Chọn hệ thức thích hợp liên kết GTLG đã cho và GTLG cần tìm. (VD: biết sin tìm cos thì dùng $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ ).
Tìm ra GTLG bình phương.
Căn cứ vào điều kiện của góc phần tư (VD $\pi/2 < \alpha < \pi$ ) để xác định dấu âm dương trước khi khai căn (Nhất Cả, Nhì Sin, Tam Tang, Tứ Cos).
Tính 2 GTLG còn lại bằng định nghĩa $\tan = \sin/\cos$ và $\cot = \cos/\sin$ .

🔍 Ví dụ 2

Cho $\cos \alpha = -\dfrac{4}{5}$ và $\pi < \alpha < \dfrac{3\pi}{2}$ . Tính $\sin \alpha$ và $\tan \alpha$ .

💡 Xem lời giải

Vì $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$ $\Leftrightarrow \sin^2 \alpha = 1 - \left(-\dfrac{4}{5}\right)^2 = 1 - \dfrac{16}{25} = \dfrac{9}{25}$ .

Theo giả thiết, góc $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ III ( $\pi < \alpha < \dfrac{3\pi}{2}$ ), do đó $\sin \alpha < 0$ . Vậy ta lấy nghiệm âm: $\sin \alpha = -\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \mathbf{-\dfrac{3}{5}}$ .

Tính $\tan \alpha$ : $\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \dfrac{-\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = \mathbf{\dfrac{3}{4}}$ .

📝 Bài tập tự luyện

Góc $\\dfrac{5\\pi}{6}$ radian bằng bao nhiêu độ?

Điểm biểu diễn của góc $\\alpha = \\dfrac{\\pi}{2}$ trên đường tròn lượng giác là điểm nào?

Cho góc lượng giác $\\alpha$ thuộc góc phần tư thứ II. Dấu của $\\sin \\alpha$ và $\\cos \\alpha$ là:

Biết $\\sin \\alpha = 0.6$ và $\\dfrac{\\pi}{2} < \\alpha < \\pi$. Tính giá trị của biểu thức $P = \\tan \\alpha + \\cos \\alpha$. (Nhập đáp án dưới dạng số thập phân)

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Không giới hạn lần làm